Álgebra Linear: Núcleo, Imagem e Teorema da Dimensão

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ÁLGEBRA LINEAR
Núcleo e Imagem de uma Transformação 
Linear, Teorema da Dimensão, 
Isomorfismo
Prof. Susie C. Keller
Núcleo de uma 
Transformação Linear
 Definição:
 Chama-se núcleo de uma transformação linear
T: VW ao conjunto de vetores v  V que são
transformados em 0  W.
 Indica-se esse conjunto por N(T) ou ker(T):
N(T) = {v  V/ T(v) = 0}
Observemos que N(T)  V e N(T) ≠ , pois 0  N(T),
tendo em vista que T(0) = 0.
Núcleo de uma 
Transformação Linear
Núcleo de uma 
Transformação Linear
 Exemplos:
Núcleo de uma 
Transformação Linear
Núcleo de uma 
Transformação Linear
2.
Núcleo de uma 
Transformação Linear
Núcleo de uma 
Transformação Linear
 Esse conjunto representa uma reta do IR3 que passa pela origem
e tal que todos os seus pontos tem por imagem a origem no IR2.
Núcleo de uma 
Transformação Linear
 Propriedades:
1. O núcleo de uma transformação linear T:VW é
um subespaço vetorial de V.
De fato:
Sejam v1 e v2 vetores pertencentes ao N(T) e   IR.
Então T(v1) = 0 e T(v2) = 0. Assim:
I) T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2) = 0 + 0 = 0
Isto é v1 + v2  N(T).
II) T(v1) =  T(v1) = 0 = 0
Isto é v1  N(T).
 Definições:
1. Dada uma aplicação (função) T:V→W, T é injetora
se dados u  V, v  V com T(u)=T(v) tivermos u=v.
Em outras palavras, T é injetora se as imagens de
vetores distintos são distintas.
Núcleo de uma 
Transformação Linear
u
v
T(u)
T(v)
2. A aplicação (função) T:V→W, T é sobrejetora se a
imagem de T coincidir com W, ou seja T(V) = W
(imagem = contra-domínio).
Em outras palavras, T é sobrejetora se dado w  W,
existir v  V tal que T(v) = w.
Núcleo de uma 
Transformação Linear
v w=T(v)
Núcleo de uma 
Transformação Linear
2. Uma transformação linear T: VW é injetora se, e
somente se, N(T) = {0}.
Lembramos que uma aplicação T: VW é injetora
se v1, v2  V:
• T(v1) = T(v2) implica que v1 = v2 ou,
• T(v1) ≠ T(v2) implica que v1 ≠ v2.
A demonstração dessa propriedade tem duas partes:
 Propriedades (continuação):
Núcleo de uma 
Transformação Linear
a) Vamos mostrar que se T é injetora, então N(T)={0}.
De fato:
 Seja v  N(T), isto é, T(v) = 0.
 Por outro lado, sabe-se que T(0) = 0.
 Logo T(v) = T(0).
 Como T é injetora por hipótese, v = 0.
 Portanto, o vetor zero é o único elemento do
núcleo, isto é, N(T) ={0}.
Núcleo de uma 
Transformação Linear
b) Vamos mostrar que se N(T)={0}, então T é injetora.
De fato:
 Sejam v1, v2  V tais que T(v1) = T(v2).
 Então, T(v1) - T(v2) = 0 ou T(v1 - v2) = 0 e,
portanto v1 - v2  N(T).
 Por hipótese, o único elemento do núcleo é o
vetor 0, e, portanto, v1 - v2 = 0, isto é v1 = v2.
 Como T(v1) = T(v2) implica v1 = v2, T é injetora .
Imagem de uma 
Transformação Linear
 Definição:
 Chama-se imagem de uma transformação linear
T: VW ao conjunto dos vetores de w  W que são
imagens de pelo menos um vetor v  V. Indica-se esse
conjunto por Im (T) ou T(V):
Im (T) = {w W/T(v) = w para algum v  V}
 Observemos que Im(T)  W e Im(T) ≠,
pois 0 = T(0)  Im(T). Se Im(T) = W, T diz
sobrejetora, isto é, para todo w  W existe pelo menos
um v  V tal que T(v) = w.
Imagem de uma 
Transformação Linear
Imagem de uma 
Transformação Linear
 Exemplos:
 Seja T:IR3 →IR3, T(x,y,z) = (x,y,0) a projeção ortogonal do
IR3 sobre o plano xy. A imagem de T é o próprio plano xy.
Observemos que o núcleo de T é
o eixo dos z:
N(T) = {(0,0,z) / z  IR}
Imagem de uma 
Transformação Linear
 A imagem da transformação linear identidade
I:V→V definida por I(v) = v,  v  V, é todo
espaço V. O núcleo é N(I) = {0}.
 A imagem da transformação nula T:V→W definida
por T(v) = 0,  v  V, é o conjunto Im(T) = {0}. O
núcleo é todo o espaço V.
Imagem de uma 
Transformação Linear
 Propriedade:
“A imagem de uma transformação T:VW é um
subespaço de W.”
De fato:
 Sejam os vetores w1, w2  Im(T) e   IR.
Devemos mostrar que w1+w2  Im(T) e w1  Im(T),
isto é, devemos mostrar que existem vetores v e u
pertencentes a V tais que T(v) = w1+w2 e T(u) = w1.
Como w1, w2  Im(T), existem vetores v1, v2  V tais
que T(v1) = w1 e T(v2) = w2.
Imagem de uma 
Transformação Linear
 Fazendo v = v1 + v2 e u = v1 tem-se:
T(v) = T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2) = w1 + w2
e
T(u) = T(v1 ) = T(v1) = w1
 Portanto Im(T) é um subespaço vetorial de W.
Teorema da Dimensão
 Teorema da Dimensão:
“Seja V um espaço de dimensão finita e T: VW
uma transformação linear. Então:
dim N(T) + dim Im(T) = dim V.”
 Observação:
“Se T: VW é linear e {v1, v2, ..., vn} gera V, então
{T(v1), ..., T(vn)} gera Im(T)}.”
De fato:
Seja w  Im (T). Então, T(v) = w para algum v  V.
Como {v1, v2, ..., vn} gera V, existem escalares
a1, a2, ..., an tais que:
v = a1v1 + a2v2 + ... + anvn
Teorema da Dimensão
w = T(v) = T(a1v1 + a2v2 + ... + anvn)
= a1T(v1) + a2T(v2) + ... + anT(vn)
Portanto:
Im(T) = [T(v1), T(v2), ..., T(vn)]
Teorema da Dimensão
 Corolários:
Seja T:VW uma transformação linear.
1. Se dim V = dim W, então T é injetora se, e
somente se, é sobrejetora.
De fato: T é injetora
N(T) = {0}
0 + dim Im(T) = dim V
dim Im(T) = dim W
Im(T) = W  T é sobrejetora.
Teorema da Dimensão
De fato: T é sobrejetora
Im(T) = W
dim Im(T) = dim W
dim Im(T) = dim V
dim N(T) = 0
N(T) = {0}  T é injetora.
 Numa transformação linear na qual dimV=dimW,
se T é injetora (ou sobrejetora), então T é também
bijetora (injetora e sobrejetora).
Teorema da Dimensão
2. Se dim V = dim W e T é injetora, então T
transforma base em base, isto é, se B={v1, ...,vn} é
base de V, então T(B) ={T(v1), ...,T(vn)} é base de
W.
De fato:
Como dim V = dim W = n, basta mostrar que
T(B) é LI. Para tanto, consideremos a igualdade:
a1T(v1) + a2T(v2) + ... + anT(vn) = 0
ou
T(a1v1 + a2v2 + ... + anvn) = 0
Teorema da Dimensão
Como T é injetora
a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0
Sendo B uma base, B é LI e, portanto
a1 = a2 = ... = an = 0
Logo, T(B) é uma base de W.
Teorema da Dimensão
 Chama-se isomorfismo do espaço vetorial V no
espaço vetorial W a uma transformação T:VW,
que é bijetora.
 Nesse caso, os espaços vetoriais V e W são ditos
isomorfos.
 Dois espaços vetoriais de dimensão finita são
isomorfos se tiverem a mesma dimensão.
 A todo isomorfismo T:VW corresponde um
isomorfismo inverso T-1:WV, que também é
linear.
Isomorfismo
Isomorfismo
 Exemplos:
1. O operador linear
T:IR2→IR2, T(x,y) = (2x+y, 3x+2y)
é um isomorfismo no IR2. Como dim V = dim W,
basta mostrar que T é injetora.
De fato: N(T) = {(0,0)} o que implica T ser injetora.
2. A transformação linear
T:P2→IR3, T(at2 + bt + c) = (a, a + b, b - c)
é também isomorfismo.
Isomorfismo
3. O espaço vetorial IR2 é isomorfo ao subespaço
W = {(x, y, z)  IR3 / z = 0}
do IR3 (W é o plano xy do IR3).
De fato:
A aplicação linear T:IR2→W, tal que T(x,y) = (x,y,0),
é bijetora: a cada vetor (x, y) do IR2 corresponde um só
vetor (x, y, 0) de W e, reciprocamente. Logo, IR2 e W
são isomorfos.