Avaliação On-Line 3 (AOL 3) - Cálculo Integral

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Pergunta 1 -- /1
As integrais são um dos principais objetos matemáticos utilizados pelo Cálculo. É por meio delas que se tem uma 
mensuração mais precisa de áreas, volumes e comprimentos. Identificar as propriedades das integrais definidas é essencial 
para a sua manipulação.
De acordo com seu conhecimento acerca das propriedades das integrais definidas, analise as afirmativas a seguir e assinale 
V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) 
integral subscript a superscript b c f left parenthesis x right parenthesis d x space equals space c space integral subscript 
a superscript b f left parenthesis x right parenthesis d x
II. ( ) 
integral subscript b superscript a left square bracket f left parenthesis x right parenthesis space plus space g left 
parenthesis x right parenthesis right square bracket d x space equals space integral subscript b superscript a f left 
parenthesis x right parenthesis d x space plus space integral subscript b superscript a g left parenthesis x right parenthesis d 
x
III. ( ) 
integral subscript b superscript a f left parenthesis x right parenthesis d x space equals space integral subscript a 
superscript c f left parenthesis x right parenthesis d x space plus space integral subscript c superscript b f left parenthesis x 
right parenthesis d x
IV. ( ) integral subscript a superscript a f left parenthesis x right parenthesis d x space equals space 1
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
V, V, F, F.
V, F, V, V.
F, F, V, F.
Resposta corretaV, V, V, F.
V, V, F, V.
Pergunta 2 Crédito total dado -- /1
As funções exponenciais e logarítmicas estão ligadas, uma é inversa da outra. Apesar de serem inversas, o logaritmo natural 
está presente na integral de uma função exponencial qualquer. A relação de ambos se dá da seguinte forma:
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integral a to the power of x space d x space equals space fraction numerator a to the power of x over denominator ln 
space open vertical bar a close vertical bar end fraction space plus space C
Utilizando seus conhecimentos sobre as integrais logarítmicas e exponenciais, analise as afirmativas a seguir:
I. Ao calcular por essa relação, obtém-se 
fraction numerator a to the power of x over denominator ln space open vertical bar 3 close vertical bar end fraction space 
plus space C
II. O a pode assumir qualquer valor real.
III. Ao calcular por essa relação, obtém-se 
fraction numerator 5 to the power of x over denominator ln space open vertical bar 5 close vertical bar end fraction space 
plus space C
IV.Ao calcular por essa relação, obtém-se 
fraction numerator 25 to the power of x over denominator ln space open vertical bar 25 close vertical bar end fraction 
space plus space C
Está correto apenas o que se afirma em:
I, II e IV.
Resposta corretaIII e IV.
I, II e III.
II e IV. 
I, III e IV.
Pergunta 3 -- /1
Conseguir identificar integrais, sendo elas definidas ou não, é fundamental nos estudos de Cálculo pelas limitações teóricas 
que cada uma impõe. Em uma situação aplicada, a integral definida funciona como uma ferramenta de mensuração de área 
para uma determinada curva, já a integral indefinida consegue identificar uma família de soluções para uma determinada 
situação.
Com base no seu conhecimento acerca dessas integrais, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) 
e F para a(s) falsa(s):
I. ( ) integral space 5 to the power of x space d x é uma integral indefinida.
II. ( ) integral space 3 to the power of x space d x é uma integral definida.
III. ( ) integral subscript 0 superscript 1 space 2 x cubed space plus space 2 x d x é uma integral definida.
IV. ( ) 
integral subscript a superscript b f left parenthesis x right parenthesis d x space equals space F left parenthesis b right 
parenthesis space minus space F left parenthesis a right parenthesis
é uma integral definida.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
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V, V, F, F.
Resposta corretaV, F, V, V.
V, F, F, F.
V, V, V, F.
F, F, V, V.
Pergunta 4 -- /1
O estudo acerca das funções exponenciais é extremamente relevante para o estudante de exatas, ainda mais aquele que 
busca aplicações no dia a dia. Compreender algumas operações, tais como derivada e integral, passa a ser essencial para o 
desenvolvimento desse aluno.
Com base nos seus conhecimentos acerca das integrais exponenciais, associe os itens a seguir com os significados 
descritos:
1) Integral exponencial geral.
2) Integral exponencial.
3) Integral com número de Euler na base.
4) Função exponencial.
( ) 
integral space a to the power of x space d x space equals space fraction numerator a to the power of x over denominator 
ln open vertical bar a close vertical bar end fraction plus space C
( )
integral space a to the power of x space d x space equals space fraction numerator a to the power of d x end exponent 
over denominator d ln open vertical bar a close vertical bar end fraction plus space C
 , em que d é uma constante.
( ) 
f left parenthesis x right parenthesis space equals space a to the power of x space end exponent comma space o n d e 
space to the power of a space element of space straight real numbers end exponent
 
( ) 
integral space e to the power of d x end exponent d x space equals space e to the power of d x end exponent over d space 
plus space C
Agora assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
1, 2, 3, 4.
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1, 2, 4, 3.
Resposta correta2, 1, 4, 3.
3, 4, 2, 1.
2, 1, 3, 4.
Pergunta 5 -- /1
Funções exponenciais e logarítmicas têm comportamentos peculiares quando comparadas, já que a potência e o logaritmo 
são operações inversas, de forma que, quando aplicamos um expoente a uma base, calculamos o resultado por meio de 
uma multiplicação, enquanto, quando aplicamos o logaritmo de uma determinada base a um logaritmando, o resultado é o 
expoente a que se eleva essa base para chegarmos ao logaritmando.
Dessa forma, considerando as funções f(x) = e^x e g(x) = ln(x) e também seus conhecimentos sobre as derivadas e integrais 
desses tipos de funções, é correto afirmar que:
Para x < 0, a taxa de variação de ambas as funções é negativa.
No intervalo 0 < x < 1, a integral definida de ambas as funções é positiva.
Resposta corretaNo intervalo 0 < x < 1, a integral de f(x) é positiva e a de g(x) é negativa.
Ambas as funções não possuem taxa de variação em x = 0.
Ambas as funções possuem como domínio o conjunto dos números reais.
Pergunta 6 -- /1
Funções exponenciais são importantes funções que modelam fenômenos naturais, econômicos e sociais e, por esse motivo, 
como sabemos que a derivada e a integral possuem significados práticos para esses modelos, o estudo do Cálculo se faz 
indispensável para a análise quantitativa e qualitativa desses fenômenos.
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De acordo com as definições e propriedades do cálculo da integral indefinida e definida e com seus conhecimentos sobre 
funções exponenciais e logarítmicas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) 
falsa(s).
I. ( ) A função f(x) = -e^(x) apresenta apenas valores negativos de integral, qualquer que seja o intervalo de integração.
II. ( ) A área entre o eixo x e o gráfico de g(x) = 4/x no intervalo [1, e] é igual a 4.
III. ( ) A integral indefinida de h(x) = 2e^(2x) resulta na primitiva H(x) = 4e^(2x).
IV. ( ) A integral indefinida de i(x) = x³ + e^x resulta na primitiva I(x) = 3x^4 + e^x + C.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
V, V, F, V.
V, F, F, F.
F, F, V, V.
V, V, V, F.
Resposta corretaV, V, F, F.
Pergunta 7 -- /1
Calcular a integral de uma função significa calcular a área entre sua curva e o eixo x, de forma a atribuir valores positivos 
onde a função é positiva e negativos caso contrário. Entretanto, não podemos tomar toda função comointegrável em um 
intervalo [a,b], pois, antes de calcular a integral definida, precisamos analisar a continuidade da função. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre integrais indefinidas de funções circulares, analise as 
asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
I. A integral definida de f(x) = cos(x)/(sen²(x)) no intervalo [π/3, π/2] é igual a 1.
Porque:
II. A integral dessa função nesse intervalo pode ser calculada por substituição de sen(x) por outra variável ou então 
reescrevendo a função como f(x) = (1/sen(x))(cos(x)/sen(x)) = cossec(x)cotg(x), cuja primitiva pode ser consultada em uma 
tabela de integração, sendo F(x) = -cossec(x) + C. Então, basta calcular F(π/2) – F(π/3).
A seguir, assinale a alternativa correta.
As asserções I e II são proposições falsas.
Resposta corretaA asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é é uma justificativa correta da I. 
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As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I. 
Pergunta 8 -- /1
O estudo acerca das integrais é fundamental para alunos que estudam Cálculo. Por meio delas, tem-se uma medida 
analítica de algumas áreas, volumes e comprimentos, portanto, reconhecê-las e utilizá-las é essencial.
De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca de integração indefinida, analise as afirmativas a seguir:
I. Uma Integral indefinida é delimitada na forma 
integral f left parenthesis x right parenthesis space asterisk times space d x space equals space F left parenthesis x right 
parenthesis space plus space C
.
II. As integrais indefinidas dão somente uma resposta específica, ou seja, só há uma resposta possível.
III. Com a integração indefinida, é possível calcular o valor da integral em um determinado ponto.
IV. A constante adicionada ao final da integração indica que há uma família de respostas possível para o cálculo.
Está correto apenas o que se afirma em:
II e IV.
Resposta corretaI e IV.
I, II e IV.
I, II, III.
II, III.
Pergunta 9 -- /1
Existem diversas propriedades de integração, entre elas a de funções exponenciais, que são importantes funções que 
modelam fenômenos naturais, econômicos e sociais. 
De acordo com as definições e propriedades do cálculo da integral indefinida e definida e com seus conhecimentos sobre 
funções exponenciais e logarítmicas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) 
falsa(s).
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I. ( ) A integral indefinida de f(x) = e^x + e^(2x) resulta na primitiva F(x) = (½)(e^x)(e^x + 2).
II. ( ) A área entre o eixo x e o gráfico de g(x) = (⅗)x no intervalo [1, e] é igual a 3/5.
III. ( ) A função h(x) = e^x + x² apresenta apenas valores positivos de integral, qualquer que seja o intervalo de integração.
IV. ( ) A integral indefinida de i(x) = 1/(2x+1) resulta na primitiva I(x) = ln(2x+1)/2 + C.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
V, F, V, V.
F, V, V, F.
F, F, V, V.
F, F, F, V.
Resposta corretaV, V, V, F.
Pergunta 10 -- /1
No cálculo de integrais definidas de funções, após fazer a integral indefinida da função, é necessário substituir os limites do 
intervalo na fórmula da primitiva e realizar um cálculo. E isso significa calcular a área entre a curva da função e o eixo x, de 
forma a atribuir valores positivos onde a função é positiva e negativos caso contrário. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre integração de funções polinomiais, analise as asserções a 
seguir e a relação proposta entre elas.
I. A primitiva da função f(x) = 2x + 1 é F(x) = x(x + 1) + C, e a integral definida no intervalo [1,2] vale 4.
Porque:
II. A integral de f(x) num intervalo [a,b] qualquer equivale à área definida pelo eixo x, pelas retas y = a, y = b e pela curva 
dessa função, e esse valor equivale a F(b) – F(a).
A seguir, assinale a alternativa correta.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I. 
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
As asserções I e II são proposições falsas.
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.