AOL3 - Cálculo Integral

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Módulo C - 63371 . 7 - Cálculo Integral - D.20212.C
Avaliação On-Line 3 (AOL 3) - Questionário
Pergunta 1
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As funções trigonométricas, ou aquelas chamadas de funções circulares, são definidas a partir
do círculo trigonométrico. Elas possuem um caráter periódico e suas variáveis e integrais estão
relacionadas entre si.
Com base no seu conhecimento acerca das integrais das funções trigonométricas, analise as
afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) A integral do seno relaciona-se com o cosseno.
II. ( ) A integral da tangente relaciona-se com a secante.
III. ( ) A derivada primeira e a integral do seno são iguais.
IV. ( ) Ao integrar duas vezes a função seno, obtém-se –sen(x).
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
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A. V, V, F, V. Resposta correta
B. F, V, F, F.
C. V, F, F, V.
D. V, F, V, F.
E. F, F, V, V.
Pergunta 2
/1
Calcular a integral de uma função significa calcular a área entre sua curva e o eixo x, de forma a
atribuir valores positivos onde a função é positiva e negativos caso contrário. Entretanto, não
podemos tomar toda função como integrável em um intervalo [a,b], pois, antes de calcular a
integral definida, precisamos analisar a continuidade da função.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre integrais indefinidas de funções
circulares, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
I. A integral definida de f(x) = cos(x)/(sen²(x)) no intervalo [π/3, π/2] é igual a 1.
Porque:
II. A integral dessa função nesse intervalo pode ser calculada por substituição de sen(x) por
outra variável ou então reescrevendo a função como f(x) = (1/sen(x))(cos(x)/sen(x)) =
cossec(x)cotg(x), cuja primitiva pode ser consultada em uma tabela de integração, sendo F(x) =
-cossec(x) + C. Então, basta calcular F(π/2) – F(π/3).
A seguir, assinale a alternativa correta.
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A. A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
Resposta correta
B. As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é é uma justificativa correta
da I.
C. As asserções I e II são proposições falsas.
D. A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
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E. As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa
correta da I
Pergunta 3
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O estudo acerca das integrais é fundamental para alunos que estudam Cálculo. Por meio delas,
tem-se uma medida analítica de algumas áreas, volumes e comprimentos, portanto,
reconhecê-las e utilizá-las é essencial.
De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca de integração indefinida,
analise as afirmativas a seguir:
I. Uma Integral indefinida é delimitada na forma .
II. As integrais indefinidas dão somente uma resposta específica, ou seja, só há uma resposta
possível.
III. Com a integração indefinida, é possível calcular o valor da integral em um determinado
ponto.
IV. A constante adicionada ao final da integração indica que há uma família de respostas
possível para o cálculo.
Está correto apenas o que se afirma em:
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A. II, III.
B. I, II e IV.
C. I e IV. Resposta correta
D. I, II, III.
E. II e IV
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Pergunta 4
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Funções exponenciais são importantes funções que modelam fenômenos naturais, econômicos
e sociais e, por esse motivo, como sabemos que a derivada e a integral possuem significados
práticos para esses modelos, o estudo do Cálculo se faz indispensável para a análise
quantitativa e qualitativa desses fenômenos.
De acordo com as definições e propriedades do cálculo da integral indefinida e definida e com
seus conhecimentos sobre funções exponenciais e logarítmicas, analise as afirmativas a seguir
e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) A função f(x) = -e^(x) apresenta apenas valores negativos de integral, qualquer que seja o
intervalo de integração.
II. ( ) A área entre o eixo x e o gráfico de g(x) = 4/x no intervalo [1, e] é igual a 4.
III. ( ) A integral indefinida de h(x) = 2e^(2x) resulta na primitiva H(x) = 4e^(2x).
IV. ( ) A integral indefinida de i(x) = x³ + e^x resulta na primitiva I(x) = 3x^4 + e^x + C.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
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A. V, F, F, F.
B. V, V, V, F.
C. F, F, V, V.
D. V, V, F, V.
E. V, V, F, F. Resposta correta
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Pergunta 5
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As integrais de funções possuem inúmeros significados dentro da física, sendo que nosso
primeiro contato com esses conceitos nessa área do conhecimento ocorre no estudo de
movimento de corpos, trabalho de forças, volumes, pressões etc.
De acordo com as definições e propriedades do cálculo da integral indefinida e definida e com
seus conhecimentos sobre funções trigonométricas, analise as afirmativas a seguir e assinale V
para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) A primitiva de f(x) = sen(x) é F(x) = cos(x) + C.
II. ( ) A integral de uma função sempre é calculável em um intervalo, pois, diferentemente da
derivada, é possível calcular uma área que seja um número real para qualquer função, mesmo
que seja descontínua no ponto.
III. ( ) A primitiva de g(x) = cos(x) é G(x) = sen(x).
IV. ( ) A integral definida no intervalo [-pi,pi] de h(x) = 2cos(x) é igual a 0.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
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A. F, F, F, V. Resposta correta
B. F, V, F, V.
C. F, F, V, F.
D. V, V, F, F.
E. V, F, F, V
Pergunta 6
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O Teorema Fundamental do Cálculo permite o cálculo de integrais definidas dado um intervalo
de integração. Não somente por isso, esse Teorema é muito importante por um outro fator.
Considerando essas informações, pode-se afirmar que Teorema Fundamental do Cálculo é
relevante para o Cálculo, também porque:
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A. ele refuta a integral de Riemann.
B. ele permite o cálculo de integrais definidas.
C. ele é o único teorema que envolve integrais.
D. ele torna dispensável a utilização das derivadas.
E. ele realiza a conexão do Cálculo Integral com o Cálculo diferencial Resposta correta
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Pergunta 7
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Existem inúmeros meios de se tentar mensurar uma área sob uma curva. Uma aproximação
válida é dada pela igualdade a seguir, que faz essa mensuração por meio de retângulos.
De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca dessa representação, analise
as afirmativas a seguir:
I. ∆x refere-se a largura de cada retângulo.
II. O n tendendo ao infinito indica um crescente número de retângulos.
III. A multiplicação f(Xk)* ∆x equivale a área de um retângulo.
IV. Esse método mensura com exatidão a área sob a curva.
Está correto apenas o que se afirma em:
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A. I, II e IV.
B. III e IV.
C. I, II e III. Resposta correta
D. II e IV.
E. I e II
Pergunta 8
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Funções exponenciais e logarítmicas têm comportamentos peculiares quando comparadas, já
que a potência e o logaritmo são operações inversas, de forma que, quando aplicamos um
expoente a uma base, calculamos o resultado por meio de uma multiplicação, enquanto, quando
aplicamos o logaritmo de uma determinada base a um logaritmando, o resultado é o expoente a
que se eleva essa base para chegarmos ao logaritmando.
Dessa forma, considerando as funções f(x) = e^x e g(x) = ln(x) e também seus conhecimentos
sobre as derivadas e integrais desses tipos de funções, é correto afirmar que:
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A. Para x < 0, a taxa de variação de ambas as funções é negativa.
B. No intervalo 0 < x < 1, a integral de f(x) é positiva e a de g(x) é negativa.
Resposta correta
C. Ambasas funções possuem como domínio o conjunto dos números reais.
D. No intervalo 0 < x < 1, a integral definida de ambas as funções é positiva.
E. Ambas as funções não possuem taxa de variação em x = 0
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Pergunta 9
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A integral definida de funções tem importantes aplicações em diversos estudos de fenômenos
modelados matematicamente, de forma que o conhecimento das regras de integração definida
em um intervalo [a,b] é essencial para o bom aproveitamento dos conceitos estudados.
Considerando isso e seus conhecimentos sobre regras de integração definida, analise as
afirmativas a seguir.
I. A integral de uma constante no intervalo [a,b] é igual a c(a-b).
II. A integral definida no intervalo [a,b] do produto de duas funções é igual ao produto das
integrais dessas funções nesse intervalo.
III. A integral definida no intervalo [a,b] da soma de duas funções é igual à soma das integrais
dessas funções nesse intervalo.
IV. Se f(x) > 0 em um intervalo [a,b], então sua integral nesse intervalo também é maior que
zero.
Está correto apenas o que se afirma em:
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A. II e III.
B. I e IV.
C. III e IV. Resposta correta
D. II e III.
E. I e III
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Pergunta 10
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O estudo das funções exponenciais e logarítmicas e suas propriedades têm fundamental
importância para o Cálculo, pois essas funções descrevem uma série de fenômenos observados
nas ciências naturais.
De acordo essas informações e com seus conhecimentos sobre o significado da derivada como
limite e seu uso em problemas da reta tangente e de velocidade instantânea, analise as
afirmativas a seguir:
I. A integral de qualquer função exponencial é a própria função.
II. Diferentemente da derivada, a integral não pode ser calculada por meio de limites.
III.A integral de 4e^(2x) é igual a 2e^(2x).
IV.Os gráficos de f(x) = e^x e de g(x) = ln(x) são simétricos em relação à reta y = x.
Está correto apenas o que se afirma em:
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A. I, II e III.
B. II e IV.
C. II e III.
D. II, III e IV. Resposta correta
E. I, e IV