Slide08-3

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Inferência Estatística: 
Estimação Pontual e IntervalarEstimação Pontual e Intervalar
Média 
Variância
Proporção
Inferência Estatística
POPULAÇÃO
Conjunto de métodos de análise estatística que permitem tirar
conclusões sobre uma população com base em somente uma
parte dela, a amostra.
Parâmetros: 
Média µ
Desvio-padrão σ
Proporção θ
AMOSTRA
Estatísticas:
média
desvio-padrão s
proporção p
x
Tipos de Inferência Estatística
Inferência sobre 
Estimação de µ Intervalo de Confiança
Inferência sobre 
o parâmetro µ
Teste de Hipóteses 
sobre µ
Teste de 
Hipóteses
Estimação
Exemplo: de posse de uma amostra de 1000 eleitores de um
Estado, deseja-se estimar a proporção θ de eleitores desse Estado
que votarão no candidato Fulano.
O valor de θ é desconhecido e pode ser estimado de duas formas:
θEstimação Somente um valor é dado como estimativa para θ. 
Ex.: proporção amostral de eleitores de Fulano, 
p = 0.60.
Estimação 
pontual:
Estimação 
intervalar:
Um intervalo de valores é dado como estimativa para θ. 
Ex.: [ p margem de erro ] = [ 0.60 0.03 ]
= [ 0.57 ; 0.63 ] .
± ±
Conceitos Básicos em Estimação
Parâmetro 
Estimador 
(do parâmetro)
Valor populacional desconhecido: 
Ex.: média, variância, proporção, etc., 
representado por letras gregas (µ, σ, θ, …) .
Função das variáveis aleatórias X1,…,Xn 
que compõem a amostra. (do parâmetro)
Estimativa
(do parâmetro)
que compõem a amostra. 
Ex.:
1
n
i
i
X
X
n
=
=
∑ ( )2
1
1
n
i
i
X X
s
n
=
−
=
−
∑
Valor do estimador quando aplicado aos dados 
observados na amostra. 
Ex: 34.5x =
Estimação Intervalar
Intervalo de Confiança = estimativa pontual ±±±± margem de erro
Exemplo: 
Em uma amostra de 40 alunos da UFMG, encontrou-se uma renda
familiar média de 1600 reais (estimativa pontual), com desvio-
padrão igual a 323 reais.
A margem de erro foi calculada em 100 reais.
Assim, a estimativa intervalar para a renda familiar média do aluno
da UFMG é de [1600 ± 100] = [1500 ; 1700] reais.
Lembrando que… 
Seja uma amostra aleatória x1, x2, . . . , xn de uma 
v.a. X com distribuição Normal com média µ e dp σ.
X, o estimador de µ, tem distribuição Normal 
com média µ e desvio padrão σ / com média µ e desvio padrão σ / 
n
Intervalo de 100(1-α)% de Confiança para uma Média µ
/ 2
100(1 )%
.IC x z
n
α
α
µ
σ
−
 
= ± 
 
Margem de Erro
estimativa da 
variabilidade de 
x
Nível de confiança 
do intervalo
 
estimativa 
pontual de µ
Fator para redução 
da confiança
/ 2zα
α/2é o percentil da distribuição Normal-
padrão que deixa uma área de α/2 acima dele
/ 2zα
Intervalo de 100(1-α)% de Confiança para µ
/ 2
100(1 )%
.IC x z
n
α
α
µ
σ
−
 
= ± 
 
Nível de confiança do intervalo = 1 - α
- É um valor entre 0 e 1;
- Expressa nossa “confiança” de que o intervalo 
englobe o valor (desconhecido) µ.
Distribuição de 
probabilidade 
dos valores 
populacionais
Distribuição de 
probabilidade 
dos valores da 
média amostral 
em amostras de 
tamanho 50 da 
população à 
Utilizando a distribuição de probabilidade do 
estimador do parâmetro
população à 
esquerda.
/ 2
100(1 )%
.IC x z
n
α
α
µ
σ
−
 
= ± 
 
Essa expressão para o IC de µ pode ser usada quando:
1. a variável em estudo tiver distribuição Normal
2. a variável em estudo não tiver distribuição Normal, 
mas o tamanho da amostra (n) for grande ( n > 30). 
É preciso conhecer σ, o d.p. populacional
Resultado 1
TCL
PROBLEMA:
Essa substituição resulta em uma nova variável 
ns
xT
/
µ−
=
Substituir σ por s na variável Z 
SOLUÇÃO (quando não se conhece σσσσ)
s 
/ 2;( 1)
100(1 )%
.n
sIC x t
n
α
α
µ −
−
 
= ± 
 
Intervalo de 100(1-α)% de Confiança para µ
quando σσσσ for desconhecido
/ 2;( 1)
100(1 )%
.n
sIC x t
n
α
α
µ −
−
 
= ± 
 
é o percentil 
da distribuição t-Student 
com (n-1) graus de liberdade 
que deixa uma área de α/2 
acima dele.
/ 2 ;( 1)ntα −
/ 2;( 1)ntα −
α/2
( 1)nt −
Intervalo de Confiança para a média µ
A amostra 
é grande 
SIM
SIM
NÃO
/ 2
100(1 )%
.IC x z
n
α
α
µ
σ
−
 
= ± 
 
/ 2
100(1 )%
.
sIC x z
n
α
α
µ
−
 
= ± 
 
σ é 
conhecido ?
é grande 
(n > 30) ?
NÃO
Os dados 
são 
Normais ?
SIM
NÃO
/ 2;( 1)
100(1 )%
.n
sIC x t
n
α
α
µ −
−
 
= ± 
 
Métodos não-
paramétricos
O que entendemos por confiança ?
EXEMPLO: estimar µ, a renda média familiar dos alunos que 
ingressaram na UFMG este ano.
Experimento: 
1. cada um de vocês tem acesso a uma amostra de 100 calouros 
para estimar µ.para estimar µ.
2. Todos vocês construirão um intervalo de 95% de confiança 
utilizando os dados da nossa amostra.
Resultado esperado: 
Intervalos de confiança com limites e comprimentos diferentes 
para cada um de vocês.
Como saber qual é o intervalo “correto” ?
Interpretação Gráfica do Nível de 
Confiança na Estimação Intervalar
Para um intervalo de 95% de confiança para µ, temos a 
uma confiança de 95% de que este intervalo em uma confiança de 95% de que este intervalo em 
especial contenha o valor desconhecido de µ. 
Exemplo 1: estimar a média da resistência a 
compressão (em psi) da liga alumínio-lítio 
2
0
0
2
5
0
R
e
s
i
s
t
e
n
c
i
a
 
a
 
c
o
m
p
r
e
s
s
a
o
,
 
e
m
 
p
s
i
n = 80 corpos-de-prova
Nível de confiança : 95%
162.66x =
33.77s =
1
0
0
1
5
0
2
0
0
R
e
s
i
s
t
e
n
c
i
a
 
a
 
c
o
m
p
r
e
s
s
a
o
,
 
e
m
 
p
s
i
Nível de confiança : 95%
100(1-α) = 0.95 � α = 0.05
1.960.025z =
/ 2
100(1 )%
.
sIC x z
n
α
α
µ
−
 
= ± 
 
Exemplo 1: continuação
95% 33.77162.66 1.96
80
ICµ
 
= ± ⋅ 
 
[ ]95% 162.66 7.40ICµ = ±
[ ]95% 155.26 ; 170.06ICµ =
A média da resistência a compressão da liga alumínio-
lítio está entre 155.26 psi e 170.06 psi, com 95% de 
confiança.
Exemplo 2: estimar a carga média no ponto-de-
falha de corpos feitos com a liga U-700
Um artigo* descreve os resultados de testes trativos de adesão 
em 22 corpos-de-prova de liga U-700. A carga no ponto-de-falha 
de corpo-de-prova foi medida em megapascal. 
A carga média nessa amostra é igual a 13.71 megapascalA carga média nessa amostra é igual a 13.71 megapascal
e o desvio-padrão é de 3.55 megapascal. 
Materials Engineering, vol. II, n. 4, pp. 275-281, 1989
Amostra pequena � verificar a suposição de distribuição Normal 
para os dados 
Nível de confiança: 99%
Verificando a suposição de normalidade
P
e
r
c
e
n
t
99
95
90
80
70
60
50
40
30
Mean
0.838
13.71
StDev 3.554
N 22
AD 0.211
P-Value
Gráfico de Probabilidade Normal
Normal 
Boxplot of Carga
Carga
22.520.017.515.012.510.07.55.0
20
10
5
1
C
a
r
g
a
20
18
16
14
12
10
8
6
Boxplot of Carga
Exemplo 2: (continuação)
/ 2;( 1)
100(1 )%
.n
sIC x t
n
α
α
µ −
−
 
= ± 
 
99% 0.005;21
3.5513.71
22
IC tµ  = ± ⋅ 
 
[ ]99% 13.71 2.83 0.76ICµ = ± ⋅
[ ]99% 13.71 2.15ICµ = ± [ ]99% 11.56 ; 15.86ICµ =
A carga média no ponto-de-falha de corpos feitos com a 
liga U-700 está entre 11.56 e 15.86 megapascal, com 
99% de confiança.
Como reduzir o comprimento do Intervalo de Confiança ?
/ 2
100(1 )%
.IC x z
n
α
α
µ
σ
−
 
= ± 
 
margem de erro (ε)margem de erro (ε)
Reduzindo margem de erro� aumentar n.
Qual deve ser o tamanho mínimo da amostra para que a
margem de erro na estimação de µ seja menor ou igual a εεεε
em um intervalo de 100(1-α)% de confiança ?
/ 2
100(1 )%
.IC x z
n
α
α
µ
σ
−
 
= ± 
 n 
margem de erro (ε)
Exemplo: energia de impacto em placas de aço A238
O teste Charpy V-notch (CVN) mede a energia de impacto (em J) e
é frequentemente usado para determinar se um material
experimenta ou não uma transição dúctil-frágil com um decréscimo
de temperatura.
Considerando que a energia de impacto em placas de aço A238,Considerando que a energia de impacto em placas de aço A238,
cortadas a 60o C, seja normalmente distribuída com σ = 1.0 J, qual
seriao tamanho de amostra necessário para construir um intervalo
de 95% de confiança para a energia de impacto média (µ) nessas
placas de modo que o comprimento do intervalo não seja maior do
que 1.0 J ?
n=?
α=0.05
σ=1.0 J
2E=1.0 J
� α/2=0.025 � Zα/2=1.96
� E=0.5 J
/ 2
2
.n z
E
α
σ 
=  
 
Exemplo: energia de impacto em placas de aço A238
21.01.96 15.37n  = × = 1.96 15.370.5
n = × = 
 
O número mínimo de corpos-de-prova de aço A238 a ser 
utilizado nos ensaios deve ser de 16 unidades.
Lembrando que … 
Se x1, x2, . . . xn é uma amostra aleatória de uma população 
Normal com média µ e desvio-padrão σ, a variável 
onde S2 é o desvio-padrão amostral,
tem distribuição Qui-Quadrado com (n-1) graus de liberdade.
X 2 ~ χ2n-1
Intervalo de 100(1-α)% de Confiança para 
a Variância σσσσ2 de uma População Normal
Exemplo: Garrafas de refrigerente enchidas em máquinas
automáticas.
A variabilidade do volume do líquido dispensado deve ser controlada.
Em uma amostra de tamanho n=30, encontrou-se variância amostral
igual a s2 = 25 ml2 (desvio-padrão amostral igual s = 5 ml).
O Intervalo de Confiança de 95% para a variância σ2 é
[ ] ][;; 0.45;915
1.16
725
7.45
725
][
)25(29
][
)25(29%95
22
29;975.029;025.0
2
 . IC
 
==








=
⋅⋅
χχσ
ml2
O Intervalo de Confiança de 95% para a variância σ é
Intervalo de Confiança para uma Proporçao
Intervalo de 100(1-α)% de Confiança 
para a Proporçao p
Estimação da média µµµµ com variância σσσσ2 conhecida
(amostra grande)
Estimação da média µµµµ com variância desconhecida 
(população Normal)
Estimação da variância σσσσ2 (população Normal)
Estimação da proporção p (amostra grande)