Determine a equação da parábola com: (a) Foco F =(−3/4, 0)e diretriz x =(3/4). (b) Vértice V = (−1, −3) e diretriz x = −3.

(a)

Tem-se que P é um ponto qualquer da parábola, F(xf, yf) é o foco e Q(xq, yq) é o ponto da diretriz mais próximo de P.

Uma parábola consiste numa curva cuja distância PF é sempre igual à distância PQ. Ou seja:

-> |PF| = |PQ|

Com diretriz x = 3/4, tem-se o ponto Q(3/4, y), pois a diretriz é paralela ao eixo y. Com o foco F( -3/4, 0) e o ponto P(x, y) da parábola, a equação anterior fica da seguinte forma:

-> |PF| = |PQ|

-> | (x, y) - ( -3/4, 0) | = | (x, y) - (3/4, y) |

-> √[ (x + 3/4)² + (y - 0)² ] = √[ (x - 3/4)² + (y - y)² ]

-> (x + 3/4)² + y² = (x - 3/4)² + 0²

-> (x + 0,75)² + y² = (x - 0,75)²

-> (x² + 1,5x + 0,75²) + y² = (x² - 1,5x + 0,75²)

-> y² = (x² - 1,5x + 0,75²) - (x² + 1,5x + 0,75²)

-> y² = (- 1,5x ) - (1,5x)

Portanto, a equação da parábola é:

-> y² = -3x

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(b)

Numa parábola, o vértice V é o ponto médio entre o foco F e a reta diretriz Q. Ou seja:

-> F + Q = 2⋅V

-> F = 2⋅V - Q

Com diretriz x = -3 (paralelo ao eixo y), tem-se a abscissa xq = -3 do ponto Q. Com vértice V(-1, -3) na abscissa xv = -1, a abscissa xf do foco F é:

-> xf = 2⋅xv - xq

-> xf = 2⋅(-1) - (-3)

-> xf = -2 + 3

-> xf = 1

Com vértice V(-1, -3) na ordenada yv = -3, a ordenada yf do foco F é yf = -3. Portanto, o foco F é:

-> F(1, -3)

Agora, pode-se escrever a equação dessa parábola, cuja equação geral é:

-> |PF| = |PQ|

Com diretriz x = -3, tem-se o ponto Q(-3, y), pois a diretriz é paralela ao eixo y. Com o foco F(1, -3) e o ponto P(x, y) da parábola, a equação anterior fica da seguinte forma:

-> |PF| = |PQ|

-> | (x, y) - (1, -3) | = | (x, y) - (-3, y) |

-> √[ (x - 1)² + (y + 3)² ] = √[ (x + 3)² + (y - y)² ]

-> (x - 1)² + (y + 3)² = (x + 3)² + (0)²

-> (x² - 2x + 1) + (y + 3)² = (x² + 6x + 9)

-> (y + 3)² = (x² + 6x + 9) - (x² - 2x + 1)

-> (y + 3)² = 8x + 8

Portanto, a equação da parábola é:

-> (y + 3)² = 8(x + 1)

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