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1a Lista de Exerc´ıcios de Ca´lculo 1 - Profa. Marisa S. Costa
1. Usando a definic¸a˜o para a derivada de uma func¸a˜o em um ponto para determinar o
coeficiente angular da reta tangente, encontre uma equac¸a˜o da reta tangente a` curva
dada.
a) y =
x− 1
x− 2 no ponto (3, 2).
b) y = x
√
x no ponto (1, 1).
2. Mostre que a curva y = 6x3 + 5x− 3 na˜o tem reta tangente com inclinac¸a˜o 4.
3. Encontre equac¸o˜es para a reta tangente a` curva y = 1 + x3 e que sa˜o paralelas a` reta
12x− y = 1.
4. Uma part´ıcula desloca-se sobre o eixo x com func¸a˜o de posic¸a˜o x = 3 + 2t− t2, t ≥ 0.
a) Qual a velocidade no instante t?
b) Qual a acelerac¸a˜o no instante t?
5. Em um circuito ele´trico, se E volts for a forc¸a eletromotriz, R ohms for a resisteˆncia e
I ampe`res for a corrente, segue da lei de Ohm que IR = E. Supondo que E seja uma
constante positiva, mostre que R diminui a uma taxa proporcional ao inverso do quadrado
de I.
6. Se a a´gua estiver sendo drenada de uma piscina e V litros for o volume da a´gua da piscina
t min apo´s comec¸ar o escoamento, onde V = 250(1600− 80t+ t2), ache
a) a taxa me´dia segundo a qual a a´gua deixa a piscina durante os primeiros 5 min
b) qua˜o ra´pido a a´gua esta´ fluindo da piscina 5 min apo´s o in´ıcio do escoamento.
7. Mostre que para toda func¸a˜o linear f , a taxa me´dia de variac¸a˜o de f(x) quando x varia
de x1 ate´ x1 + k e´ a mesma que a taxa de variac¸a˜o instantaˆnea de f(x) em x1.
8. Ache uma equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico da func¸a˜o coseno no ponto (3pi/2, 0).
9. Em qual ponto sobre a curva y = 1+2ex−3x a reta tangente e´ paralela a` reta 3x−y = 5?
10. Encontre uma equac¸a˜o para a reta normal a` para´bola y = x2 − 5x + 4 que seja paralela
a` reta x− 3y = 5.
11. Seja
f(x) =
{
x2, se x ≤ 2,
mx+ b, se x > 2
.
Encontre os valores de m e b tais que f seja deriva´vel em toda a parte.
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12. Ache os pontos sobre a curva y = x4− 6x2 + 4 onde a reta tangente e´ horizontal (paralela
ao eixo x).
13. Derive:
a) f(x) = x senx+ cosx b) y =
1 + sen x
1− senx
c) g(x) = x2 tg x d) y =
x
1 + x
e) g(x) =
3x− 1
2x+ 1
f) f(t) =
2t
4 + t2
g) V (x) = (2t3 + 3)(x4 + 2x) h) Y (u) = (u−2 + u−3)(u5 − 2u2)
i) F (y) =
(
1
y2
− 3
y4
)
(y + 5y3) j) R(t) = (t+ cos t)(3−√t)
l) y =
x3
1− x2 m) f(t) =
2t
2 +
√
t
n) f(x) = x− 3 senx o) g(t) = t3 cos t
p) y =
senx
x2
q) f(x) =
ax+ b
cx+ d
14. Calcule a derivada das seguintes func¸o˜es
a) y =
x
2− tg x ,
c) f(θ) =
sec θ
1 + sec θ
e) y =
senx
x2
b) y =
1 + sen x
x+ cosx
d) y =
1− secx
tg x
f) y = x2senx tg x
15. Demonstre que
d
dx
(cossecx) = −cossecx cotg x.
16. Demonstre que
d
dx
(secx) = sec x tg x.
17. Demonstre que
d
dx
(cotg x) = −cossec2 x.
18. Demonstre, pela definic¸a˜o de derivada, que se f(x) = cos x, enta˜o f ′(x) = −senx.
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