01 - Formas Quadráticas e Matrizes Definidas

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Métodos Quantitativos em Economia
Aula 01– Formas Quadráticas e Matrizes Definidas
Quebra dos pressupostos: Autocorrelação
Ricardo Bruno N. dos Santos
Waldemar Sobral Sampaio
Professores Faculdade de Economia 
e do PPGE (Economia) UFPA
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O QUE VEREMOS
SIMON, Carl P. e BLUME, Lawrence. Matemática para Economistas. Porto Alegre: Bookman, 2004.
PARTE IV: OTIMIZAÇÃO
- Capitulo 16: Formas Quadráticas e Matrizes Definidas;
Capitulo 17: Otimização Não Condicionada;
Capitulo 18: Otimização com Restrições I: Condições de primeira Ordem;
Capitulo 19: Otimização com Restrições II;
Capitulo 20: Funções Homogêneas e Homotéticas;
Capitulo 21: Funções Côncavas e Quase-côncavas;
Capitulo 22: Aplicações em Economia.
Formas Quadráticas
Devemos recordar que estaremos trabalhando no plano real, com a possibilidade de n variáveis, dessa forma:
Isso se define para um conjunto de variáveis x por exemplo como: 
Por Exemplo: No teríamos
Formas Quadráticas
Vamos utilizar a seguinte função:
Propriedade da forma quadrática; 
Formas Quadráticas
Associando a forma quadrática a matriz:
Dessa forma temos:
Formas Quadráticas
Assim, podemos representar a forma quadrática como:
Que será simétrica e pode ser representada na sua forma bidimensional como:
Dessa forma [Q] é uma matriz, onde:
 
 
 
Formas Quadráticas
Assim, a forma quadrática anterior pode ser representada como:
Formas Quadráticas Definida
 
Definição: [Q] é uma forma quadrática
positiva, se 
Negativa, se 
 Definida, se 
Defina as seguintes formas quadráticas:
Formas Quadráticas Definida
Podemos então dentro dessa configuração classificar de cinco formas a definição das formas quadráticas:
POSITIVA, se 
ou DEFINIDA POSITIVA
b) NEGATIVA, se 
ou DEFINIDA NEGATIVA
c) NÃO NEGATIVA, se 
d) NÃO POSITIVA, se 
e) INDEFINIDA, se Q altera de sinal, i.e, .
Formas Quadráticas Definidas
Todas as formas quadráticas NÃO NEGATIVA e NÃO POSITIVA são denominadas semidefinidas. Elas de caracterizam por em algum momento quando em alguns valores de fora da origem. É o caso de funções como:
Formas Quadráticas
A configuração funcional para a expressão acima pode ser dada por:
O que deve gerar um gráfico como:
Formas Quadráticas
Outros Gráficos:
Forma Negativa: 
Forma indefinida: 
Forma não-negativa: 
Forma não-positiva: 
Formas Quadráticas
Nos limitaremos a analisar apenas as matrizes simétricas.
Condições de Segunda Ordem e Convexidade.
Dependendo do escopo de nosso estudo econômico, precisamos determinar ser estamos trabalhando com um problema de maximização ou minimização.
Imagine que tenhamos uma função , quando aplicamos a sua segunda derivada, ou seja, em um ponto crítico , nos fornecerá uma condição necessária e uma condição suficiente para determinar se é um ponto máximo de , um mínimo de , ou uma indefinição.
Formas Quadráticas
Tal procedimento pode ser aplicado para matrizes quadradas, ou seja, a matriz da derivada da segunda (matriz hessiana) de num ponto crítico de é positiva, negativa ou indefinida.
Os menores Principais de uma Matriz
Definição: Seja A uma matriz . Uma submatriz principal de ordem k de A é uma submatriz de A tamanho formada a partir de A, suprimindo colunas. O determinante de uma submatriz principal é denominado um menor principal de ordem k de A.
Formas Quadráticas
Para uma matriz 
Por exemplo isolando linha e coluna dos termos constituem os três menores principais de primeira ordem.
As principais submatrizes utilizadas para determinar se uma matriz é positiva, negativa, não-positiva, não-negativa e indefinida são os menores principais lideres.
Formas Quadráticas
Os menores principais lideres seriam formados por:
 
Assim pode-se determinar a classificação pelos menores principais lideres pelo seguinte teorema:
Teorema 16.1: Seja A uma matriz simétrica. Então,
A é positiva se, e somente se, todos os n menores principais lideres de A são estritamente positivos;
A é negativa se, e somente se, os n menores principais lideres de A alternam de sinal na seguinte ordem:
Formas Quadráticas
(c) Se algum menor principal líder de A de ordem k (ou par de menores) é não nulo mas não encaixa em nenhum dos dois padrões anteriormente vistos, então A é indefinida. Este caso ocorre quando A tem um menor principal líder de ordem k negativo com k um inteiro par ou quando A tem um menor principal líder negativo de ordem k e um menor principal líder positivo de ordem l, com k e l dois inteiros ímpares distintos.
Tal teste somente será falho se um dos menores principais de A for nulo, porém, todos os não nulos se encaixam no sinal de (a) ou (b). Quando isso ocorre a matriz A não é definida, podendo ainda ser semidefinida ou não. Quando isso ocorre, temos que identificar também o sinal de cada menor principal de A.
Formas Quadráticas
Teorema 16.2: Seja A uma matriz simétrica. Então A é não-negativa se, e somente se, todos os menores principais de A são ; A é não-positiva se, e somente se, cada menor principal de A de ordem ímpar é e cada menor principal de A de ordem par é .
No caso de uma matriz teremos:
 - 
 - 
 - 
 - 
 - 
 - 
Positiva
Negativa
Indefinida
Indefinida
Indefinida
Não é definida, não é não positiva
mas pode ser não negativa, mas 
pode ser indefinida
Formas Quadráticas
 
No caso da última teremos que observar todos os 15 menores principais da matriz .
Matrizes diagonais definidas
Não é definida, mas pode ser
não positiva ou não negativa.
Formas Quadráticas
Matrizes Definidas
Os teoremas 16.1 e 16.2 podem ser verificados a partir de uma matriz .
Formas Quadráticas e Matrizes Definidas
RESTRIÇÕES LINEARES E MATRIZES ORLADAS
Em economia as restrições estão ligadas a determinar se uma função é convexa (máximo global) ou côncava (mínimo global).
Quando determinamos a classificação de uma forma quadrática Q é equivalente determinar se x=0 é um máximo, um mínimo ou nenhum dos dois para a função real Q.
x=0 é um único mínimo global da forma quadrática Q se, e somente se, Q for positiva.
Formas Quadráticas e Matrizes Definidas
Para a forma quadrática indefinida temos um ponto de inflexão quando Q(1,1)=0.
Porém, a partir de uma determinada restrição, pode ser positiva ou negativa. Suponha que seja imposta uma restrição onde . Nessas condições, para qualquer valor de será positivo, logo será um mínimo global.
Agora se a restrição for então todos os valores de serão negativos, ou seja, indicarão um máximo global, sendo a mesma negativa.
Outra forma possível de representar uma restrição seria:
Logo , ou seja 
Nesse caso Q seria positiva e um mínimo global.
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Vamos então para visualizar a restrição partir de uma forma quadrática de duas variáveis:
Restrita ao espaço vetorial geral
A partir dessa restrição podemos verificar que:
Formas Quadráticas e Matrizes Definidas
Podemos então concluir que a restrição possibilita que Q seja positiva se, e somente se, e será negativa se, e somente se, . Uma forma adequada de fazer esse procedimento é construindo a matriz orlada onde:
Os coeficientes das restrições passam a ser as orlas e o valor de passa a ser a soma da nossa restrição.
Teorema 16.3: A forma quadrática é positiva (respectivamente, negativa) no conjunto de restrição se, e somente se, o determinante
 for negativo (respectivamente, positivo)
Formas Quadráticas e Matrizes Definidas
A mesma dinâmica pode ser ampliada para uma função com n variáveis e m restrições, onde:
Coma restrição dada por:
Formas Quadráticas e Matrizes Definidas
Com isso podemos construir a matriz Hessiana com as orlas (restrições) onde:
Formas Quadráticas e Matrizes Definidas
Teorema 16.4: Para determinar a classificação da forma quadrática de n variáveis, restrita a um conjunto de restrição dado por m equações lineares, construa a matriz simétrica orlada H de tamanho () colocando os coeficientes B da restrição linear na orla acima e à esquerda de A:
Conferindo os sinais dos últimos n-m menores principais líderes de H, começando com o determinante de H mesmo.
(a) Se o detH tem o mesmo sinal de e se estes últimos n-m menores principais líderes alternam de sinal, então Q é negativa no conjunto-restrição e x=0 é um máximo global estrito de Q neste conjunto-restrição
Formas Quadráticas e Matrizes Definidas
(b) Se o detH e esses últimos n-m menores principais líderes têm todos os mesmo sinal de , então Q é positiva no conjunto-restrição e x=0 é um mínimo global estrito de Q neste conjunto restrição.
(c) Se ambas as condições (a) e (b) são violadas por menores principais líderes não-nulos, então Q é indefinida no conjunto-restrição e x=0 não é nem um máximo nem mínimo de Q neste conjunto-restrição.
Formas Quadráticas e Matrizes Definidas
Determine a classificação para a forma quadrática abaixo:
s.a. 
Com a restrição teremos a seguinte função:
Que passa, com a restrição a ser definida negativa.
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Exemplo 16.7
s.a. 
Formas Quadráticas e Matrizes Definidas
Como o problema possui n=4 variáveis e m=2 restrições então temos que avaliar as maiores n-m=2 submatrizes líderes. Ou seja, devemos avaliar o sinal de e . Assim:
Se 
 temos Q definida positiva
Se temos Q definida negativa
Formas Quadráticas e Matrizes Definidas
Uma restrição
Nos problemas da teoria econômica são comuns os problemas de maximização condicionada com somente uma restrição efetiva. Para o problema de conferir a definição de uma quadrática Q s.a. uma única restrição , o teorema 16.4 afirma que somente precisamos conferir os últimos n-1 menores principais líderes de 
Formas Quadráticas e Matrizes Definidas
As únicas matrizes principais líderes omitidas são
Suponhamos que (onde algum dos deve ser não-nulo). Então . Como m=1 e , o critério para verificar a positividade condicionada de Q é que os últimos n-1 menores principais líderes sejam negativos. Como , este critério é equivalente à seguinte afirmação: os últimos n menores principais líderes têm o mesmo sinal. O critério para verificar a negatividade condicionada de Q é que tenha o sinal de e que alternem o sinal. Isso significa, que neste caso, que deve ser positivo. Segue a condição para Q ser negativa sujeita à restrição é equivalente à seguinte condição: os últimos n menores principais líderes de alternam o sinal. Assim:
Formas Quadráticas e Matrizes Definidas
Teorema 16.5: Para determinar a definição de uma quadrática s.a. uma restrição linear, construa a matriz orlada H de tamanho (n+1) usual. Suponha que . Se os últimos menores principais líderes de têm o mesmo sinal então Q é positiva no conjunto-restrição (e x=0 é um mínimo restrito de Q). Se os últimos n menores principais líderes de alternam de sinal, então Q é negativa no conjunto-restrição (e x=0 é um máximo restrito de Q).