Seja F = F(x,y,z) a função identicamente nula. Então, ∂F/∂x - ∂F/∂y + ∂F/∂z é igual a

No enunciado é dito que a função F = F(x,y,z) é identicamente nula, ou seja, em cada eixo do plano cartesiano a função terá um valor constante e igual a zero. Sendo as derivadas parcias nada mais do que a taxa de crescimento ou decrescimento de uma função em cada eixo,

∂F/∂x = 0

∂F/∂y = 0

e  ∂F/∂z = 0

Logo, ∂F/∂x - ∂F/∂y + ∂F/∂z = 0

\[\begin{align} F(x,y,z)&=(a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0) + (b_ny^n + b_{n-1}y^{n-1}+...+b_1y+b_0) + (c_nz^n + c_{n-1}z^{n-1}+...+c_1z+c_0) \\ &= 0 \end{align}\]

Sendo zero uma função constante, suas derivadas em \(x\), \(y\) e \(z\) são nulas. Ou seja:

\[\left\{ \begin{matrix} \begin{align} {\partial F \over \partial x}&=0 \\ {\partial F \over \partial y}&=0 \\ {\partial F \over \partial z}&=0 \\ \end{align} \end{matrix} \right.\]

Portanto, a equação \({\partial F \over \partial x}-{\partial F \over \partial y}+{\partial F \over \partial z}\) é igual a:

\[\begin{align} {\partial F \over \partial x}-{\partial F \over \partial y}+{\partial F \over \partial z}&=0-0+0 \\ &=0 \end{align}\]

Concluindo, sendo \(F\) uma função identicamente nula, a equação \({\partial F \over \partial x}-{\partial F \over \partial y}+{\partial F \over \partial z}\) é igual a \(\boxed{0}\).