Slides de Aula - Unidade II (4)

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Prof. Felix Claret
UNIDADE II
Cálculo Diferencial e Integral
de Várias Variáveis
 Regras e propriedades das integrais de funções de uma variável.
Integrais duplas
 Regras e propriedades das integrais de funções de uma variável.
Exemplos de aplicação:
1)
Integrais duplas
 Regras e propriedades das integrais de funções de uma variável.
Exemplos de aplicação:
2)
Integrais duplas
Integrais de duas variáveis:
Exemplo:
Integrais duplas
Integrais de duas variáveis:
Exemplo:
Integrais duplas
Integrais de duas variáveis:
Exemplo:
Integrais duplas
 Integrais definidas de funções de duas variáveis: aplicamos o Teorema 
Fundamental do Cálculo a uma das variáveis e mantemos a outra constante.
Exemplo:
Integrais duplas
X é a variável de 
integração e y é mantida 
constante.
Substitua x pelos 
limites de integração.
O resultado é uma 
função de y.
y y y y y y
 Integrais definidas de funções de duas variáveis: 
Exemplo:
Integrais duplas
 Integrais definidas de funções de duas variáveis: 
Exemplo:
Integrais duplas
Integrais duplas: 
Integrais duplas
Integrais duplas:
Exemplo: 
Integrais duplas
Calculando a integral , obtemos:
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
Interatividade
Calculando a integral , obtemos:
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
Resposta
 Integral dupla em uma região retangular.
Dada uma região retangular R, e uma função definida 
nessa região, a integral dupla em R pode ser calculada como:
Integrais duplas 
y
d
c
a b x
 Integral dupla em uma região retangular.
Exemplo: calcule a integral dupla , em que R é a região retangular dada 
por:
a) Integrando primeiro em relação a x;
b) Integrando primeiro em relação a y.
Integrais duplas 
 Integral dupla em uma região retangular.
Exemplo: calcule a integral dupla , em que R é a região retangular dada 
por:
Solução:
a) Integrando primeiro 
em relação a x:
Integrais duplas 
 Integral dupla em uma região retangular.
Exemplo: calcule a integral dupla , em que R é a região retangular dada 
por:
Solução:
b) Integrando primeiro 
em relação a y:
Integrais duplas 
 Integral dupla em uma região retangular.
Escolha da ordem de integração: algumas vezes, a escolha da ordem de integração 
pode facilitar o cálculo da integral desejada.
Exemplo: calcular a integral , em que é dado por: .
Integrais duplas 
 Integral dupla em uma região retangular.
Exemplo: calcular a integral , , em que é dado por: .
Integrando primeiro em x (integração por partes):
Integrais duplas 
 Integral dupla em uma região retangular.
Exemplo: calcular a integral , , em que é dado por: .
E a segunda integral em y resulta:
que não é trivial
Integrais duplas 
 Integral dupla em uma região retangular.
Exemplo: calcular a integral , , em que é dado por: .
Integrando primeiro em y:
Integrais duplas 
 Integral dupla em uma região retangular.
Áreas e volumes: podemos determinar áreas e volumes utilizando as integrais 
duplas. O procedimento não precisa ocorrer, necessariamente, em regiões 
retangulares, como veremos posteriormente. A expressão geral para a obtenção de 
áreas e volumes é dada por:
Integrais duplas 
 Integral dupla em uma região retangular.
Áreas e volumes – exemplo do cálculo da área para uma região retangular:
Calcular a área retangular delimitada pela região:
Integrais duplas 
 Integral dupla em uma região retangular.
Áreas e volumes – exemplo do cálculo da área para uma região retangular:
Calcular a área retangular delimitada pela região:
Solução:
Integrais duplas 
Resolvendo a integral para , obtemos:
a) . 
b) . 
c) . 
d) .
e) .
Interatividade
Resolvendo a integral para , obtemos:
a) . 
b) . 
c) . 
d) . 
e) . 
Resposta
 Integrais sobre regiões genéricas.
São integrais sobre regiões não retangulares. Em geral, regiões delimitadas por duas 
curvas:
Exemplo 1: determinar a área da região limitada no primeiro quadrante pelas curvas 
.
Integrais sobre regiões não retangulares 
 Integrais sobre regiões genéricas.
Exemplo 1: determinar a área da região limitada no primeiro quadrante pelas curvas 
.
Primeiro passo: determinamos os pontos de intersecção das duas curvas.
Integrais sobre regiões não retangulares 
 Integrais sobre regiões genéricas.
Exemplo 1: determinar a área da região limitada no primeiro quadrante pelas curvas 
Segundo passo: verificar qual 
das curvas é a inferior e qual é a superior.
Integrais sobre regiões não retangulares 
4
3
2
1
y
x
y=2x
y=x2
A
1 2
 Integrais sobre regiões genéricas.
Exemplo 1: determinar a área da região limitada no primeiro quadrante pelas curvas 
.
Terceiro passo: procedemos à 
integração começando com 
a variável y.
Integrais sobre regiões não retangulares 
 Integrais sobre regiões genéricas.
Exemplo 2: determinar o volume compreendido entre a superfície dada por 
, o plano xy e as curvas e .
Integrais sobre regiões não retangulares 
 Integrais sobre regiões genéricas.
Exemplo 2: determinar o volume compreendido entre a superfície dada por 
, o plano xy e as curvas e .
Primeiro passo: determinamos os pontos de intersecção das duas curvas.
Integrais sobre regiões não retangulares 
 Integrais sobre regiões genéricas.
Exemplo 2: determinar o volume compreendido entre a superfície dada por 
, o plano xy e as curvas e .
Segundo passo: verificamos qual das curvas é a inferior 
e qual é a superior.
Integrais sobre regiões não retangulares 
y
y = 4 + 2x2
y = 3x2
x
D
 Integrais sobre regiões genéricas.
Exemplo 2: determinar o volume compreendido entre a superfície dada por 
, o plano xy e as curvas e .
Terceiro passo: procedemos à integração começando com a variável y.
Integrais sobre regiões não retangulares 
 Integrais sobre regiões genéricas.
Exemplo 2: determinar o volume compreendido entre a superfície dada por 
, o plano xy e as curvas e .
Quarto passo: substituímos o resultado obtido para a integral em y na integral em x.
Portanto
Integrais sobre regiões não retangulares 
A área delimitada no primeiro quadrante pelas curvas e é dada por:
a) 0,25.
b) -0,25.
c) 0,5.
d) -0,5.
e) 1,0.
Interatividade
A área delimitada no primeiro quadrante pelas curvas e é dada por:
a) 0,25.
b) -0,25.
c) 0,5.
d) -0,5.
e) 1,0.
Resposta
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1
0.5
1
-0.5
-1
 Integrais duplas em coordenadas polares.
Transformação de coordenadas cartesianas para polares:
Máximos e mínimos de funções de duas variáveis 
 Integrais duplas em coordenadas polares.
Transformação de coordenadas cartesianas para polares:
Máximos e mínimos de funções de duas variáveis 
 Integrais duplas em coordenadas polares.
Transformação de coordenadas 
cartesianas para polares:
Máximos e mínimos de funções de duas variáveis 
 Integrais duplas em coordenadas polares.
Transformação de coordenadas cartesianas para polares:
Portanto,
Máximos e mínimos de funções de duas variáveis 
 Integrais duplas em coordenadas polares.
Transformação de coordenadas cartesianas para polares:
Exemplo 1: calcular a integral, em que R é a região limitada no 
primeiro quadrante 
por:
Máximos e mínimos de funções de duas variáveis 
x2 + y2 = 1
x2 + y2 = 4
R
 Integrais duplas em coordenadas polares.
Transformação de coordenadas cartesianas para polares:
Exemplo 1 – solução: , ,
Máximos e mínimos de funções de duas variáveis 
 Integrais duplas em coordenadas polares.
Transformação de coordenadas cartesianas para polares:
Exemplo 1 – solução: 
Máximos e mínimos de funções de duas variáveis 
 Integrais duplas em coordenadas polares.
Transformação de coordenadas cartesianas para polares:
Exemplo 2 – calcular , em que R é a região do semiplano superior limitado 
pelas circunferências e
Máximos e mínimos de funções de duas variáveis 
x2 + y2 = 4
x2 + y2 = 5
2
1
-1-2 1 2 3
x
y
3
 Integrais duplas em coordenadas polares.
Transformação de coordenadas cartesianas para polares:
Exemplo 2 – solução – análogo ao exemplo 1:
Máximos e mínimos de funções de duas variáveis 
Calculando a integral , em que R é a região do semiplano superior 
limitado pelas circunferências e , obtemos: 
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
Interatividade
Calculando a integral , em que R é a região do semiplano superior 
limitado pelas circunferências e , obtemos: 
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
Resposta
ATÉ A PRÓXIMA!