como saber quando usar substituiçao simples ou por partes em integrais?

O método de substituição é feito para voltar à regra da cadeia: se , então . Se você tiver , apenas tem que fazer substituição duas vezes ao invés de uma.

Sobre a integral por partes ser definida pela regra do quociente, note que a regra do quociente pode ser deduzida a partir da regra do produto, então é mais prático pelo produto.

A dedução da integração por partes é como segue: temos , daí . Integrando, temos .

Sobre a notação, se as duas funções são iguais então seus diferenciais são iguais, mas não é verdade que , pois isto não é válido para diferenciais. É um assunto um pouco mais avançado que deve ser tratado com cautela.

integral por substituição simples, tu transforma uma parte da equação derivando, e a deixa parecida com a outra.. facilitando para substituir

já na integral por partes, derivando e integrando algumas partes separadas dela e depois jogando na fórmula "uv-integral(v.du)", na maioria das vezes facilita a resolução da equação.

Geralmente, o método da integração por partes é empregado quando se esta integrado o produto de duas funções por exemplo \(\int f(x)*g(x)\) . Abaixo estão as definições para que você entenda quando usar o método da substituição e quando usar o método da integração por partes

método da substituição -> se \(u=g(x)\) for uma função derivável cuja a imagem é um intervalo \(I \) e \(f \) for contínua em \(I\) , então

\(\int f(g(x))g'(x)dx=\int f(u)du\).

o método funciona sempre que a integral possa ser escrita na forma \(\int f(g(x))g'(x)dx \). se \(F´=f\)  , então: \(\int F´(g(x))g´(x)dx=F(g(x))+C \) (1)

pois, de acordo com a regra da cadeia \(\frac{d}{dx}[F(g(x))]=F'(g(x))g'x\)

ao realizar a substituição \(u=g(x)\) na equação 1, encontra-se

\(\int F´(g(x))g´(x)dx=F(g(x))+C=F(u)+C=\int F'(u) du \)

escrevendo \(F'=f\) obtém-se:

\(\int f(g(x))g'(x)dx=\int f(u)du\)

método da integração por partes ->  Assim como o método da substituição corresponde a regra da cadeia, o método da integração por partes corresponde a regra do produto.

se escrevermos a regra do produto, na notação de integrais indefinidas,encontraremos:

\(\int [f(x)g´(x)+g(x)f'(x)]dx=f(x)g(x)\)

aplicando a propriedade da soma de integrais temos:

\(\int f(x)g´(x)dx + \int g(x)f´(x)dx=f(x)g(x)\)

rearranjando a equação encontra-se:

\(\int f(x)g´(x)dx=f(x)g(x)-\int g(x)f'(x)dx\)

chamando \(f(x)=u, g(x)=v,g'(x)dx=dv,f´(x)dx=du\)encontra-se a fórmula para integração por partes:

\(\int udv=uv-\int vdu\)