INTEGRAIS_TRIPLAS_-_MATERIAL_COMPLEMENTAR

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INTEGRAIS TRIPLAS
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INTEGRAIS TRIPLAS
As INTEGRAIS TRIPLAS são ferramentas que podem ser utilizadas para calcular volume, centro de massa, momento de inércia de sólidos, entre outros.
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APLICAÇÃO 1
Nesta aplicação iremos calcular o volume de um cilindro circular reto de duas maneiras. Primeiro usaremos a fórmula da geometria e depois faremos o cálculo deste volume usando integrais triplas.
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Observe abaixo o cilindro com altura h = 5 cm e raio da base r = 2 cm.
 cuja equação é x + y = 4 no espaço tridimensional.
2
2
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Sabemos que seu volume V é dado pela equação 
Volume = (área da base).(altura)
 V = (π.2 ).(5) cm = 20π cm
2
3
3
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5
2
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Agora realizaremos o cálculo usando integrais iteradas. Note que podemos dividir o sólido em quatro partes. Vamos considerar a parte do sólido que está no primeiro octante e depois multiplicaremos o resultado por 4. 
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Observe que a variável z é maior ou igual a zero e menor ou igual a 5.
0 ≤ z ≤ 5
No plano xOy, usaremos coordenadas polares. 
x = r cos(θ)
y = r sen(θ)
0 ≤ r ≤ 2
0 ≤ θ ≤ π/2
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V = ∫ ∫ ∫ rdrdθdz
Primeiro resolveremos a integral ∫ rdr = 2
Agora vamos calcular ∫ 2 dθ = π
Iremos calcular ∫ π dz = 5 π
Por último multiplicamos o resultado por 4.
Donde concluimos que V = 20π.
0
0
0
0
5
 π/2
 2
0
 2
0
 π/2
0
5
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 =
 =
=
=
=
=
=
=
=
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 “ Comece fazendo o que é necessário, depois o que é possível, e de repente você estará fazendo o impossível.”
São Francisco de Assis.