AULA 9

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Cálculo numérico
Aula 9: Resolução de equações diferenciais ordinárias de 1ª
ordem
Apresentação
Nesta aula, identi�caremos e aplicaremos métodos de resolução de equações diferenciais ordinárias (EDO) de 1a ordem
para problemas de valor inicial (PVI).
Vamos veri�car também que esses problemas podem descrever diversos fenômenos na engenharia, física etc.
Objetivos
Identi�car e aplicar métodos de resolução de equações diferenciais ordinárias (EDO) de 1a ordem para problemas de
valor inicial (PVI).
Reconhecer que tais problemas possuem um estado inicial conhecido.
Avaliar que, em geral, a caracterização de um estado do sistema diferente do inicial é dada por uma equação
diferencial que descreve a evolução do sistema a partir deste estado inicial.
Resolução de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem
Para começarmos a trabalhar com as equações diferenciais ordinárias devemos primeiro entender alguns conceitos.
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Equação diferencial é toda equação em que �gura, pelo menos, uma derivada ou diferencial da função incógnita.
Equação diferencial 
Ordem da derivada de mais alta ordem da função incógnita que �gura na equação como a ordem da equação diferencial.
Ordem 
O grau de uma equação diferencial será de�nido como o maior expoente da derivada de mais alta ordem da função
incógnita que �gura na equação.
Grau 
Uma equação diferencial é dita linear se a função e suas derivadas são lineares.
Linear 
Se uma equação diferencial tem apenas una variável independente, elas são chamadas equações diferenciais ordinárias.
Equações diferenciais ordinárias 
Resolver ou integrar una equação diferencial signi�ca determinar todas as funções que veri�cam a equação, ou seja, que a
transformam em uma identidade.
Resolver ou integrar 
Seja uma equação diferencial de ordem n: F(x,y ,y , y , ...,yn) = 0 (1). Chama-se solução desta equação diferencial toda
função y = 𝜑(x), de�nida em um intervalo aberto (a,b), juntamente com suas derivadas sucessivas até a ordem n inclusive;
tal que, ao fazermos a substituição de y por y = 𝜑(x) na equação (1), esta se converta em una identidade com respeito a x
no intervalo (a,b).
Solução 
’ ’’ ’’’
Modelos dinâmicos
Na engenharia, a utilização de equações diferenciais tem como objetivo descrever o  comportamento dinâmico de sistemas
 físicos. Como, por exemplo, uma equação diferencial que descreve o comportamento dinâmico de um circuito. Todavia, a
aplicação de equações diferenciais não se limita à engenharia, tendo vasta aplicação em outras áreas como biologia, economia
etc.
Para que uma equação diferencial tenha solução única, devemos de�nir algumas condições.
Portando, de�nimos o Problema de Valor Inicial (PVI) para uma equação diferencial de ordem n: F(x,y',y",y"',...,yn) = 0 como
sendo a equação diferencial e mais n condições do tipo:
y x0 = y0
y' x0 = y1
y'' x0 = y2
⋮
y ( n - 1 ) x0 = yn - 1
⇒ yx - x0 = y0 , onde x0, y0, y1, . . . , yn - 1 são números reais conhecidos.
Tais problemas possuem um estado inicial conhecido e, por uma equação diferencial que descreve a evolução do sistema a
partir deste estado inicial, procura-se, em geral, a caracterização de um estado do sistema diferente do inicial.
{
( )
( )
( )
( )
Exemplo
Dado y’’ + 4y = 0, veri�que se y = C cos 2x + C sen 2x é solução geral da equação diferencial e resolva o problema de valor
inicial:
y'' + 4y = 0
y
π
4 = 1
y'
π
4 = 1
Para veri�carmos se y = C cos 2x + C sen 2x é solução geral da equação diferencial, basta conferir se a igualdade y’’ + 4y = 0 é
verdadeira. Logo, devemos obter y’’ e y e aplicar na igualdade.
Você pode fazer essa veri�cação e constatar que realmente y = C cos 2x + C sen 2x é solução geral da equação diferencial.
Vamos, então, para a segunda parte do exercício: resolver o problema de valor inicial, ou seja, procurar os valores de C e C que
satisfazem as condições iniciais e encontrar a solução particular da equação.
Veri�cando as condições iniciais:
y
π
4 = 1 ⇒ y
π
4 = C1 cos 2 
π
4 + C2 sin 2 
π
4 = 1.
y'
π
4 = - C1 2 sin 2 
π
4 + C2 2 cos 2 
π
4 = 0
Simpli�cando a expressão e realizando os cálculos, obtemos: C = 0 e C = 1.
Logo, a solução particular, obedecendo às condições iniciais, é: y(x) = sin 2x
A forma geral das equações de 1ª ordem é F(x,y,y’) = 0.
Observe que são equações de 1ª ordem e 1º grau as equações da forma: 
dy
dx = F x, y , ou ainda, M dx + N dy =0, onde M =
M(x,y) e N = N(x,y) são contínuas no intervalo considerado.
1 2
{ ( )( )
1 2
1 2
1 2
( ) ( )
( )
1 2
( )
Métodos de Euler ou Passo simples
Um dos métodos que podemos aplicar em um Problema de Valor Inicial é o método de Euler. Desse modo, seja a equação
diferencial de�nida como 
dy
dx = F x, y , com valor inicial y (x ) = y .
Como conhecemos x e y(x ), podemos de�nir a derivada 
dy
dx = y' x0 = f x0, y0
Observe também que a equação da reta que passa pelo ponto (x ,y ) tem como coe�ciente angular y’(x ). Logo, a reta será
de�nida como: r (x) = y (x ) + (x - x ) y’(x ).
De�nimos a amplitude do intervalo como h = x - x . Portanto, y(x ) ≈ y = r (x ).
Pela de�nição da reta temos: r (x ) - y + hy'(x )
Lembrando que y' (x ) = f(x , y ) Logo, r (x ) = y + h y'(x ) = r (x ) = y + h f(x , y )
Para de�nirmos a reta no ponto (x ,y ), repetimos o mesmo raciocínio, encontrando:
y = y + h f(x ,y )
Podemos, então, generalizar a equação da reta como:
y = y + h f(x ,y ), k ∈ ℵ.
( ) 0 0
0 0 ( ) ( )
1
0 0 0
0 0 0 0
k+1 k 1 1 0 1
0 1 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
1 1
2 k 1 1
k+1 k k k
Exemplo
Determine aproximações para solução do problema de valor inicial, na malha [0,1] e h = 0.1, dado por y’ = x - y + 2, para y(0) = 2.
Assim, determinaremos aproximações pelo método de Euler com x = 0 e y = 2.0 0
Atividades
QUESTÃO 1
Dada a equação y’ = y, veri�que se a sua solução é y x = a ex, a ∈ R.( )
QUESTÃO 2
Dada a equação y’ = y, sua solução y x = a ex, a ∈ R. e as condições iniciais y(0) = 1, determine o valor de a bem como a
solução particular.
( )
https://portaldoaluno.webaula.com.br/cursos_graduacao/dis166/aula9.html
QUESTÃO 3
Dada a equação y’ = y, sua solução y x = a ex e as condições iniciais y(0) = 1, determine o valor da equação da reta que passa
por (x0,y0), com coe�ciente angular y’(x0), utilizando o Método de Euler, com h = 0.5.
( )
QUESTÃO 4
Compare o resultado encontrado na questão 3 como resultado exato e veri�que o erro.
Notas
equação da reta1
Reveja a de�nição de equação da reta na disciplina de Cálculo.
Referências
ARENALES, Selma Helena de Vasconcelos; DAREZZO, Artur. Cálculo numérico: aprendizagem com apoio de software. São
Paulo: Thomson Learning, 2008.
 
BARROSO, Leônidas Conceição et. al. Cálculo numérico: com aplicações. 2. ed. São Paulo: Harbra, 1987.
 
RUGGIERO, Marcia A. Gomes; LOPES, Vera Lucia da Rocha. Cálculo numérico: aspectos teóricos e computacionais. 2. ed. São
Paulo: Pearson, 2006.
Próxima aula
Identi�cação e aplicação dos métodos de resolução de equações diferenciais ordinárias (EDO) de 1ª ordem para
problemas de valor de contorno (PVC).
Implementação do algoritmo, utilizando o conhecimento aprendido nas aulas anteriores.
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