Questão resolvida - Uma construtora deseja construir um depósito com as seguintes características: capacidade de 30 m³ , teto plano, base retangular cuja largura é três quartos do comprimento. O custo

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Uma construtora deseja construir um depósito com as seguintes características: 
capacidade de , teto plano, base retangular cuja largura é três quartos do 30 m3
comprimento. O custo por metro quadrado do material é de R$ 36,00 para o chão, 
R$204,00 para os lados e R$ 102,00 para o teto. Quais as dimensões do depósito 
que minimizarão o custo?
 
Resolução:
 
Uma projeção tipo planta baixa desse depósito pode ser vista abaixo;
 
A área da base que é igual a área do teto do depósito é: Ab
A = A = x ⋅ A = A =b t
3x
4
→ b t
3x
4
2
 
A área lateral do depósito é: 
A = 2 ⋅ x ⋅ h + 2 ⋅ ⋅ h A = 2xh + A =L
3x
4
→ L
3xh
2
→ L
4xh + 3xh
2
A =L
7xh
2
 
O custo C de produção do depósito é dado por: 
 
C = 36 ⋅A + 204 ⋅A + 102 ⋅A C = 36 ⋅ + 204 ⋅ + 102 ⋅b L t →
3x
4
2 7xh
2
3x
4
2
 
C = 9 ⋅ 3x + 102 ⋅ 7xh + ⋅ 3x C = 27x + + 714xh C = + 714xh2
51
2
2
→
2 153x
2
2
→
54x + 153x
2
2 2
 
 
depósito
3x
4
x
 
C = + 714xh
207x
2
2
 
Devemos colocar h em função de x usando o volume do depósito da seguinte forma;
V = x ⋅ ⋅ h 30 m³ = ⋅ h 3x ⋅ h = 120 h = h =
3x
4
→
3x
4
2
→
2
→
120
3x2
→
40
x2
Substituindo em C;
 
C = + 714x C = +
207x
2
2 40
x2
→
207x
2
2 28560
x
 
Para achar os pontos críticos de C, devemos fazer sua derivada C' e igualar a zero :
 
C = + 28560x C' = 2 ⋅ + -1 ⋅ 28560x
207x
2
2
-1
→
207x
2
( ) -1-1( )
 
C' = 207x - 28560x C' = 207x - = 0 = 0-2 →
28560
x2
→
207x ⋅ x - 28560
x
2
2
 
207x - 28560 = 0 207x = 28560 x = x = x =3 → 3 → 3
28560
207
→
3
9520
69
→
1360
9
 
x ≅ 5, 17 m
 
Este x encontrado é ponto crítico da função C, vamos verificar que tipo de ponto crítico é, 
substituindo um ponto antes x = 5 e depois x = 6 ;( ) ( )
 
x = 5 C' = 207 ⋅ 5 - C' = 1035 - C' = -107, 4 < 0→
28560
5( )2
→
28560
25
→
 
x = 6 C' = 207 ⋅ 6 - C' = 1242 - C' = 448, 67 > 0→
28560
6( )2
→
28560
36
→
a derivada indicada decrecimento e indica crescimento, sendo assim, o C' < 0 C' > 0
ponto para é ponto de mínimo da função custo, logo, as dimensões da base x ≅ 5, 17 m
para minimizar os custos são;
 
 
3
 
A altura deve ser;
 
h = h ≅ 1, 50 m
40
5, 17( )2
→
 
 
depósito = 3, 88 m
3 ⋅ 5, 17
4
5, 17 m