5listaExerciciosVetoresGA_Quim2012

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5a Lista de exerc´ıcios. Vetores e Geometria Anal´ıtica
Prof. Ame´rico Lo´pez
Exerc´ıcio 1. Determine os valores de r e θ nos seguintes pontos:
a) (2, 2); b) (4,−1); c) (−2, 0)
d) (1,
√
2); e) (−3,−2); f) (0,−5)
g) (1, 5); e) (2, 0); f) (12,−6)
Exerc´ıcio 2. Determine os valores de x e y para os seguintes pontos:
a) r = 1, θ = 0 b) r = 6 θ = 125◦
c) r = 3, 16, θ = 7pi/6 b) r = 2, 5 θ = 270◦
Exerc´ıcio 3. Dado que a equac¸a˜o polar de um gra´fico e´ r2 = 4 sin(2θ) ache a equac¸a˜o cartesiana.
Exerc´ıcio 4. Ache a equac¸a˜o polar do gra´fico cuja equac¸a˜o cartesiana e´ x2 + y2 − 4x = 0
Exerc´ıcio 5. Nos seguintes exerc´ıcios marque o ponto com o conjunto de coordenadas polares dadas.
a) (3, pi/6); b) (2, 2pi/3); c) (1, pi)
d) (4, pi/3); e) (5, 5pi/3); f) (5,−2pi/3)
Exerc´ıcio 6. Nos seguintes itens, ache a equac¸a˜o polar do gra´fico dada sua equac¸a˜o cartesiana.
a) x2 + y2 = a2 b) x+ y = 1 c) y2 = 4(x+ 1)
e) x3 = 4y2 f) x2 = 6y − y2 g) x2 − y2 = 16
Exerc´ıcio 7. Nos seguintes itens, ache a equac¸a˜o cartesiana do gra´fico tendo a sua equac¸a˜o polar.
a) r2 = 2 sin(2θ) b) r2 cos(2θ) = 10
c) r2 = cos(θ) d) r2 = 4 cos(2θ)
e) r2 = θ f) r cos(θ) = −1
Exerc´ıcio 8. Ache as coordenadas cartesianas do ponto cujos coordenadas esfe´ricas sa˜o:
a) (4, pi/6, pi/4); b) (4, pi/2, pi/3); c) (
√
6, pi/3, 3pi/4).
Exerc´ıcio 9. Ache um conjunto de coordenadas esfe´ricas do ponto cujas coordenadas cartesianas
sa˜o:
a) (1,−1,−√2); b) (−1,√3, 2); c) (2, 2, 2).
Exerc´ıcio 10. Nos seguintes itens, encontre uma equac¸a˜o em coordenadas esfe´ricas da superfic´ıcie
dada e identifique a superf´ıcie.
a) x2 + y2 + z2 − 9z = 0 b) x2 + y2 = z2
c) x2 + y2 = 9 d) x2 + y2 = 2z
e) x2 + y2 + z2 − 8x = 0
Exerc´ıcio 11. Nos seguintes itens, encontre uma equac¸a˜o em coordenadas cartesianas da superf´ıcie
cuja equac¸a˜o e´ dada em coordenadas esfe´ricas.
a) r = 9; b) θ = pi/4 c) ϕ = pi/4
d) r = 9 sec(ϕ) e) r = 6 csc(ϕ)
f) r = 3 cos(ϕ) g) r = 2 tan(θ)
h) r = 6 sin(ϕ) sin(θ) + 3 cos(ϕ)
1
2
Um pouco de Cultura Geral (Equac¸a˜o de Laplace em duas Dimenso˜es). A equac¸a˜o de
Laplace em duas dimenso˜es e´ dada pela seguinte expressa˜o:
∂2f
∂x2
+
∂2f
∂y2
= 0
onde f = f(x, y) e´ uma func¸a˜o de duas varia´veis definida em pontos (x, y) do plano cartesiano. A
equac¸a˜o de Laplace aparece em muitas a´reas da F´ısica e e´ considerada como uma equac¸a˜o fundamen-
tal na Teoria do Potencial quando um sistema f´ısico e´ descrito em termos de uma func¸a˜o potencial.
Assim por exemplo, a gravitac¸a˜o e a func¸a˜o potencial eletrosta´tica, numa regia˜o livre de mate´ria,
satisfazem a equac¸a˜o de Laplace em treˆs dimenso˜es. Em duas dimenso˜es esta equac¸a˜o e´ importante
na teoria de fluxos; por exemplo, na teoria de fluidos de fluxos e na conduc¸a˜o do calor.
Sabe-se que a posic¸a˜o de uma ponto no plano pode ser representada em termos de coordenadas
polares r e θ, onde x = r cos(θ) e y = r sen(θ). Portanto uma func¸a˜o f definida no plano pode ser
considerada como sendo uma func¸a˜o de r e θ, isto e´, f = f(r, θ).
Exerc´ıcio 12. Prove que a equac¸a˜o de Laplace em coordenadas polares e´
∂2f
∂r2
+
1
r
∂f
∂r
+
1
r2
∂2f
∂θ2
= 0.
Mais um pouco de teoria. O operador diferencial (leˆ-se nabla quadrado)
∇2 = ∂
2
∂x2
+
∂2
∂y2
que em coordenadas polares se escreve como (verifique!)
∇2 = ∂
2
∂r2
+
1
r
∂
∂r
+
1
r2
∂2
∂θ2
e´ chamado de Operador Laplaciano1. Considerando agora este operador podemos dizer que uma
func¸a˜o f satisfaz a equac¸a˜o de Laplace se
∇2f = 0.
Uma func¸a˜o que satisfaz esta u´ltima equac¸a˜o e´ chamada de func¸a˜o harmoˆnica.
Exerc´ıcio 13. Mostre que u(r, θ) = r2 cos(2θ) e f(r, θ) = ln(r) satisfazem a equac¸a˜o de Laplace
Exerc´ıcio 14. As soluc¸o˜es da equac¸a˜o de Schro¨dinger para o electron num a´tomo de hidrogeˆnio
tem treˆs nu´meros quaˆnticos associados, e eles sa˜o denotados por n, l e m. As referidas soluc¸o˜es sa˜o
frequentemente denotadas por ψnlm. Uma das soluc¸o˜es e´
ψ211(r, θ, φ) =
1
8
√
pi
( 1
a0
)3/2 r
a0
e−r/2a0 sen(θ)eiφ,
onde a0 e´ a distaˆncia, equal a 0, 529× 10−10m, chamada de radio de Bohr.
Escreva esta func¸a˜o em termos das coordenadas cartesianas x, y, z.
1este operador aparece na equac¸a˜o de Shro¨dinger da mecaˆnica quaˆntica e em eletrosta´tica