Distribuições de Probabilidade Discretas

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Algumas Distribuições de 
Probabilidade Discretas:Probabilidade Discretas:
Uniforme Discreta
Binomial
Hipergeométrica
Binomial Negativa
Geométrica
Poisson
Distribuição Uniforme Discreta
Exemplo:
Um jogo consiste em lançar um dado e olhar a face de cima:
- se a face for de um número ímpar, o jogador ganha o valor da face em reais; 
- se a face for de um número par, o jogador perde o valor da face em reais. 
É um jogo justo?
X: valor ganho/perdido pelo jogador P(X=x)=1/6, x=1,-2,3,-4,5,-6.
E(X)=(1/6)(1-2+3-4+5-6) = (9-12) /6 = -3/6 = -1/2 real. 
Não é um jogo justo. Seria justo de E(X)=0.
Pedir a uma pessoa para gerar uma sequência de números ao acaso é um 
bom teste do funcionamento do lobo frontal. Quanto “mais aleatórios” os 
números, melhor será o funcionamento do córtice frontal.
Exemplo:
Experimentos de Bernouli
Um experimento aleatório de Bernoulli tem as seguintes propriedades: 
���� Resulta em um de dois eventos excludentes: sucesso ou fracasso;
���� A probabilidade de sucesso ( p ) (ou a probabilidade de fracasso q =1 – p ) 
é constante em todas as repetições do experimento.
Ou seja, as repetições geram resultados independentes.
- Lançamento uma moeda: sucesso = cara, fracasso = coroa;
Exemplos: 
- Lançamento de um dado: sucesso = face 6, fracasso=faces 1, 2, 3, 4 ou 5; 
- Retirada (com reposição) de uma carta do baralho: sucesso=ás, fracasso=outra; 
- Teste de ítens sendo produzidos: sucesso = defeituoso, fracasso = conforme; 
- Jogo de futebol: sucesso = se meu time ganhar, fracasso = c.c. 
Distribuição Binomial
Um experimento Bernoulli é repetido n vezes. 
Exemplo: Um médico alega ter desenvolvido uma técnica de fertilização 
que aumenta a chance do bebê ser do sexo feminino. 
Ele baseia sua alegação nos resultados da aplicação da sua 
técnica em 100 fertilizações, das quais 58 geraram meninas.
X: número de meninas em 100 fertilizações com aplicação da técnica.
p: probabilidade da técnica gerar uma menina.
→ p é constante para todas as fertilizações e estas são independentes.
Então X é uma v.a. Binomial (n=100;p), ou seja, 
.,)1()()( 100 , 2, 1, ,0100 100 K=−−⋅⋅




=== xpp
x
xXPxf xx
Estudar a f.m.p. f(x) de X e calcular P(X=58) nas situações em que
p=0.5 e p=0.9.
Situação 1: p=0.5. Situação 2: p=0.9. 
Gráficos das Funções de Probabilidade de v.a. b(20;0.5), b(10;0.1) e b(10;0.9).
E(X) = 10 E(X) = 1 E(X) = 9 
Distribuição Hipergeométrica
Exemplo:
Uma peça usada em motores de carros é vendida em lotes de 10 unidades.
A inspeção do lote pelo comprador consiste em escolher aleatoriamente 3 peças e
testá-las; se nenhuma dessas 3 peças for defeituosa, o lote é considerado aceitável.
Suponha que um lote a ser inspecionado tenha 2 peças defeituosas, ou seja,
O comprador sabe que são produzidas algumas peças defeituosas, mas considera
que um lote qualquer é aceitável se tiver, no máximo, uma peça defeituosa.
Suponha que um lote a ser inspecionado tenha 2 peças defeituosas, ou seja,
esse lote não é aceitável.
Qual é a probabilidade da inspeção classificá-lo como aceitável ?
Binomial X Hipergeométrica
Experimentos Binomiais Negativos
Seja um experimento com as mesmas propriedades do experimento binomial 
(resulta em sucesso ou fracasso; a probabilidade de sucesso é constante, as 
repetições são independentes), exceto que o número de repetições não é fixo, 
pois 
o experimento é repetido até que um número fixo de sucessos ocorra.
Ao invés de calcular a probabilidade de x sucessos em n repetições,Ao invés de calcular a probabilidade de x sucessos em n repetições,
calcula-se a probabilidade de que o ko sucesso ocorra na xa repetição.
Assim, o número de sucessos é fixado (em k) e, agora, 
o número de repetições do experimento (até se obter k sucessos) 
passa a ser a variável aleatória de interesse.
Distribuição Binomial Negativa
Um experimento de Bernoulli(p) é repetido até que k sucessos ocorram. 
A média e a variância de uma v.a. binomial negativa são
.
)1(
2
2
p
pk
ep
k −
== σµ
Exemplo:
Distribuição Geométrica
Um experimento de Bernoulli(p) é repetido até que o 1º sucesso ocorra. 
A distribuição geométrica é um caso especial da binomial negativa, quando k=1: 
g(x;p) = bn(x;1;p).
Exemplo:
Distribuição de Poisson
Exemplo: Suponha que possa ser assumido que o número de navios petroleiros
que chegam por dia a um porto tenha distribuição de probabilidade de
Poisson com média igual a 10 navios-dia.
X: número de navios petroleiros que chegam por dia a um porto, x = 0,1,2,3,...
X ~ Poisson(10), pois λ=10 (navios) e t=1 (dia).
10
⋅
− x
As instalações do porto podem suportar até 15 navios por dia.
Qual é a probabilidade de que, em um certo dia, navios não consigam aportar ?
K 3, 2, 1, 0,10
10
,!);10( =
⋅
=
−
x
e
xp
x
x
.0487,09513,01);10(1)15(1)15(
15
0
=−=−=≤−=> ∑
=x
xpXPXP
Os livros têm uma 
tabela com essas 
somas acumuladas 
(veja a seguir).
Tabela de probabilidade acumuladas da Poisson, onde µµµµ ==== λλλλt.
(Ainda no exemplo anterior)
Y: número de navios petroleiros que chegam a um porto por semana, y = 0,1,2,...
Y ~ Poisson(70), pois λ=10 (navios/dia) e t=7 (dia).
y−
(a) Qual é a probabilidade de que, em uma certa semana, cheguem pelo menos
50 navios ?
Considere agora número de navios petroleiros que chegam ao porto por semana. 
K 3, 2, 1, 0,yeyYP y
y
=
⋅
==
−
,!)(
7070
.0487,09513,01)(1)50(1)50(
49
0
=−==−=<−=≥ ∑
=y
yYPYPYP
No. de Chamadas (k) 0 1 2 3 4 5 6 7 ≥ 8
Frequência observada 9 38 71 115 125 106 79 50 57
Exemplo: Engenheiros da companhia telefônica estudam se o modelo de Poisson
com média igual a 4,5 pode ser ajustado ao número N de chamadas interestaduais
que chegam, por hora, a uma central telefônica, durante o período noturno.
No modelo Poisson ( λt = 4,5 ), a freqüência esperada de ocorrências (intervalos de
1h) com k chamadas, k = 0, 1, 2,..., é obtida multiplicando a probabilidade de k
chamadas pelo total de observações:
Dados coletados em 650 períodos de uma hora:
chamadas pelo total de observações:
Chamadas 0 1 2 3 4 5 6 7 ≥ 8
Freq. observada 9 38 71 115 125 106 79 50 57
Freq. esperada 7,22 32,50 73,13 109,66 123,37 111,02 83,27 53,56 56,36
Para k =2, por exemplo, espera-se observar, em 650 intervalos t =1 hora,
s.ocorrência13,73!2
5,4)2(650
25,4
=
⋅
==⋅
−eNP
As freqüências esperadas e observadas são próximas, o que levou os engenheiros
à conclusão de o modelo de Poisson parece ser adequado para descrever a v.a. N.