Cap_4_Vol_3_Guidorizzi_Resolucao

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Exercícios 4.2
1. a) 
 B
x y dx dyÚÚ ( )2 2� onde B é o círculo x2 � y2 � 4.
Façamos a mudança de variável
 
x
y
�
�
� �
� �
cos
sen
Ï
Ì
Ó 
dx dy
x y
d d�
�
� � �
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( , )
( )
.
,
Temos
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( , )
( , )
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cos .
x y
x x
y y� �
�
��
�
��
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��
�
��
� � �
� � �
�
sen
sen
Logo,
dx dy � � d� d�.
Vamos determinar B��, tal que B � � (B��), onde � é a transformação �.
CAPÍTULO 4
B � {(x, y) � �2 � x2 � y2 � 4} B�� � {(�, �) � �
2 � 0 � � � 2 e 0 � � � 2	}
Temos, então,
50
 B
x y dx dy d dÚÚ Ú ÚÈÎÍ
ù
û
ú( ) ( cos )
2
0
2
0
2
2 22 2� � � �
	
� � � � � � �sen
 
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0
2
2
0
2
3
0
2
0
2
22 4Ú Ú Ú ÚÈÎÍ
ù
û
ú
È
ÎÍ
ù
û
úcos � � � � � � � 	
	
d d d dsen
c) 
B
x dx dyÚÚ 2 , onde B é o conjunto 4x2 � y2 � 1
Façamos a mudança de variável
 
x
y
�
�
�
�
� �
2
cos
sen
Ï
Ì
Ô
ÓÔ 
dx dy
x y
d d�
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( , )
( , )
 
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� � �
�( , )
( , )
cos
cos
x y
x x
y y
� �
�
�
1
2
1
2 2
sen
sen
Então,
 
dx dy d d�
�
� �
2
Temos B x y
x
y� � �( , ) � �2
2
2
2
1
2
1
Ê
Ë
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¯
Ï
Ì
ÔÔ
Ó
Ô
Ô
¸
ý
ÔÔ
þ
Ô
Ô
 B�� � � � � 	� � � � �{( , ) }� �
2 0 1 0 2� e
51
Portanto,
 
B B
x dx dy d dÚÚ ÚÚ ÊË �¯2
21
2 2
� �
��
� �
�
� �cos
 
� � �
0
2
0
1
2
3
0
2
21
4 2
1
32
	 	
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�
� � � �Ú Ú ÚÊË �¯
È
Î
Í
ù
û
úcos cosd d d
 
� � �
1
32
1
2 2 320
2
cos .� �
� 	
	
senÈ
ÎÍ
ù
ûú
e) 
 B
x ye dx dy B x y x y x y x xÚÚ 2 2 2 2 21 4 0� � � � � � � � 
, {( , ) , , }onde � � �
Façamos a mudança de
variável para coordenadas polares:
 
x
y
�
�
� �
� �
cos
sen
Ï
Ì
Ó
dx dy � � d� d�. Temos, ainda, 1 2
4 4
� � � � ��
	
�
	
e .
Então,
 B
x ye dx dyÚÚ 2 2� � 
�
 � �	
	
� � � �
	
4
4
1
2
42
4Ú Ú
È
ÎÍ
ù
û
úe d d e e( ).
g) 
B
x dx dyÚÚ , onde B é o conjunto, no plano xy, limitado pela cardióide � � 1 � cos �.
52
Para cada � fixo em [0, 2	], � varia de 0 a 1� cos �.
 B
x dx dyÚÚ � 
 0
2
0
1
2
	 �
� � � �Ú ÚÈÎÍ
ù
û
ú
�
�
cos
cos d d
� �
�
�
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0
2 3
0
1
0
2 3
3
1
3
	
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	�
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� �Ú Ú
È
Î
Í
ù
û
ú
cos
cos
( cos )
cosd d
 
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0
2 2 31 3 3
3
	 � � �
� �Ú ( cos cos cos ) cos d
 
� � � � �
1
3
1
30
2
0
2
2
0
2
3
0
2
4
	 	 	 	
� � � � � � � �Ú Ú Ú Úcos cos cos cosd d d d
(utilizando a fórmula de recorrência do Vol. 1, Seção 12.9:
 Ú Úcos cos cos )
n n nd
n
n
n
d� � � � � �� �
�
�� �
1 11 2sen
 
� � � � �
1
3
1
2 2
1
30
2
0
2
2sen sen sen� � �
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[ ] È
ÎÍ
ù
ûú
È
ÎÍ
cos cos
 
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2
3
1
4
3
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1
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0
2
sen sen sen� � � � �
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ù
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Ê
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ÎÍ
ù
û
úcos cos
�� � ��	
	 	
4
5
4
.
i) 
B
x dx dyÚÚ , onde B � {(x, y) � �2 � x2 � y2 � x � 0}
Temos 
 
x y x x x y2 2 2 20
1
4
1
4
� � � � � � �¤ ¤
 
¤ ÊË
�
¯x y� � �
1
2
1
4
2
2 . Então,
53
 
B x y x y� � � �{( , ) }.� �2
2
21
2
1
4
� ÊË
�
¯
Façamos a mudança de variável
 
x
y
� �
�
1
2
� �
� �
cos
sen
Ï
Ì
Ô
ÓÔ
dx dy � � d� d�. Temos
 
B�� � � � � 	� � � � �{( , ) }.� �2 0
1
2
0 2� e
Então,
 
B B
x dx dy d dÚÚ ÚÚ ÊË �¯� � �
��
� � � � �
1
2
cos
 
� � � � �
0
2
0
1
2 2
0
2
2
1
16
1
24 8
	 	�
� � � � � �
	Ú Ú ÚÊË �¯
È
Î
Í
Í
ù
û
ú
ú
Ê
Ë
�
¯cos cos .d d d
l) 
B
y dx dyÚÚ 2 , onde B � {(x, y) � �2 � x2 � y2 � 1, y 
 x e x 
 0}.
B�� � � �
	
�
	
� � � � �{( , ) }� �2 0 1
4 2
� e
 
B B
y dx dy d dÚÚ ÚÚ2 2 2� �
��
� � � � �sen
 
	
	
� � � �
	
4
2
0
1
3 2 1
16 2
1Ú ÚÈÎÍ
ù
û
ú
È
ÎÍ
ù
ûú
sen d d � �
54
2. a) 
 
0
1 2
2 2
2
2
Ú Ú
È
Î
Í
Í
ù
û
ú
úx
x
x y dy dx
�
�
Para cada x fixo em [0, 1], y varia de x2 a 
 
2 2� x .
Então, o que se quer é o valor da integral 
 B
x y dx dyÚÚ 2 2� , onde
B � {(x, y) � �2 � x2 � y2 � 2, y 
 x2 e 0 � x � 1}.
Façamos a mudança para coordenadas polares
 
x
y
�
�
� �
� �
cos
sen
Ï
Ì
Ó
dx dy � � d� d�.
A equação da parábola y � x2 se escreve em coordenadas polares
 
� � � � �
�
�
sen
sen
� �( cos )
cos
.2 2Þ
55
Então,
 
B
x y dx dy d d d dÚÚ Ú Ú Ú Ú
È
Î
Í
Í
ù
û
ú
ú
È
Î
Í
ù
û
ú2 2
0
4
0
2
4
2
0
2
22� � � �
	 �
�
	
	
� � � � � �
sen
cos
 
� � � �
0
4
3
0 4
2
3
0
2
0
4
3
6
4
2
3 3
1
3
2 2
3
2
	
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�
	
	 	
	
	
�
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�
�
�
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� �Ú Ú Ú Ú
È
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Î
Í
ù
û
ú
sen
sencos
cos
.d d d d
Observamos que 
 0
4
3
6 0
4
2
6
1
	 	
�
�
�
� �
�
�Ú Úsen sencos
( cos )
cos
d d�
�
Fazendo cos � � u temos �sen � d� � du.
 
�
�
	
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0 1
4
2
2
;
; .
u
u
Então 
 
0
4
2
6 1
2
2
2
6 2
2
1 2
6
1 1 1
	
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�Ú Ú Úsen ( cos )cos
( )�
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u
u
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u
u
du
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1
3
2
15
1 2
2
2
( ) .	
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Î
Í
ù
û
ú
c) 
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1
1 1
1 1
2
2
Ú Ú
È
Î
Í
Í
ù
û
ú
ú� �
� �
x
x
xy dy dx.
Para cada x fixo em [0, 1], y varia de 
 
1 1 1 12 2� � � �x xa .
Então, a região de integração é:
 B x y x y x x� � � � � � � � �{( , ) , }.� �
2 2 21 1 1 1 0 1�
56
Passando para coordenadas polares
 
 
x
y
�
�
� �
� �
cos
.sen
Ï
Ì
Ó
 x y y
2 2 2 2� � �Þ � �sen
Então,
 
0
1
1 1
1 1
0
2
0
2
2
2
2
Ú Ú Ú Ú
È
Î
Í
Í
ù
û
ú
ú
È
ÎÍ
ù
û
ú
� �
� �
� �
x
x
xy dy dx d d
	
�
� � � � � �
sen
sen( cos )
 
� � �
0
2
4
0
2
0
2 5
4
4
2
3
	 � 	
�
� � � � � �Ú Ú
È
Î
Í
ù
û
ú
sen
sen sencos cosd d
e) 
 
0 0
2 2 2
2 2
0
a a x
a x y dy dx aÚ Ú
È
Î
Í
Í
ù
û
ú
ú
�
� � �( ).
Para cada x fixo em [0, a], y varia de 0 até 
 
a x2 2�
Temos B x y x a y a x� � � � � �{( , ) , }.��2 2 20 0�
 
B a�� � � � �
	
� � � � �{( , ) , }.��2 0 0
2
�
Temos:
 
0 0
2 2 2
2 2a a x
a x y dy dxÚ Ú
È
Î
Í
Í
ù
û
ú
ú
�
� � �
 
� � � �
0
2
0
2 2 2 2 2
	
� � � � � � �Ú ÚÈÎÍ
ù
û
ú
a
a d dcos sen
57
 
� � � � �
0
2
0
2 2
1
2
1
2
2
	
� � � �Ú Ú ÊË �¯
È
Î
Í
Í
ù
û
ú
ú
a
a d d( ) ( )
 
� � � �
1
2
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2 2 2
3
2
0
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Ë
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Í
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( ) .a d
a
a
g) 
 
B
dx dy d d dÚÚ Ú Ú ÚÈÎÍ
ù
û
ú [ ]� � �
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�
	
	
�
� � � � �
8
4
0
2
8
4 2
0
21
2
cos cos
 
� � � �
� �
1
2
2
1
2
1
2
1
2
4
8
4 2
8
4
	
	
	
	
� � � �Ú Ú ÊË �¯(cos ) cosd d
 
� � � �
�
1
2 2
1
8
4
1
16
3
2
1
8
4�
�
	
	
	
senÈ
ÎÍ
ù
ûú
È
ÎÍ
ù
ûú
.
3. 
B
y x dx dyÚÚ 2 23 � , onde B é o paralelogramo de vértices
( , ), , , ( , ) ,0 0
1
2
1
2
0 1
1
2
1
2
Ê
Ë
�
¯
Ê
Ë
�
¯e �
.
Façamos a mudança de variável
u y x
v y x
� �
� �
ÏÌÓ
 
¤
Ï
Ì
Ô
Ó
Ô
x
v u
y
v u
� �
� �
2 2
2 2
58
De
 
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
( , )
( , )
x y
u v
x
u
x
v
y
u
y
v
� �
�
��
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
segue
 
dx dy
x y
u v
du dv du dv� �
�
�
( , )
( , )
.
1
2
Observamos que a transformação (u, v) � � (x, y) dada
 
por
u y x
v y x
� �
� �
ÏÌÓ é a inversa de (x, y) � � (u, v) dada
 
por
x
v u
y
v u
� �
� �
2 2
2 2
Ï
Ì
Ô
Ó
Ô
e que � é de classe C1.
Temos que � transforma as retas y � x, y � �x � 1, y � x � 1 e y � �x,
respectivamente, nas retas u � 0, v � 1, u � 1 e v � 0.
Segue que:
B
y x dx dy
v u v u
du dvÚÚ Ú Ú ÊË �¯ ÊË �¯
È
Î
Í
Í
ù
û
ú
ú
2 23
0
1
0
1 2 2
3
2 2 2 2
1
2
� � � � � �
 
� �
1
2
9
320
1
0
1
3Ú ÚÈÎÍ
ù
û
úuv du dv .
4.
B
dx dy B x y
x
a
y
b
a bÚÚ , {( , ) , , }onde � � � � �� �2
2
2
2
2 1 0 0�
59
Façamos a mudança de variável
 
x a
y b
�
�
� �
� �
cos
sen
Ï
Ì
Ó
Segue
 
�
� � �
�
��
�
��
�
��
�
��
� � �
( , )
( , )
(cos ).
x y
x x
y y
ab� � �2 2sen Então,
 
dx dy
x y
d d ab d d� �
�
� � �
� � � � �
( , )
( , )
.
Então, temos
B
dx dy ab d d abÚÚ Ú ÚÈÎÍ
ù
û
ú� �0
2
0
1	
� � � 	 .
5. a) Sejam A � {(x, y) � �2 � 1 � x2 � y � 2 � x2, x 
 0 e y 
 x � x2} e
B � {(u, v) � �2 � 1 
 v 
 2, v 
 u e u 
 0}
Consideremos a transformação (u, v) � �(x, y) dada por
 
�:
u x
v y x
�
� � 2
Ï
Ì
Ó
60
Observamos que a transformação(x, y) � �(u, v) dada por
 
� :
x u
y v u
�
� � 2
Ï
Ì
Ó
é a inversa de �.
Seja (x, y) � A. Então, x 
 0, y 
 x � x2 e 1 � x2 � y � 2 � x2.
De x 
 0 Þ u 
 0
y 
 x � x2 Þ v � u2 
 u � u2 Þ v 
 u
1 � x2 � y � 2 � x2 Þ 1 � u2 � v � u2 � 2 � u2 Þ 1 � v � 2.
Portanto, B � {(u, v) � u 
 0, v 
 u e 1 � v � 2} � �(A).
Como � é inversa de �, segue então que B é a imagem de A por �, ou seja, B � �(A).
b) De �
�
( , )
( , )
x y
u v u
�
�
�
1 0
2 1
1 resulta dxdy � dudv. Temos então
Área de A � 
 
dxdy dudv
BA
� ÚÚÚÚ � Área de B.
Exercícios 4.3
1. a) Sejam 
(x, y) � y e B � {(x, y) � �2 � 0 � x � 1, 0 � y � 1}.
O elemento de massa é dm � 
(x, y) dx dy � y dx dy.
O centro de massa é o ponto (xc, yc) onde
x
x dm
dm
c
B
B
�
ÚÚ
ÚÚ e
y
y dm
dm
c
B
B
�
ÚÚ
ÚÚ
Temos
B
dm y dx dyÚÚ Ú ÚÈÎÍ
ù
û
ú� �0
1
0
1 1
2
,
B
x dm x y dx dyÚÚ Ú ÚÈÎÍ
ù
û
ú� �0
1
0
1 1
4
e
B
y dm y dx dyÚÚ Ú ÚÈÎÍ
ù
û
ú� �0
1
0
1
2 1
3
.
Portanto, o centro de massa é 
1
2
2
3
, .ÊË
�
¯
61
b) 
 
dm ky dx dy
x y
�

( , )
{
massa de 
 
B ky dy dy
x
� �
�
�
1
1
0
1
2
1 2
Ú Ú
È
Î
Í
Í
ù
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ú
ú
 
� �
�
�
�
�
1
1 2
0
1
2
1
0
1 2
2
1
4 6
2
Ú Ú
È
Î
Í
ù
û
úk
y
dx
x
dx
k
x
.
B
x
x dm kxy dy dx
k
x x dxÚÚ Ú Ú Ú
È
Î
Í
Í
ù
û
ú
ú
� � � �
�
�
�1
1
0
1
2
1
1
1
2
2
8
1 0( )
(o integrando é função ímpar).
B
x
y dm ky dy dx
k
x dxÚÚ Ú Ú Ú
È
Î
Í
Í
ù
û
ú
ú
� � �
�
�
�1
1
0
1
2
1
2
1
1
2
3
2
2
24
1( ) .
Fazendo x � sen �, dx � cos � d�.
x
x
�� ��
� �
1
2
1
2
;
; .
�
	
�
	
Então,
 
B
y dm
k
d
k
dÚÚ Ú Ú� �
� �24 24
2
2 2
3
2
2
2 4
	
	
	
	
� � � � �(cos ) cos cos .
Utilizando a fórmula de recorrência
 Ú Úcos cos cos
n n nd
n
n
n
d� � � � � �� �
�� �1 11 2sen
62
obtemos
 B
y dm
kÚÚ � 	64 .
Centro de massa: 
 
0
3
32
, .
	Ê
Ë
�
¯
c) 
 
dm k x y dx dy
x y
� �2 2

( , )
.
1 24 34
B é o triângulo de vértices (0, 0), (1, 0) e (1, 1).
Passando para coordenadas polares
 
x
y
�
�
� �
� �
cos
sen
Ï
Ì
Ó
 
B�� � � � � � �
	
� � � �{( , ) sec , }.��2 0 0
4
�
Massa de B dm k x y dx dy
B B
d d
� � � �ÚÚ ÚÚ 2 2
�
� � �6 74 84
678
� � � � �
0
4
0
2
0
4 3
3 6
2 1 2
	
�
	
� � � � �Ú Ú ÚÈÎÍ
ù
û
ú [ ]
sec
sec ln( ) .k d d
k
d
k
 B
x dm k d d
k
d
kÚÚ Ú Ú ÚÈÎÍ
ù
û
ú [ ]� � � � �04 0 2 04 34 4 2 1 2
	
�
	
� � � � � � �
sec
( cos ) sec ln( ) .
 B
y dm k d d
k
dÚÚ Ú Ú ÚÈÎÍ
ù
û
ú� � �0
4
0
2
0
4
4
	
�
	
� � � � � � � �
sec
( )sen sen sec4
�
k
d
4 0
4 3
	
� � �Ú tg sec
Fazendo 
 
u u du d
u
u
� �
� � �
� � �
sec , sec .
; sec
; sec
� � �
�
�
	 	
tg
0 0 1
4 4
2
Ï
Ì
Ô
Ô
Ó
Ô
Ô
Então,
 
B
du
y dm
k
d
k
u du
kÚÚ Ú Ú� � � �4 4 12 2 2 104 2 1
2
2
	
� � � �sec sec ( ).tg
1 244 344
63
Portanto, as coordenadas do centro de massa são:
 
x
x dm
dm
k
kc
B
B
� �
� �
� �
�
ÚÚ
ÚÚ
[ ]
[ ]
4
2 1 2
6
2 1 2
3
2
ln ( )
ln ( )
e
 
y
y dm
dm
k
kc
B
B
� �
�
� �
�
�
� �
ÚÚ
ÚÚ [ ] [ ]
12
2 2 1
6
2 1 2
1
2
2 2 1
2 1 2
( )
ln ( )
( )
ln ( )
.
d) Seja B � {(x, y) � �2 � x3 � y � x}.
Se 
(x, y) � 1 (constante), então a massa de B é igual à área de B.
Massa de 
 
B dy dx
x
x
� �2
1
20
1
Ú ÚÈÎÍ
ù
û
ú3 .
Temos
 
B B x
x
x
x
x dm x dx dy x dy dx x dy dxÚÚ ÚÚ Ú Ú Ú Ú
È
Î
Í
Í
ù
û
ú
ú
È
ÎÍ
ù
û
ú� � � �
�1
0
0
13
3
0
B B x
x
x
x
y dm y dx dy y dy dx y dy dxÚÚ ÚÚ Ú Ú Ú Ú
È
Î
Í
Í
ù
û
ú
ú
È
ÎÍ
ù
û
ú� � � �
�1
0
0
13
3
0
Portanto, (xc, yc) � (0, 0).
e) Seja B � {(x, y) � �2 � x � y � x � 1, 0 � x � 1}

(x, y) � xy Þ dm � xy dx dy
64
massa de 
 
B dm xy dy dy
B x
x
� � �
�
ÚÚ Ú ÚÈÎÍ
ù
û
ú0
1 1 7
12
.
 B x
x
x dm x y dy dxÚÚ Ú ÚÈÎÍ
ù
û
ú� �
�
0
1 1
2 5
12
.
 B x
x
y dm xy dy dxÚÚ Ú ÚÈÎÍ
ù
û
ú� �
�
0
1 1
2 3
4
Centro de massa: ( , ) , .x yc c �
5
7
9
7
Ê
Ë
�
¯
f) Seja B � {(x, y) � �2 � 1 � x2 � y2 � 4, y 
 0}.
Temos dm k x y dx dy
x y
� �2 2

( , )
.
1 24 34
65
Massa de 
 
B dm
B
� ÚÚ .
Em coordenadas polares:
 
dm k d d k d d
dx dy
� �◊ ◊� � � � � � �
124 34
2 .
Massa de 
 
B k d d
k
� �
0 1
2
2 7
3
	
� � �
	Ú ÚÈÎÍ
ù
û
ú
 B
x dm k d dÚÚ Ú ÚÈÎÍ
ù
û
ú� �0 1
2
2 0
	
� � � � �( cos )
 B
y dm k d d
kÚÚ Ú ÚÈÎÍ
ù
û
ú� �0 1
2
2 15
2
	
� � � � �( )sen
Centro de massa: 
 
( , ) , .x yc c � 0
45
14	
Ê
Ë
�
¯
3. a) Sejam B � {(x, y) � �2 � x2 � y2 � 1} e a reta y � x � 2
Pelo Teorema de Papus, o volume do sólido obtido pela rotação em torno da reta
y � x � 2 do conjunto B � {(x, y) � �2 � x2 � y2 � 1} é igual ao produto da área de B
pelo comprimento da circunferência descrita pelo centro de massa de B.
A área e o centro de massa B são, respectivamente, 	 e (0, 0). A distância de (0, 0) à reta
y � x � 2 é 2 . Logo, o volume é 2 2
2	 .
b) Sejam B � {(x, y) � �2 � x2 � y � x} e a reta y � x � 1.
66
Área de 
 
B dy dx x x dx
x
x
� � � �
0
1
0
1
2
2
1
6Ú Ú Ú ( ) .
Cálculo do centro de massa. Temos
0
1
0
1
0
1
2 3
2 2
1
12Ú Ú Ú Ú
È
ÎÍ
ù
û
ú [ ]
x
x
x
x
x dy dx xy dx x x dx� � � �( )
 
0
1
0
1 2
0
1
2 4
2
22
1
2
1
15Ú Ú Ú Ú
È
ÎÍ
ù
û
ú
È
Î
Í
ù
û
ú
x
x
x
x
y dy dx
y
dx x x dx� � � �( ) ;
daí, x yc c� � � � � �
1
12
1
6
1
2
1
15
1
6
2
5
e , ou seja,
( , ) , .x yc c �
1
2
2
5
Ê
Ë
�
¯
O raio da circunferência descrita pelo centro de massa de B é igual à distância do centro
de massa ( , ) ,x yc c �
1
2
2
5
Ê
Ë
�
¯
 à reta y � x � 1. Então,
r � d � 
 
2
5
1
2
1
1 1
9
10 2
9 2
20
� �
�
� � .
Comprimento da circunferência descrita pelo centro de massa
2 2
9 2
20
9 2
10
	 	
	
r � �◊ .
Pelo Teorema de Papus,
 
V � �
1
6
9 2
10
3 2
20
◊
	 	
.
c) Sejam B � {(x, y) � �2 � x2 � 4y � 1} e a reta x � y � 3.
67
Façamos a mudança de variável:
 
x
y
�
�
� �
�
�
cos
.
2
sen
Ï
Ì
Ô
ÓÔ
Temos
 
�
� � �
� � �
�
�
�
�( , )
( , )
cos
cos
x y
�
�
�
sen
sen
1
2 2
2
e
dx dy d d�
�
� �
2
.
Área de 
 
B d d d� � �
0
2
0
1
0
2
2
1
4 2
	 	�
� � �
	Ú Ú ÚÈÎÍ
ù
û
ú .
Evidentemente, (xc, yc) � (0, 0). A distância de (0, 0) à reta x � y � 3 é d �
3 2
2
; o
comprimento da circunferência é 3 2	 .
Pelo Teorema de Papus: 
 
V � �
	
	
	
2
3 2
3 2
2
2
. .