Cálculo Aplicado III - Lista 1

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAPÁ 
CURSO: BACHARELADO EM ENGENHARIA CIVIL 
COMPONENTE CURRICULAR: CÁLCULO APLICADO III 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 
FUNÇÕES VETORIAIS 
 
1- A posição de uma partícula no plano 𝑥𝑦, no tempo 𝑡, é dada por: 
𝑥(𝑡) = 𝑒𝑡 , 𝑦(𝑡) = 𝑡𝑒𝑡 
a) Escreva a função vetorial 𝑟(𝑡) que descreve o movimento dessa 
partícula. 
b) Determine a posição da partícula nos instantes 𝑡 = 0 e 𝑡 = 2. 
 
2- O movimento de um objeto de massa 𝑚 no plano 𝑥𝑦 é descrito pela 
função vetorial: 
𝑟(𝑡) = (
1 − cos 𝑡
𝑚
) 𝑖 + (2𝑡 +
𝑡 − sen 𝑡
𝑚
) 𝑗 
sendo 𝑚 a massa do objeto. Determine a posição desse objeto nos 
instantes 𝑡 = 0 e 𝑡 = 𝜋. 
 
3- Esboce a trajetória de uma partícula 𝑃, sabendo que seu movimento é 
descrito por: 
a) 𝑟(𝑡) = (𝑡, 2𝑡2 − 1) 
b) 𝑓(𝑡) =
2
𝑡
𝑖 +
2
𝑡+1
𝑗, 𝑡 > 0 
c) �⃗�(𝑡) = 𝑡𝑖 + 𝑗 + 4𝑡2�⃗⃗� 
d) ℎ⃗⃗(𝑡) = ln 𝑡 𝑖 + 𝑡𝑗 + �⃗⃗�, 𝑡 > 0 
e) 𝑟(𝑡) = 3 cos 𝑡 𝑖 + 3 sen 𝑡 𝑗 + (9 − 3 sen 𝑡)�⃗⃗�, 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋 
f) �⃗�(𝑡) = (𝑡, sen 𝑡 , 2) 
4- Considere as funções vetoriais: 
𝑓(𝑡) = �⃗�𝑡 + �⃗⃗�𝑡² e �⃗�(𝑡) = 𝑡𝑖 + sen 𝑡 𝑗 + cos 𝑡 �⃗⃗� 
com �⃗� = 𝑖 + 𝑗 e �⃗⃗� = 2𝑖 − 𝑗, 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋, calcule: 
a) 𝑓(𝑡) + �⃗�(𝑡) 
b) 𝑓(𝑡) ∙ �⃗�(𝑡) 
c) 𝑓(𝑡) × �⃗�(𝑡) 
d) �⃗� ∙ 𝑓(𝑡) + �⃗⃗� ∙ �⃗�(𝑡) 
 
5- Uma partícula se desloca no espaço. Em cada instante 𝑡 o seu vetor 
posição é dado por: 
𝑟(𝑡) = 𝑡𝑖 +
1
𝑡 − 2
𝑗 + �⃗⃗� 
a) Determine a posição da partícula nos instantes 𝑡 = 0 e 𝑡 = 1. 
b) Esboce a trajetória da partícula. 
c) Quando 𝑡 se aproxima de 2, o que ocorre com a posição da partícula? 
 
6- Se dois objetos viajam pelo espaço ao longo de duas curvas diferentes, 
é sempre importante saber se eles vão colidir. As curvas podem se 
interceptar, mas precisamos saber se os objetos estarão na mesma posição 
no mesmo instante. Suponha que as trajetórias de duas partículas sejam 
dadas pelas seguintes funções vetoriais: 
𝑓(𝑡) = (𝑡2, 7𝑡 − 12, 𝑡2) e �⃗�(𝑡) = (4𝑡 − 3, 𝑡2, 5𝑡 − 6), 𝑡 ≥ 0 
 As partículas colidem? Se sim, identifique o instante e as 
coordenadas do ponto de colisão. 
 
7- Duas partículas se movem ao longo das curvas espaciais: 
𝑓(𝑡) = (𝑡, 𝑡2, 𝑡3) e �⃗�(𝑡) = (1 + 2𝑡, 1 + 6𝑡, 1 + 14𝑡) 
a) As partículas colidem? Se sim, identifique o instante e as 
coordenadas do ponto de colisão. 
b) Suas trajetórias se interceptam? 
8- Considere: 
𝑓(𝑡) = 𝑡𝑖 + 2𝑡2 𝑗 + 3𝑡3�⃗⃗� e �⃗�(𝑡) = 2𝑡𝑖 + 𝑗 − 3𝑡2�⃗⃗�, 𝑡 ≥ 0 
Calcule: 
a) lim
𝑡→1
[𝑓(𝑡) + �⃗�(𝑡)] 
b) lim
𝑡→1
[𝑓(𝑡) − �⃗�(𝑡)] 
c) lim
𝑡→1
[𝑓(𝑡) ∙ �⃗�(𝑡)] 
d) lim
𝑡→1
[𝑓(𝑡) × �⃗�(𝑡)] 
 
7- Seja 𝑓(𝑡) = sen 𝑡 𝑖 + cos 𝑡 𝑗 + 2�⃗⃗� e ℎ(𝑡) = 1/𝑡. Calcule, se existir, 
cada um dos seguintes limites: 
a) lim
𝑡→0
[𝑓(𝑡)] d) lim
𝑡→0
[ℎ(𝑡) ∙ 𝑓(𝑡)] 
 
8- Calcule os seguintes limites: 
𝑎) lim
𝑡→𝜋
[cos 𝑡 𝑖 + 𝑡2𝑗 − 5�⃗⃗�] 
𝑏) lim
𝑡→−2
[(
𝑡3 + 4𝑡2 + 4𝑡
(𝑡 + 2)(𝑡 − 3)
) 𝑖 + 𝑗] 
𝑐) lim
𝑡→2
1
𝑡 − 2
 [(𝑡2 − 4) 𝑖 + (𝑡 − 2)𝑗] 
𝑑) lim
𝑡→1
[(
√𝑡 − 1
𝑡 − 1
) 𝑖 + (𝑡 − 1)𝑗 + (𝑡 + 1)�⃗⃗�] 
𝑒) lim
𝑡→0
[ (
2𝑡 − 1
𝑡
) 𝑖 + (2𝑡 − 1)𝑗 +
sen 2𝑡
𝑡
�⃗⃗�] 
 
9- Calcule o limite e analise a continuidade das funções vetoriais nos 
pontos indicados: 
𝑎) 𝑓(𝑡) = {
(
|𝑡 − 3|
𝑡 − 3
) 𝑖 + 𝑡2𝑗, 𝑡 ≠ 3
 0⃗⃗, 𝑡 = 3
, em 𝑡 = 0 e 𝑡 = 3 
𝑏) 𝑓(𝑡) = {
(𝑡 sen
1
𝑡
) 𝑖 + cos 𝑡 𝑗, 𝑡 ≠ 0
 𝑗, 𝑡 = 0
, em 𝑡 = 0 
𝑐) 𝑓(𝑡) = sen 𝑡 𝑖 − cos 𝑡 𝑗 + �⃗⃗�, em 𝑡 = 0 
𝑑) 𝑓(𝑡) = {
𝑡 𝑖 + (
√𝑡 + 2 − √2
𝑡
) 𝑗, 𝑡 ≠ 0
 √2 𝑗, 𝑡 = 0
, em 𝑡 = 0 
𝑒) 𝑓(𝑡) = {
(
2
𝑡 − 1
) 𝑖 + (
4
𝑡 − 2
) 𝑗, 𝑡 ≠ 1 𝑒 𝑡 ≠ 2
 0⃗⃗, 𝑡 = 1 𝑒 𝑡 = 2
, em 𝑡 = 1 e 𝑡 = 2 
 
10- Indique os intervalos de continuidade das seguintes funções: 
𝑎) 𝑓(𝑡) = �⃗� sen 𝑡 + �⃗⃗� cos 𝑡 em [0,2𝜋], onde �⃗� = 𝑖 e �⃗⃗� = 𝑖 + 𝑗 
𝑏) �⃗�(𝑡) =
1
𝑡
𝑖 + (𝑡2 − 1)𝑗 + 𝑒𝑡 �⃗⃗� 
𝑐) ℎ⃗⃗(𝑡) = 𝑒−𝑡𝑖 + ln 𝑡 𝑗 + cos(2𝑡) �⃗⃗� 
𝑑) �⃗�(𝑡) = (ln(𝑡 + 1) ,
1
𝑡
, 𝑡) 
𝑒) �⃗⃗⃗�(𝑡) = (sen 𝑡 , tg 𝑡 , 𝑒𝑡) 
𝑓) 𝑟(𝑡) = (𝑒𝑡,
𝑡2 − 1
𝑡 − 1
, ln(𝑡 + 1)) 
𝑔) �⃗�(𝑡) = (√𝑡
3
,
−1
𝑡2 − 1
,
1
𝑡2 − 4
) 
ℎ) 𝑓(𝑡) = (𝑡2 + 1,
2 − 𝑡2
𝑡2 − 2𝑡 + 1 
,
1
√𝑡
) 
 
 
11- Esboce o gráfico da curva descrita por um ponto móvel 𝑃(𝑥, 𝑦), 
quando o parâmetro 𝑡 varia no intervalo dado. Determine também a 
equação cartesiana da curva em cada um dos itens: 
a) 𝑥 = 2 cos 𝑡 ; 𝑦 = 2 sen 𝑡 ; 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋 
b) 𝑥 = 4 cos 𝑡 ; 𝑦 = 4 sen 𝑡 ; 𝑧 = 2; 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋 
c) 𝑥 = 2 + 4 sen 𝑡 ; 𝑦 = 3 − 2 cos 𝑡 ; 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋 
d) 𝑥 = 𝑡 + 1; 𝑦 = 𝑡² + 4; 𝑧 = 2; −∞ < 𝑡 < +∞ 
 
12- Determine a equação cartesiana das seguintes curvas: 
a) 𝑟(𝑡) = (
1
2
𝑡, 3𝑡 + 5) 
b) 𝑟(𝑡) = (𝑡 − 1, 𝑡² − 2𝑡 + 2) 
c) 𝑟(𝑡) = (𝑡2 − 1, 𝑡2 + 1, 2) 
 
13- Identifique as curvas a seguir, parametrize-as e esboce o gráfico: 
a) 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 + 5𝑦 − 3 = 0; 
b) 𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 + 8𝑦 = 0; 
c) 𝑥2 + 𝑦2 + 5𝑦 − 2 = 0. 
d) 2𝑥2 + 2𝑦2 + 5𝑥 + 2𝑦 − 3 = 0 
e) 2𝑥2 + 5𝑦2 − 6𝑥 − 2𝑦 + 4 = 0 
f) 𝑥2 + 2𝑦2 − 4𝑥 − 2𝑦 = 0 
g) 𝑥2 − 8𝑦 + 4 = 0 
h) 𝑦 −
1
𝑥−1
= 0, 𝑥 > 1 
 
14- Em cada item, determine uma representação paramétrica da reta que 
passa pelo ponto 𝐴 na direção do vetor �⃗⃗�: 
a) 𝐴(0,2) e �⃗⃗� = 5𝑖 − 𝑗 
b) 𝐴(1,
1
2
, 2) e �⃗⃗� = 2𝑖 − 𝑗 
c) 𝐴(−1,2,0) e �⃗⃗� = 5𝑖 − 2𝑗 + 5�⃗⃗� 
d) 𝐴(√2, 2, √3) e �⃗⃗� = 5𝑖 − 3�⃗⃗� 
15- Em cada item, determine uma representação paramétrica da reta que 
passa pelos pontos 𝐴 e 𝐵: 
a) 𝐴(2,0,1) 𝑒 𝐵(−3,4,0) b) 𝐴(5, −1, −2) 𝑒 𝐵(0,0,2) 
c) 
𝐴 (√2, 1,
1
3
) 𝑒 𝐵(−7,2,9) 
d) 𝐴 (𝜋,
𝜋
2
, 3) 𝑒 𝐵(𝜋, −1,2) 
 
16- Determine uma representação paramétrica da reta representada por: 
a) 𝑦 = 5𝑥 − 1, 𝑧 = 2 
b) 2𝑥 − 5𝑦 + 4𝑧 = 1, 3𝑥 − 2𝑦 − 5𝑧 = 1 
c) 2𝑥 − 5𝑦 + 𝑧 = 4, 𝑦 − 𝑥 = 4 
 
17- Determine uma parametrização para cada uma das seguintes curvas: 
a) 𝑥2 + 𝑦2 = 4, 𝑧 = 4 
b) 𝑦 = 2𝑥2, 𝑧 = 𝑥3 
c) 𝑦 = 𝑥1/2, 𝑧 = 2 
d) 2(𝑥 + 1)2 + 𝑦2 = 10, 𝑧 = 2 
e) 𝑥 = 𝑒𝑦, 𝑧 = 𝑒𝑥 
f) 𝑦 = 𝑥, 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 
g) Segmento de reta de 𝐴(2,1,2) a 𝐵(−1,1,3) 
h) Segmento de reta de 𝐶(0,0,1) a 𝐷(1,0,0) 
i) Parábola 𝑦 = ±√𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 
j) Segmento de reta de 𝐴(1, −2,3) a 𝐵(−1,0, −1) 
k) 𝑦 = 𝑥3 − 7𝑥2 + 3𝑥 − 2, 𝑧 = 0, 0 ≤ 𝑥 ≤ 3 
l) 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1, 𝑧 = 𝑥 − 2𝑦 
m) 𝑥2 + 𝑦2 = 1, 𝑧 = 2𝑥 − 2𝑦 
 
 
18- Determine a derivada das seguintes funções vetoriais: 
𝑎) 𝑓(𝑡) = (2 − 𝑡)𝑖 + 𝑡3𝑗 −
1
𝑡
�⃗⃗� 
𝑏) �⃗�(𝑡) = 𝑒−𝑡𝑖 + 𝑒−2𝑡𝑗 + �⃗⃗� 
𝑐) ℎ⃗⃗(𝑡) = ln 𝑡 𝑖 +
1
𝑡4
𝑗 + 𝑡�⃗⃗� 
𝑑) 𝑓(𝑡) = (
5𝑡 − 2
2𝑡 + 1
) 𝑖 + ln(1 − 𝑡2) 𝑗 + 5�⃗⃗� 
𝑒) �⃗�(𝑡) = sen 𝑡 cos 𝑡 𝑖 + 𝑒−2𝑡𝑗 + 𝑡𝑒𝑡 �⃗⃗� 
𝑓) ℎ⃗⃗(𝑡) = cos3 𝑡 𝑖 + tg 𝑡 𝑗 + sen2 𝑡 �⃗⃗� 
 
19- Determine um vetor tangente à curva definida pela função dada no 
ponto indicado: 
a) 𝑓(𝑡) = (𝑡, 𝑡2, 𝑡3), 𝑃(−1,1, −1) 
b) �⃗�(𝑡) = (𝑡, 𝑒𝑡), 𝑃(1, 𝑒) 
c) ℎ⃗⃗(𝑡) = (sen 𝑡 , cos 𝑡 , 𝑡), 𝑃(1,0, 𝜋/2) 
d) �⃗�(𝑡) = (1 − 𝑡,
1
1−𝑡
) , 𝑃(−1, −1) 
e) 𝑟(𝑡) = (2𝑡, ln 𝑡 , 2), 𝑃(2,0,2) 
 
20- Determine dois vetores unitários tangentes à curva definida pela 
função dada no ponto indicado: 
a) 𝑓(𝑡) = (𝑒𝑡, 𝑒−𝑡, 𝑡2 + 1); 𝑃(1,1,1) 
b) �⃗�(𝑡) = (4 + 2 cos 𝑡 , 2 + 2 sen 𝑡 , 1); 𝑃(4,4,1) 
c) ℎ⃗⃗(𝑡) = (
1
2
𝑡, √𝑡 + 1, 𝑡 + 1) ; 𝑃(1, √3, 3) 
d) 𝑟(𝑡) = (𝑡 cos 𝑡 , 𝑡 sen 𝑡 , 𝑡); 𝑃(0,
𝜋
2
,
𝜋
2
) 
 
21- Uma partícula se move no espaço com vetor posição 𝑟(𝑡). Determine 
os vetores velocidade e aceleração para qualquer instante 𝑡. Determine 
ainda o módulo desses vetores no instante dado. 
𝑎) 𝑟(𝑡) = 2 cos 𝑡 𝑖 + 5 sen 𝑡 𝑗 + 3�⃗⃗�; 𝑡 = 𝜋/4 
𝑏) 𝑟(𝑡) = 𝑒𝑡𝑖 + 𝑒−2𝑡𝑗; 𝑡 = ln 2 
𝑐) 𝑟(𝑡) = cosh 𝑡 𝑖 + 3 senh 𝑡 𝑗; 𝑡 = 0 
 
22- Sejam as funções 𝑓(𝑡) =𝑡 𝑗 + 𝑡²�⃗⃗� e �⃗�(𝑡) = 𝑡²𝑗 − 𝑡�⃗⃗�. Calcule: 
a) [𝑓(𝑡) ∙ �⃗�(𝑡)]
′
 
b) [𝑓(𝑡) × �⃗�(𝑡)]
′
 
c) [�⃗�(𝑡) ∙ �⃗�(𝑡)]′ 
d) [𝑓(𝑡) × 𝑓(𝑡)]
′
 
 
23- Se ℎ(𝑡) =
1
𝑡−1
 e 𝑓(𝑡) = 𝑡𝑖 + 𝑡²𝑗, determine a derivada 
(ℎ(𝑡) 𝑓(𝑡))′ 
 
24- Esboce as seguintes curvas, representando o sentido positivo de 
percurso. Em seguida, obtenha uma parametrização da curva dada, 
orientada no sentido contrário. 
a) 𝑟(𝑡) = (2 + 3 cos 𝑡 , 1 + 4 sen 𝑡 , 𝑡 ∈ [0,2𝜋] 
b) 𝑟(𝑡) = (𝑡, 𝑡 + 2,2𝑡 + 1), 𝑡 ∈ [0,1] 
c) 𝑟(𝑡) = (2𝑡 − 1, 2𝑡 + 1, 4 − 2𝑡), 𝑡 ∈ [1,2] 
d) 𝑟(𝑡) = (𝑡 − 1, 𝑡2 − 2𝑡 + 1), 𝑡 ∈ [−1,2] 
e) 𝑟(𝑡) = (𝑡 − sen 𝑡 , 1 − cos 𝑡), 𝑡 ∈ [0,2𝜋] 
f) 𝑟(𝑡) = (1 + cos 𝑡 , 1 + sen 𝑡 , 2𝑡), 𝑡 ∈ [0,4𝜋] 
 
 
25- Verifique quais das seguintes curvas são suaves nos intervalos 
indicados: 
a) 𝑟(𝑡) = (𝑡3, 𝑡2), 𝑡 ∈ [−1,1] 
b) 𝑟(𝑡) = (𝑡3, 𝑡2), 𝑡 ∈ [
1
2
, 1] 
c) 𝑟(𝑡) = (2𝑡 − 2 sen 𝑡 , 2 − 2 cos 𝑡), 𝑡 ∈ [𝜋, 3𝜋] 
d) 𝑟(𝑡) = (3 cos3 𝑡 , 3 sen3 𝑡), 𝑡 ∈ [
𝜋
6
,
𝜋
3
] 
e) 𝑟(𝑡) = (2 cos 𝑡 , 3 sen 𝑡), 𝑡 ∈ [0,2𝜋] 
 
26- Calcule o comprimento das seguintes curvas: 
a) 𝑟(𝑡) = (𝑒𝑡 cos 𝑡 , 𝑒𝑡 sen 𝑡 , 𝑒𝑡), 0 ≤ 𝑡 ≤ 1 
b) 𝑟(𝑡) = (2𝑡3, 2𝑡, √6𝑡2), 0 ≤ 𝑡 ≤ 3 
c) 𝑟(𝑡) = (𝑡, sen 𝑡 , 1 + cos 𝑡), 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋 
d) 𝑦 = 𝑥3/2, 𝑧 = 0 de 𝑃(0,0,0) a 𝑄(4,8,0) 
e) 𝑥 = 𝑡3, 𝑦 = 𝑡2, 1 ≤ 𝑡 ≤ 3 
f) 𝑟(𝑡) = (2 cos 𝑡 , 4𝑡, 2 sen 𝑡) de 𝑃(2,0,0) a 𝑄(0,2𝜋, 2) 
g) Um arco da cicloide 𝑟(𝑡) = (2𝑡 − 2 sen 𝑡 , 2 − 2 cos 𝑡) 
h) 𝑟(𝑡) = (− sen 𝑡 , cos 𝑡 , 2), 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋 
i) 𝑟(𝑡) = (𝑡 sen 𝑡 , 𝑡 cos 𝑡), 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋 
j) 𝑟(𝑡) = (3𝑡 + 1, 𝑡 + 2), 0 ≤ 𝑡 ≤ 2 
 
27- Determine o vetor tangente unitário às seguintes curvas nos pontos 
indicados: 
a) 𝑟(𝑡) = (𝑡 cos 2𝑡 , 𝑡 sen 2𝑡), 𝑡 ∈ [0, ∞), 𝑡 = 𝜋/2 
b) 𝑟(𝑡) = (2 cos 𝑡 , 3 sen 𝑡), 𝑡 ∈ [0,2𝜋], 𝑡 = 𝜋/4 
c) 𝑟(𝑡) = (𝑡, 𝑡2 + 1), 𝑡 ∈ [0,4], 𝑃(2,5) 
d) 𝑟(𝑡) = (2 cos 𝑡 , 2 sen 𝑡 , 2 − 2 sen 𝑡), 𝑃(0,2,0) 
e) 𝑟(𝑡) = (
1
2
cos 𝑡 ,
1
2
sen 𝑡) , 𝑃 (
√2
4
,
√2
4
) 
f) 𝑟(𝑡) = (𝑒𝑡 cos 𝑡 , 𝑒𝑡 sen 𝑡 , 2), 𝑃(1,0,2) 
g) 𝑟(𝑡) = (𝑡, 2𝑡2, 3𝑡3), 𝑃(1,2,3) 
 
28- Calcule a curvatura da circunferência de raio 4 centrada em (2,3). 
 
29- Determine a curvatura das seguintes curvas nos pontos indicados: 
a) 𝑟(𝑡) = (1,
1
1+𝑡
) , 𝑡 > 0; 𝑃0 (1,
1
2
) 
b) 𝑟(𝑡) = (𝑡 + 2, 𝑡 + 3, 2𝑡 − 4), 𝑡 ∈ ℝ; 𝑃0(3,4, −2) 
c) 𝑥 =
1
1+𝑡
 𝑦 =
1
1−𝑡
 𝑡 ∈ (1, +∞); 𝑡 = 2 
d) 𝑦 = 1 − 𝑥²; 𝑃0(0,1); 𝑃1(1,0) 𝑒 𝑃2(3, −8) 
 
30- Calcule a curvatura das seguintes parábolas: 
𝑎) 𝑟(𝑡) = (2𝑡, 4𝑡2) 𝑏) 𝑟(𝑡) = (𝑡, 𝑡2 + 1) 
 
31- Determine o círculo de curvatura das curvas nos pontos indicados: 
a) 𝑟(𝑡) = (2 cos 𝑡 , 2 sen 𝑡 , 2 cos 𝑡), 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋; 𝑃(2,0,2) 
b) Hélice 𝑟(𝑡) = (3 cos 𝑡 , 3 sen 𝑡 , −3𝑡), 𝑡 = 𝜋/3 
c) 𝑦 = sen 𝑥 , 𝑃 (
𝜋
2
, 1) 
d) 𝑦 = 2𝑥2 − 1, no seu vértice 
 
32- Determine o vetor normal unitário das curvas no ponto indicado: 
a) 𝑟(𝑡) = (√2 cos 𝑡 , √2 sen 𝑡 , 4), 𝑃0(1,1,4) 
b) 𝑟(𝑡) = (4 cos 𝑡 , 4 sen 𝑡 , 𝑡), 𝑡 =
𝜋
2
 
c) 𝑟(𝑡) = (2 cos 2𝑡 , 3, 2 sen 2𝑡), 𝑡 =
𝜋
8
 
d) 𝑟(𝑡) = (2𝑡, cos 𝑡 , sen 𝑡), 𝑃0(2𝜋, −1,0) 
 
33- Determine uma equação para o plano osculador da hélice circular 
𝑟(𝑡) = (2 cos 𝑡 , 2 sen 𝑡 , 4𝑡) nos pontos 𝑃0(2, 0, 0), 𝑃1(2, 0, 8𝜋) e 
𝑃2(0, 2, 2𝜋). 
 
34- Determine o vetor binormal unitário das curvas no ponto indicado: 
a) 𝑟(𝑡) = (3 cos 𝑡 , 3 sen 𝑡), 𝑃0(3,0) 
b) 𝑟(𝑡) = (2 cos 𝑡 , 2 sen 𝑡 , 𝑡), 𝑡 =
𝜋
2
 
c) 𝑟(𝑡) = (2 cos 2𝑡 , 3, 2 sen 2𝑡), 𝑡 =
𝜋
8
 
d) 𝑟(𝑡) = (2𝑡, cos 𝑡 , sen 𝑡), 𝑃0(2𝜋, −1,0) 
 
35- Determine a torção das curvas do exercício anterior nos pontos 
indicados. 
 
36- Calcule a torção das curvas em um ponto arbitrário: 
a) 𝑥(𝑡) = 1 + 2 cos 𝑡 ; 𝑦 = −2𝑡; 𝑧 = 2 + 2 sen 𝑡 
b) 𝑟(𝑡) = (√2 cos 𝑡 , √2 sen 𝑡 , 4𝑡) 
c) 𝑟(𝑡) = (3 cos 𝑡 , 3 sen 𝑡 , −5𝑡) 
 
37- Uma partícula se move no espaço com vetor posição 𝑟(𝑡). Determine 
as componentes tangencial e normal da aceleração: 
a) 𝑟(𝑡) = (5𝑡, 2𝑡2 − 1,0) 
b) 𝑟(𝑡) = (𝑒𝑡 cos 𝑡 , 𝑒𝑡 sen 𝑡 , 𝑒𝑡) 
c) 𝑟(𝑡) = (cos 𝑡 , sen 𝑡 , 1) 
d) 𝑟(𝑡) = (4𝑡, 𝑡2, 2𝑡2) 
e) 𝑟(𝑡) = (3𝑡, 𝑡3, 𝑡)