Aritmética e Teoria dos Números (MAD108) AV Final Objetiva

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Aritmética e Teoria dos Números (MAD108)
Avaliação Final Objetiva
1Ana tem um estojo cheio de canetas coloridas. Se tirarmos as canetas do estojo de três em três, sobram duas canetas. Se tirar de 5 em 5, sobram 3 canetas; e de 7 em 7 sobram 2. Qual a menor quantidade de canetas que Ana tem no estojo?
A
No mínimo 8 canetas.
B
No mínimo 23 canetas.
C
No mínimo 38 canetas.
D
No mínimo 19 canetas.
2Na elaboração da prova por indução, a primeira etapa da demonstração é a verificação para o primeiro número envolvido, no caso n = 1. Logo a seguir, supomos que a P(k) é verdadeira para n = k e, por último, provamos que é válida para k + 1. Sobre a primeira etapa para demonstrar a situação anexa, analise as opções a seguir:
A
Somente a opção III está correta.
B
Somente a opção II está correta.
C
Somente a opção I está correta.
D
Somente a opção IV está correta.
3Todo número composto pode ser escrito de forma fatorada, ou seja, escrevemos o produto de números primos que dão origem a este número composto. Assinale a alternativa CORRETA que apresenta o maior número primo que aparece na decomposição do número 8712:
A
13.
B
2.
C
11.
D
7.
4Para que uma equação diofantina linear de segunda ordem tenha solução, obrigatoriamente, o MDC entre os coeficientes precisa ser um divisor do termo independente da equação. Se calcularmos o MDC dos coeficientes da equação 11x + 30y = 31, encontramos 1 como resultado, sendo então possível determinar a solução da equação. Assinale a alternativa CORRETA que apresenta a solução geral:
A
x = - 589 + 30t e y = 217 - 11t.
B
x = 217 + 30t e y = - 589 - 11t.
C
x = - 589 + 30t e y = 217 + 11t.
D
x = 589 + 30t e y = 217 - 11t.
5O conceito de congruência possui e possibilita resolver diversos problemas do nosso dia a dia, como em código de barras, CPF, criptografia, entre outros. Podemos pensar em um caso de congruência módulo 24 ao relacionarmos com as horas de um dia. Então, se agora são 9 horas, daqui 226 horas serão:
A
Serão 10 dias e 17 horas a partir das 9 horas iniciais.
B
Serão 8 dias e 23 horas a partir das 9 horas iniciais.
C
Serão 9 dias e 12 horas a partir das 9 horas iniciais.
D
Serão 9 dias e 10 horas a partir das 9 horas iniciais.
6A prova dos noves é um método que possibilita verificar se uma operação aritmética foi realizada corretamente, porém é pouco utilizada atualmente. Retirar os noves fora de um natural n significa determinar o resto de sua divisão por 9. Considerando que aplicamos a prova dos noves na soma de 354 e 457, analise as sentenças a seguir:
I- "Noves fora" da primeira parcela da soma é igual a 3.
II- O "noves fora" da soma dos "noves fora" das duas parcelas é igual a 1.
III- "Noves fora" do resultado é igual a 2.
IV- A soma das parcelas é 811, o que mostra que a operação foi realizada corretamente, pois o produto dos "noves fora" das duas parcelas é 3.
Assinale a alternativa CORRETA:
A
Somente a sentença III está correta.
B
As sentenças I, II e IV estão corretas.
C
As sentenças III e IV estão corretas.
D
As sentenças I e II estão corretas.
7A estruturação do conjunto dos números naturais, como conhecemos hoje, levou um longo período para ser construído. Do qual, Giuseppe Peano, matemático italiano, teve papel fundamental na formulação axiomática desse conjunto, que surgiu pela necessidade de contagem. Mais tarde, tivemos a formalização dos números inteiros, que podemos considerar como uma ampliação do conjunto dos números naturais. No conjunto dos inteiros, temos duas operações definidas: adição e multiplicação. Sobre os axiomas válidos para a adição nos inteiros, assinale a alternativa CORRETA:
A
Propriedade Associativa; Propriedade Comutativa; Propriedade da Existência do Elemento Neutro; Propriedade Distributiva.
B
Propriedade Comutativa; Propriedade da Existência do Elemento Neutro; Propriedade do Elemento Inverso.
C
Propriedade Associativa; Propriedade Comutativa; Propriedade da Existência do Elemento Neutro; Propriedade Distributiva.
D
Propriedade Associativa; Propriedade Comutativa; Propriedade da Existência do Elemento Neutro; Propriedade da Existência do Elemento Oposto.
8É possível determinar as soluções de uma equação diofantina a partir de uma solução particular x', y', Sendo escrita da seguinte maneira a solução geral: x = x' + tb e y = y' - ta, com t pertencendo aos inteiros. Calcule a solução geral da seguinte equação diofantina 56x + 72y = 40. De acordo com a resolução da questão, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
(    ) O MDC (56,  72) = 8. Como 8 divide 40,  sabemos que a equação possui solução.
(    ) Uma solução particular é x' = 20 e y' = -15
(    ) A solução geral é dada por x = 20 - 8t e y = -15 + 7t.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A
F - V - V.
B
V - F - V.
C
V - F - F.
D
V - V - F.
9Um problema bem curioso proposto e resolvido por Jacob Steiner (1796-1863) em 1826 é o da Pizza de Steiner. Este problema possui a seguinte formulação:
"Qual é o maior número de partes em que se pode dividir o plano com n cortes retos?"
Deste problema, podemos dizer que a solução para 4 cortes é:
A
9 pedaços.
B
10 pedaços.
C
12 pedaços.
D
11 pedaços.
10Considere as seguintes propriedades da relação de congruência: Sejam a, b, c, d e m inteiros com m > 1.
A
V - F - V.
B
F - V - V.
C
V - F - F.
D
V - V - V.