Calculo I - Substituição Trigonométrica
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Calculo I - Substituição Trigonométrica


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SALA: 214 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral B 
Sexta Feira 
 
 
 
 
 
8a Aula Integrais indefinidas 
 
Integração por substituição 
de variáveis trigonométricas 
 
 
 
Códigos: T1106 B / T6003 B / T9003 
 
Turma: MEC108AN 
 
 
 
 
Prof. HANS-ULRICH 
 PILCHOWSKI 
 
 
 Versão: 1o Semestre de 2009 
 
Prof. Hans-Ulrich Pilchowski Notas de aula Cálculo Diferencial e Integral B 
 
 1 
 
 
Integração por substituições trigonométricas 
 
 
Para determinar a área de um círculo ou uma elipse, ter-se-á de integrar uma integral do 
tipo \u222b \u2212= dxxay
222 , onde 0>a . Se a integral fosse \u222b \u2212= dxxaxy
22
, a 
substituição 22 xau \u2212= seria eficaz, mas, como a integral é \u222b \u2212 dxxa
22
, esta 
substituição não é possível. Porém, se a troca de variável for ( )\u3c6= senax , então a 
identidade ( ) ( )\u3c6=\u3c6\u2212 22 cossen1 faz com que a raiz possa ser eliminada, isto é, 
 
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )\u3c6\u3c6\u3c6\u3c6\u3c6 coscoscossen1sen 222222222 aaaaaaxa ===\u2212=\u2212=\u2212 . 
 
Donde para ( ) ( ) \u3c6\u3c6\u3c6 dadxax cossen =\u21d2= e assim a integral fica: 
 
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )\u222b\u222b\u222b\u222b ==\u2212=\u2212 \u3c6\u3c6\u3c6\u3c6\u3c6\u3c6\u3c6\u3c6 dadaadaaadxxa 2222222 coscoscoscossen , 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )\u3c6\u3c6\u3c6\u3c6\u3c6\u3c6\u3c6\u3c6\u3c6\u3c6 cossen
24
cossen2
24
2sen
2
cos
2
2222 +=\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
+=\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
+== \u222b
a
aaday , 
 
retornando para a variável inicial x , a partir de ( )\u3c6= senax , tem-se 
 
( ) ( ) ( ) 22
2
2 11sen1cosarcsensen xa
aa
x
e
a
x
a
x
\u2212=\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212=\u2212=\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
=\u21d2= \u3c6\u3c6\u3c6\u3c6 
 
Portanto, 
 
Cxax
a
x
axa
aa
x
a
xadxxay +\u2212+\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
=\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212+\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
=\u2212= \u222b
22222
2
22 arcsen
1
arcsen
2
22 . 
 
 
Neste caso, a variável antiga passa a ser uma função da nova variável. Em geral 
pode-se fazer a substituição na forma ( )tgx = usando a regra da substituição ao 
contrário, isto é, assume-se que ( )tg possui uma função inversa, de forma que ao trocar-
se u por x e x por t , na regra da substituição, obtém-se: ( ) ( )[ ] ( ) dttgtgfdxxf \u22c5= \u222b\u222b , 
que é denominado de substituição inversa. 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Hans-Ulrich Pilchowski 6a Aula Integração por substituição de variáveis trigonométricas 
 2 
 
Assim, as substituições normalmente utilizadas nestes casos são: 
 
Expressão substituição identidade 
22 xa \u2212 ( )\u3c6= senax para 
22
pi\u2264\u3c6\u2264pi\u2212 ( ) ( )\u3c6=\u3c6\u2212 22 cossen1 
22 xa + ( )\u3c6= tanax para 
22
pi
<\u3c6<pi\u2212 ( ) ( )\u3c6\u3c6 22 sectan1 =+ 
22 ax \u2212 ( )\u3c6= secax para 
2
0 pi<\u3c6\u2264 ( ) ( )\u3c6=\u2212\u3c6 22 tan1sec 
 
 
Exemplo: Calcular a integral dx
x
xy \u222b
\u2212
= 2
29
 
 
Solução: seja ( )\u3c6= sen3x , onde 
22
pi\u2264\u3c6\u2264pi\u2212 . Então, ( ) \u3c6\u3c6= ddx cos3 e 
 
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )\u3c6=\u3c6=\u3c6=\u3c6\u2212=\u3c6\u2212=\u2212 cos3cos3cos9sen19sen999 2222x . 
 
Donde a regra da substituição inversa faz, com que 
 
( )
( ) ( )( )
( )
( )
( )
( ) \u3c6\u3c6
\u3c6
=\u3c6\u3c6
\u3c6
=\u3c6\u3c6\u3c6
\u3c6
=
\u2212
= \u222b\u222b\u222b\u222b ddddxx
xy 2
2
2
2
22
2
sen
cos
sen9
cos9
cos3
sen9
cos39
 
 
tabela: ( ) ( ) cxxdxx +\u2212\u2212=\u222b cotcot 2 
 
( ) ( ) Ccotdcoty +\u3c6\u2212\u3c6\u2212=\u3c6\u3c6= \u222b 2 . 
 
Porém, deve voltar-se à variável original x , então do triângulo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 obtém-se, ( ) ( )( ) x
x 29
sen3
cos3
cot
\u2212
=\u3c6
\u3c6
=\u3c6 
( ) 29cos3 x\u2212=\u3c6 
3 ( )\u3c6= sen3x
Prof. Hans-Ulrich Pilchowski Notas de aula Cálculo Diferencial e Integral B 
 
 3 
 
 e de ( ) ( ) \uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
=\u3c6\u21d2=\u3c6\u21d2\u3c6=
3
arcsen
3
sensen3 xxx , tem-se: 
 
Cx
x
xdx
x
xy +\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212
\u2212
\u2212=
\u2212
= \u222b 3
arcsen
99 2
2
2
 
 
Exemplo: Calcular a integral dx
xx
y \u222b
+
=
4
1
22
 
 
Solução: seja ( )\u3c6= tan2x , onde 
22
pi
<\u3c6<pi\u2212 . Então, ( ) \u3c6\u3c6= ddx 2sec2 e 
 
 
( )[ ] ( ) ( ) ( )\u3c6=\u3c6=\u3c6=+\u3c6=+ secsecsectanx 224144 222 . 
 
 
Donde a regra da substituição inversa faz, com que 
 
 
( )
( ) ( )
( )
( )\u222b\u222b\u222b \u3c6
\u3c6\u3c6
=\u3c6\u22c5\u3c6
\u3c6\u3c6
=
+
= 22
2
22 tan
sec
4
1
sec2tan4
sec2
4
dd
xx
dxy 
 
 
Para avaliar essa integral faz-se 
 
 
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )\u3c6
\u3c6
=\u3c6
\u3c6
\u3c6=\u3c6
\u3c6
22
2
2 sen
cos
sen
cos
cos
1
tan
sec
 
 
 
( )
( ) ( )
( ) C
uu
dud
xx
dxy +\u3c6\u2212=\u3c6\u2212=\uf8f7\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212==\u3c6
\u3c6\u3c6
=
+
= \u222b\u222b\u222b 4
csc
sen4
11
4
1
4
1
sen
cos
4
1
4 2222
 
 
 
 
Porém, deve voltar-se à variável original x , então do triângulo 
 
 obtém-se, ( )
x
x 4
csc
2 +
=\u3c6 
 
 C
x
x
xx
dxy ++\u2212=
+
= \u222b
4
4
2
22
 
 
 
42 +x 
2 
( )\u3c6= tan2x 
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 4 
 
 
Do triângulo mostrado a seguir, podem ser obtidas as seguintes relações obtém-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício: Calcular a integral dx
x
xy \u222b
+
=
42
 
 
 
Solução: seja ( )\u3c6= tan2x , onde 
22
pi
<\u3c6<pi\u2212 . Então, ( ) \u3c6\u3c6 ddx 2sec2= e 
 
 
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )\u3c6\u3c6\u3c6\u3c6\u3c6 sec2sec2sec21tan21tan44 2222 ===+=+=+x . 
 
Donde a regra da substituição inversa faz, com que 
 
 
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )\u222b\u222b\u222b\u222b ===+= \u3c6\u3c6
\u3c6\u3c6\u3c6\u3c6\u3c6\u3c6
\u3c6\u3c6\u3c6 ddd
x
xdxy
cos
secsen2sectan2
sec2
sectan4
4
2
2
 
 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) uu
dudu
u
y
dud
ddu
u
dy 22
sen
sen2
sen
sen
cos
cos
sen2 222 \u2212===\u21d2
\uf8f4
\uf8f4
\uf8f3
\uf8f4
\uf8f4
\uf8f2
\uf8f1
=
=
=
\u21d2= \u222b\u222b\u222b \u3c6
\u3c6
\u3c6\u3c6
\u3c6\u3c6
\u3c6
\u3c6\u3c6
\u3c6
 
 
Deve voltar-se à variável \u3c6 , por tanto 
 
( )\u3c6cos
22
\u2212=\u2212=
u
y 
 
 
Porém, deve voltar-se à variável original x , então do triângulo a partir da definição 
( )\u3c6= tan2x , ou seja, deve-se obter a relação entre o ( )\u3c6cos e x . Assim, tem-se que 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )\u3c6\u3c6\u3c6\u3c6\u3c6 2
2
2
2
22
cos
1
4
4
cos
1
2
1sectan1
2
tan =
+
\u21d2=\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
+\u21d2=+=
xx
e
x
 
21 t+ 
21 t\u2212 
t2 
x 
( )
( )
( )
( )[ ]
( ) ( )( )
\uf8f4
\uf8f4
\uf8f4
\uf8f3
\uf8f4
\uf8f4
\uf8f4
\uf8f2
\uf8f1
+
=
+
\u2212
=
\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
+
=
\u21d2
\uf8f4
\uf8f4
\uf8f4
\uf8f3
\uf8f4
\uf8f4
\uf8f4
\uf8f2
\uf8f1
\u2212
=
+
\u2212
=
+
=
2
22
2
2
2
2
2
2
1
2
1
12
1
2
1
2
1
1
1
2
t
dtdx
dt
t
tdxxcos
t
t
td
d
xsen
dx
d
t
t
xtan
t
t
xcos
t
t
xsen
 
Prof. Hans-Ulrich Pilchowski Notas de aula Cálculo Diferencial e Integral B 
 
 5 
 
 
( ) ( ) ( ) 2
4
cos
1
4
4
cos
1
4
4
cos
1 22
2
2
2
xxx +
=\u21d2
+
=\u21d2
+
= \u3c6\u3c6\u3c6 , 
 
 
Portanto, 
 
( ) Cx
xy ++\u2212=+\u2212=\u2212= 2
2
4
2
42
cos
2
\u3c6 
 
 
 
Exercício: Calcular a integral dxxy \u222b \u2212= 1
2
 
 
 
Solução: seja ( )\u3c6sec=x , onde 
2
0 pi\u3c6 << . Então, ( ) ( ) \u3c6\u3c6\u3c6 ddx sectan= e 
 
 
( ) ( ) ( )\u3c6\u3c6\u3c6 tantan1sec1 222 ==\u2212=\u2212x . 
 
Donde a regra da substituição inversa faz, com que 
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )\u222b\u222b\u222b ==\u2212= \u3c6\u3c6\u3c6\u3c6\u3c6\u3c6\u3c6 dddxxy sectansectantan1 22
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) uu
duduuy
dud
ddu
u
dy 22
sectan
sectan
2
1
sectan2
sectan2
tan
sectan 22
2
2
2
2
\u2212===\u21d2
\uf8f4
\uf8f4
\uf8f3
\uf8f4
\uf8f4
\uf8f2
\uf8f1
=
=
=
\u21d2= \u222b\u222b\u222b \u3c6\u3c6
\u3c6\u3c6
\u3c6\u3c6\u3c6
\u3c6\u3c6\u3c6
\u3c6
\u3c6\u3c6\u3c6
 
 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) uu
dudu
u
y
dud
ddu
u
dy 22
sen
sen2
sen
sen
cos
cos
sen2 222 \u2212===\u21d2
\uf8f4
\uf8f4
\uf8f3
\uf8f4
\uf8f4
\uf8f2
\uf8f1
=
=
=
\u21d2= \u222b\u222b\u222b \u3c6
\u3c6
\u3c6\u3c6
\u3c6\u3c6
\u3c6
\u3c6\u3c6
\u3c6
 
 
Deve voltar-se à variável \u3c6 , por tanto 
 
( )\u3c6cos
22
\u2212=\u2212=
u
y 
 
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 6 
 
Porém, deve voltar-se à variável original x , então do triângulo a partir da definição 
( )\u3c6= tan2x , ou seja, deve-se obter a relação entre o ( )\u3c6cos e x . Assim, tem-se que 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )\u3c6\u3c6\u3c6\u3c6\u3c6 2
2
2
2
22
cos
1
4
4
cos
1
2
1sectan1
2
tan =
+
\u21d2=\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
+\u21d2=+=
xx
e
x
 
 
 
( ) ( ) ( ) 2
4
cos
1
4
4
cos
1
4
4
cos
1 22
2
2
2
xxx +
=\u21d2
+
=\u21d2
+
= \u3c6\u3c6\u3c6 , 
 
 
Portanto, 
 
( ) Cx
xy ++\u2212=+\u2212=\u2212= 2
2
4
2
42
cos
2
\u3c6 
 
Exemplo: 
 
( ) ( )( ) ( )\u222b\u222b\u222b\u222b\u222b \u22c5\u2212\u2212=+\u22c5\u2212=+\u22c5
+
\u2212
+
==
1
22
1
2
1
2
1
2
1
1
1
2
22222
2
2
2
t
tdt
t
dt
t
t
t
dt
t
t
t
t
dx
xcos
xsendxxtan 
 
t
dudttdtdutu
2
22 =\u21d2=\u21d2= 
 
 
 
( ) \u222b\u222b\u222b
\u2212
\u2212=\u22c5
\u2212
\u2212=
1
2
21
22 22 u
du
t
du
u
tdxxtan 
 
 
22
22
1
2
1
axc
a
x
cotharc
a
c
ax
ax
n
aax
dx
>+\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212=+
+
\u2212
=
\u2212
\u222b l 
 
 
 
( ) ( ) Cxn
t
t
n
u
u
n
u
dudxx +\u2212=
+
\u2212
\u2212=\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed