AOL2 - Equações Diferenciais

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Nota finalEnviado: 21/03/22 21:14 (UTC-3)
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Conteúdo do exercício
Conteúdo do exercício
1. Pergunta 1
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Em cálculo, um problema de valor inicial (ou problema de Cauchy) é uma equação diferencial, tal que a mesma é determinada com o valor da função objetivo em certo ponto, denominado valor inicial. Dessa forma, é possível selecionar uma única equação dentro de uma família de equações. 
Considerando o texto apresentado e o conteúdo estudado sobre variáveis separáveis, dada a equação dy/dx = - x/y, com um valor inicial de y(4) = 3, calcule a solução considerando o valor inicial.
Avalie as afirmativas a seguir:
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1. 
A solução para a equação é y2 + x2 = 25 
Resposta correta
2. 
A solução para a equação é y = -x2 - 5 
3. 
A solução para a equação é y = x2 - 25 
4. 
A solução para a equação é y = x2 - 5 
5. 
A solução para a equação é y2 + x2 = 5 
2. Pergunta 2
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Considere a situação-problema a seguir:
Imagine que há um tanque de 400 litros, e que uma solução de 60 kg de sal em água enche o tanque. Despeja-se 8 litros de água por minuto e a mistura homogênea sai na mesma proporção. 
 Considerando o texto apresentado e o conteúdo estudado sobre variáveis separáveis, calcule a quantidade de sal existente no tanque após 1 hora?
Dica: A concentração será S/400 Kg/litro, porém, a cada 8 minutos, temos que 8S/400 = -S/50 dt é a variação na quantidade de sal que sai do tanque.
Avalie as afirmativas abaixo:
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1. 
A quantidade de sal é igual a 10 kg.
2. 
A quantidade de sal é igual a 20 kg.
3. 
A quantidade de sal é igual a 18 kg.
Resposta correta
4. 
A quantidade de sal é igual a 24 kg.
5. 
A quantidade de sal é igual a 26 kg.
3. Pergunta 3Crédito total dado
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“Viscosidade é a propriedade física que caracteriza a resistência de um fluido ao escoamento. Em outras palavras, é a propriedade associada à resistência que um fluido oferece à deformação por cisalhamento, tipo de tensão gerado por forças aplicadas em sentidos opostos, porém, em direções semelhantes no material analisado. “
Fonte: PROLAB. O que é viscosidade de um fluido? Disponível em: https://www.prolab.com.br/blog/curiosidades/o-que-e-viscosidade-de-um-fluido/. Acesso em: 08/08/2019.
Considere a seguinte situação problema: 
Um corpo de m está caindo em um fluido em que a resistência em kgf seja proporcional ao quadrado da velocidade em m/s. Se a velocidade máxima limite é 50m/s, considerando o texto apresentado e o conteúdo estudado sobre equações variáveis separáveis, calcule a velocidade após 2s, com o corpo partindo do repouso:
Dica: m.dv/dt = mg – Kv2
Avalie as afirmativas abaixo e assinale a correta:
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1. 
Velocidade após 2s = 30 m/s
2. 
Velocidade após 2s = 27,8 m/s
3. 
Velocidade após 2s = 20,5 m/s
4. 
Velocidade após 2s = 22 m/s
5. 
Velocidade após 2s = 21,4 m/s
Resposta correta
4. Pergunta 4Crédito total dado
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Há uma forma lógica de se resolver equações diferenciais homogêneas, primeiramente, deve-se separar a equação em M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0, para então, aplicar o método de solução, ou seja, transformando-a em uma EDO com variáveis separáveis. 
Considerando o texto apresentado e o conteúdo estudado sobre equaões homogêneas, dada a equação abaixo, resolva-a utilizando o método de resolução de equações homogêneas.
Dy/dx = y/x + xey/x com a condição y(1) = 1
Assinale as afirmativas abaixo:
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1. Incorreta: 
A solução da equação homogênea é e-1 + e-y/x = ln|e.x| 
2. 
A solução da equação homogênea é – e-y/x = ln|x| 
3. 
A solução da equação homogênea é e-1  = ln|x|
4. 
A solução da equação homogênea é e-x – e-y/x = ln|e|
 
5. 
A solução da equação homogênea é e-1 – e-y/x = ln|x|
Resposta correta
5. Pergunta 5
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Considere a situação problema a seguir:
Um grupo de cientistas, estudando o crescimento populacional de um certo tipo de bactéria em relação a outro tipo de bactéria que prejudica o crescimento conjunto, chegou ao seguinte equacionamento:
(e2y – y cos(xy)) dx + (2xe2y – xcos(xy) + 2y)dy = 0
Considerando o texto apresentado e o conteúdo estudado sobre equações diferenciais exatas, obtenha a relação entre o crescimento da bactéria x e y utilizando o método de resolução de equações diferenciais exatas.
Avalie as afirmativas a seguir:
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1. 
A relação entre x e y é cos(x)sen(x) + y2 = c
2. 
A relação entre x e y é xe2x + sen(x)cos(x) + c = 0
3. 
A relação entre x e y é xe2 + cos(xy) + c = 0 
4. 
A relação entre x e y é sen(x) + xe2y + c = 0
5. 
A relação entre x e y é xe2y – sen(xy) + y2 + c = 0 
Resposta correta
6. Pergunta 6
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A força elástica é a força exercida sobre um corpo que possui elasticidade, como, por exemplo, uma mola ou elástico. Essa força é proporcional à deformação desse corpo quando ele se estica ou se comprime, e também depende da direção da força aplicada.
Considere a seguinte situação problema: 
Uma mola de massa desprezível está fixa verticalmente ao teto e uma massa m em sua outra extremidade, quando a mola está sem deformação alguma, a massa tem velocidade v0.
Considerando o texto apresentado e o conteúdo estudado sobre equações variáveis separáveis, determine a velocidade ao quadrado v2 em função da deformação da mola x:
Dica: Força = Peso – Força da mola
Avalie as afirmativas e assinale a correta:
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1. 
A velocidade ao quadrado é v2 = mgx + kx2 + v02
2. 
A velocidade ao quadrado é v2 = (2gx – (kx2 /m)+ v02) 
Resposta correta
3. 
A velocidade ao quadrado é v2 = mgx + kx2 + mv02 
4. 
A velocidade ao quadrado é v2 = mgx + kx2 
5. 
A velocidade ao quadrado é v2 = - kx2 + mv02 
7. Pergunta 7
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A aplicação do método das variáveis separáveis é tida como uma das mais fáceis, sua resolução consiste em colocar a derivada na forma dy/dx, por exemplo, em um lado da equação e o restante dos termos do outro lado, depois disso, deve-se colocar tudo que tem a variável x junto com o termo dx e, da mesma forma, tudo que tem y deve ser colocado juntamente com dy.
Considerando o texto apresentado e o conteúdo estudado sobre variáveis separáveis, dada a equação diferencial dy/dx = sen(x), ache a equação de y(x).
Avalie as afirmativas a seguir:
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1. 
A solução para a equação corresponde a y = -cos(x) + c
Resposta correta
2. 
A solução para a equação corresponde a y = sen(x) + c
3. 
A solução para a equação corresponde a y = -cos(x)
4. 
A solução para a equação corresponde a y = -sen(x) + c
5. 
A solução para a equação corresponde a y = cos(x) + c
8. Pergunta 8
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Após a integração e resolução de equações diferenciais, obtemos uma função com uma constante de integração (geralmente denominada c), ou seja, a solução define uma família infinita de soluções, uma para cada valor da constante c, ou seja, a constante c, chamada também de constante arbitrária, designa uma solução em forma de equação. 
Considerando o texto apresentado e o conteúdo estudado sobre variáveis separáveis, dada a equação diferencial xe-y sen(x) dx – y dy = 0, calcule a solução para a equação diferencial.
(Dica: multiplicar todos termos por ey)
Avalie as alternativas abaixo:
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1. 
A solução para a equação é x cos(x) - sen(x) = yey  + c
2. 
A solução para a equação é y cos(x) = yey – ey + c 
3. 
A solução para a equação é x cos(x) + sen(x) =  – ey + c
4. 
A solução para a equação é – x cos(x) + sen(x) = yey – ey + c
Resposta correta
5. 
A solução para a equação é x cos(x) + sen(x) = ey + c 
9. Pergunta 9
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Uma equação diferencial ordinária do tipo M(x,y)dx + N(x,y)dy=0 é equivalente a M(x, y) + N(x, y)y’ = 0, pois y’ = dy/dx, ou seja, uma equação diferencial ordinária é exata se pode ser escrita como M(x, y) + N(x, y)y’ = 0, e teremos que M/dy = N/dx.
Considere a situação problema a seguir:
Um grupo de cientistas que estavam estudando o efeito de um certo gene em pessoas com câncer chegou na seguinte equação, que descreve o comportamento do gene aliado ao fato de as pessoas fumarem:
2xydx + (x2 -1)dy = 0
Considerando o texto apresentado e o conteúdo estudadosobre equações diferenciais exatas, calcule, com base na equação acima, a relação entre as variáveis x e y:
Avalie as afirmativas a seguir:
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1. 
A relação entre x e y é x2y2 – y = c 
2. 
A relação entre x e y é y2 + 2x = c 
3. 
A relação entre x e y é 2xy2 + x = c 
4. 
A relação entre x e y é x2y – y = c
Resposta correta
5. 
A relação entre x e y é 2xy – y = c 
10. Pergunta 10
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As equações diferenciais lineares estão presentes em vários ramos da engenharia. Um modelo matemático é uma representação de um sistema físico que pode ser, por diversas vezes, expresso por uma equação diferencial linear.
Considerando o texto apresentado e o conteúdo estudado sobre equações diferenciais lineares, dada a equação abaixo, encontre a solução geral utilizando o método de resolução de uma equação linear:
dy/dx + xy/(x2 + 9) = 9
Avalie as afirmativas abaixo:
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1. 
O valo de y é igual a = c / (x2 + 9) 
2. 
O valo de y é igual a = c / (x2 + 9)^1/2 
Resposta correta
3. 
O valo de y é igual a = x2 + 9/c 
4. 
O valo de y é igual a = (c / x2)
5. 
O valo de y é igual a = x2 / (c+9)