Quero aprender o passo a passo da questão até a resposta final.

Para determinar o valor de k para que o sistema homogêneo tenha apenas a solução trivial, devemos encontrar as condições em que o sistema seja possível determinado. Podemos resolver esse sistema utilizando o método da eliminação de Gauss-Jordan. Vamos escrever a matriz aumentada do sistema: [ 2 1 3 | 0 ] [ 3 2 1 | 0 ] [ 5 3 k | 0 ] Agora, vamos realizar as operações de linha para obter uma forma escalonada reduzida: 1) Subtrair 3 vezes a primeira linha da segunda linha: [ 2 1 3 | 0 ] [ 0 -1 -8 | 0 ] [ 5 3 k | 0 ] 2) Subtrair 5 vezes a primeira linha da terceira linha: [ 2 1 3 | 0 ] [ 0 -1 -8 | 0 ] [ 0 -2 k-15 | 0 ] 3) Multiplicar a segunda linha por -1: [ 2 1 3 | 0 ] [ 0 1 8 | 0 ] [ 0 -2 k-15 | 0 ] 4) Subtrair 2 vezes a segunda linha da terceira linha: [ 2 1 3 | 0 ] [ 0 1 8 | 0 ] [ 0 0 k-31 | 0 ] Agora, vamos analisar as condições para que o sistema seja possível determinado: 1) A primeira linha não possui zeros à direita da barra vertical, o que indica que a primeira variável (x) é uma variável básica. 2) A segunda linha também não possui zeros à direita da barra vertical, o que indica que a segunda variável (y) também é uma variável básica. 3) A terceira linha possui um zero à direita da barra vertical apenas quando k-31 = 0, o que implica em k = 31. Portanto, o valor de k para que o sistema homogêneo tenha apenas a solução trivial é k = 31.