Avaliação I Cálculo Diferencial e Integral III

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Avaliação I individual - Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
1 -Assim como acontece com as integrais duplas, quando calculamos uma integral 
tripla, precisamos utilizar certas regras. Com base no exposto, o valor da integral 
tripla da função: 
 
A) - 54 
B) - 27 
C) 189 
D) 54 
 
2 - O centro de massa de um objeto é o ponto onde este objeto fica em equilíbrio, 
caso esse objeto seja homogêneo. Determine a coordenada y do centro de massa de 
uma lâmina triangular com vértices (0, 0), (1, 0) e (0, 2), sabendo que a função 
densidade é f (x, y) = 3 - x + 2y e que a massa do objeto é igual a m = 4: 
A) 19/24 
B) 24/19 
C) 19/6 
D) 6/19 
 
3 -A principal aplicação do conceito de integral é o cálculo de área. Para tanto é 
necessário que calculemos as integrais de forma correta utilizando as regras de 
integrações. Utilizando tais regras, calcule a integral dupla da função e, em seguida, 
assinale a alternativa CORRETA: 
 
A) 2 - e 
B) 2e 
C) e – 2 
D) e + 2 
 
 
4 - Na análise matemática, o Teorema de Fubini, em homenagem a Guido Fubini, é 
um resultado que fornece condições sob as quais é possível calcular uma integral 
dupla por meio de integrais iteradas. Como consequência, ele permite a inversão da 
ordem de integração em integrais iteradas. Utilizando-o, calcule a integral dupla a 
seguir sabendo que R é uma região que consiste em todos os pontos (x,y) para os 
quais -1 ≤ x ≤ 2 e 1 ≤ y ≤ 3: 
 
 A) 22. 
 B) 21. 
C) 23. 
D) 24. 
 
5 - Um dos Teoremas mais utilizados para calcular integrais duplas e triplas é o 
Teorema de Fubini, ele nos permite inverter a ordem de integração. Essa mudança 
na ordem de integração pode em certas integrais diminuir a quantidade de cálculos 
necessários para a resolução. Utilizando o Teorema de Fubini, concluímos que o 
valor da integral: 
 
 
A) É igual a 96. 
B) É igual a 0. 
C) É igual a e. 
D) É igual a 64. 
 
6 - O momento de inércia de um corpo é o grau de dificuldade que o corpo tem de 
alterar o seu estado de movimento. Podemos calcular o momento de inércia em 
torno do eixo x e do eixo y. Determine o momento de inércia de um disco homogêneo 
com centro (0, 0) e raio igual a 2 e com densidade f (x, y) = 2 em torno do eixo y: 
 
A) 12 pi. 
B) 4 pi 
. C) 18 pi. 
D) 8 pi. 
 
7 - Há uma relação para escrever uma integral dupla em coordenadas polares. 
Assinale a alternativa CORRETA que apresenta essa relação (transformação) para 
cada x e y, utilizando-se novas vaiáveis de coordenadas polares: 
 
A) x = r cos (θ); y = r sen (θ) 
B) x = r sen (θ); y = t cos (θ) 
C) x = r sen (θ); y = r cos (θ) 
D) x = t sen (θ); y = t cos (θ) 
 
8 - O centro de massa de um objeto é o ponto onde este objeto fica em equilíbrio, 
caso esse objeto seja homogêneo. Determine a coordenada x do centro de massa de 
uma lâmina triangular com vértices (0, 0), (1, 0) e (0, 2), sabendo que a função 
densidade é f (x, y) = 3 - x + 2y e que a massa do objeto é igual a m = 4: 
 
A) 24/7 
B) 7/6 
C) 6/7 
D) 7/24 
 
9 - Exercícios envolvendo integrais duplas podem ser resolvidos por meio de 
integrais iteradas. Nesse sentido, assinale a alternativa CORRETA que apresenta o 
teorema que fornece condições de calcular uma integral dupla, de regiões não 
retangulares, através de integrais iteradas: 
 
A) Teorema de Fubini. 
B) Teorema de Newton. 
C) Teorema de Compartilhamento. 
D) Teorema de Iteração. 
 
10 - O centro de massa de um objeto é o ponto onde este objeto fica em equilíbrio, 
caso esse objeto seja homogêneo. Para determinar o centro de massa, precisamos 
também saber a massa do objeto. Determine a massa de uma lâmina triangular com 
vértices (0, 0), (1, 0) e (0, 2), sabendo que a função densidade é f (x, y) = 3 - x + 2y: 
 
A) 0 
B) 5 
C) 4 
D) 10