Geometria Plana_Unidade II

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Geometria Plana
Unidade II
5 GEOMETRIA PLANA
5.1 Quadriláteros
Imagine uma televisão de tela plana ou uma grande tela de cinema. Esses são alguns exemplos de 
quadriláteros em nosso dia a dia. Por definição, um quadrilátero é um polígono de quatro lados. 
É importante que sejam definidos claramente alguns elementos importantes em um quadrilátero. 
Observe a figura a seguir:
A
D
C
B
Vértice
LadoDiagonal
Ângulo
Figura 63
AB, BC, CD e DA: lados do quadrilátero;
A, B, C e D: vértices do quadrilátero;
 , B̂ , Ĉ e D̂: : ângulos internos do quadrilátero;
AC e DB: diagonais do quadrilátero. Uma diagonal é o segmento que une os vértices opostos, ou seja, não 
consecutivos.
Com essas informações, seria possível identificar tais elementos no quadrilátero a seguir? Vamos 
tentar?
Figura 64
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A soma dos ângulos internos de todo e qualquer quadrilátero será sempre 360°. Isso pode ser 
comprovado facilmente, pois um quadrilátero equivale a dois triângulos. 
No quadrilátero ABCD a seguir, observe que a diagonal (linha verde) divide o quadrilátero em dois. 
Como sabemos, a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º; logo, a soma dos ângulos internos 
do quadrilátero sempre será 360º. Não se esqueça de que também é possível verificar a soma dos 
ângulos internos com a equação a seguir:
Si = (n - 2)180 (em que “n” representa o número de lados)
Portanto, para o quadrilátero, temos n = 4:
Si = (4 - 2)180º 
Si = (2)180º 
Si = 360º
 Observação
É importante notar que, da mesma forma, os ângulos externos também 
somam 360°.
A
C
D
B
Figura 65
 Lembrete
Um quadrilátero é um polígono de quatro lados.
 Saiba mais
O geoplano é um material criado pelo matemático inglês Calleb 
Gattegno. Constitui-se por uma placa de madeira, marcada com uma malha 
quadriculada ou pontilhada. Em cada vértice dos quadrados formados, 
fixa-se um prego, no qual se prenderão os elásticos, usados para “desenhar” 
sobre o geoplano.
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O geoplano é um dos recursos que pode auxiliar o trabalho da 
geometria, desenvolvendo atividades com figuras e formas geométricas, 
suas características e propriedades, ampliação e redução de figuras, 
simetria, área e perímetro. Confira o software de geoplano no link: 
<http://www.inf.ufsc.br/~edla/projeto/geoplano/software.htm>. 
Acesso em: 03 ago. 2012.
5.1.1 Classificação dos quadriláteros
Existem alguns quadriláteros que possuem lados paralelos. São eles:
• paralelogramos;
• trapézios;
• trapezoides.
Vamos estudar agora cada um deles.
5.1.1.1 Paralelogramos (lados paralelos, dois a dois)
Os paralelogramos são quadriláteros que têm seus lados opostos paralelos e congruentes. São 
quatro: quadrado, retângulo, rombo e romboide. 
A seguir há um resumo com as características desses paralelogramos. Leia com atenção, pois é 
importante que seja capaz de distingui-los entre si.
Quadrado
Quatro lados iguais: AB = BC = CD = DA
Quatro ângulos retos: BAD = BCD = ABC = 90°
A
D
B
C
Figura 66
 
Retângulo
Lados iguais, dois a dois: AB = CD; AC = DB
Quatro ângulos retos: ABD = BDC = DCA = CAB = 90°
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A
D
B
C
Figura 67
Losango
Quatro lados iguais: AB = BC = CD = DA
Lados opostos paralelos: AB || CD e AD || BC
Ângulos opostos iguais: BAD = BCD; ADC = ABC 
A
C
D B
Figura 68
Paralelogramo
Lados e ângulos iguais, dois a dois: AB = DC; AD = BC
Dois ângulos obtusos e dois agudos: BAD = BCD; ACD = ABC
A
D
B
C
Figura 69
 
Note que, ao prolongar os lados do paralelogramo, temos: 
AB || CD; AD || BC
α + β = 180° interiores do mesmo lado
γ + δ = 180° interiores do mesmo lado
α = γ; β = δ
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A
D
B
C
α β
γδ
Figura 70
5.1.1.2 Quadriláteros que não são paralelogramos
Dentre os quadriláteros que não são paralelogramos, encontramos o trapézio, um quadrilátero que 
possui um par de lados paralelos que chamaremos de bases.
AB || CD = bases
AD; CB = lados
α + δ = 180°
β + γ = 180°
A B
CD
α β
γδ
Figura 71
Os trapézios podem ser isósceles, retângulos e escalenos, dependendo de seus lados. Observe a seguir:
Trapézio isóscele: tem seus lados congruentes AD ≅ BC.
A B
CD
α β
γδ
Figura 72
Trapézio retângulo: é aquele que tem um de seus lados perpendicular às bases e, portanto, forma 
um ângulo reto (90°).
A B
CD
α β
γδ
Figura 73
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Trapézio escaleno: é aquele que possui todos seus lados com medidas diferentes.
A B
CD
α β
γδ
Figura 74
Quando um quadrilátero não possui nenhum lado paralelo, é denominado trapezoide. Nos 
trapezoides podemos encontrar quadriláteros côncavos, ou seja, com ângulos interiores maiores de 
180°. Alguns exemplos de trapezoides podem ser visualizados a seguir.
A
B
C
D
α
β
γ
δ
A
B
C
D
α
β
γ
δ
Figura 75
 Lembrete
O trapézio é um quadrilátero que não é paralelogramo. Trapézios 
possuem um par de lados paralelos, par este que chamaremos bases.
5.2 Polígonos regulares
Observe a figura a seguir, que mostra um favo de mel, que é composto de alvéolos de base hexagonal 
bastante perfeitos. Com apenas 0,3mm de espessura, o alvéolo pode suportar um esforço de até trinta vezes 
o correspondente ao seu peso. Um alvéolo, que constitui os favos, é formado, no total, por três losangos e seis 
trapézios, possuindo a forma de um prisma hexagonal regular, uma verdadeira obra arquitetônica.
Figura 76
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Portanto, podemos dizer que o favo de mel é composto por polígonos regulares. Mas o que é um 
polígono regular? É aquele que tem todos os seus lados e ângulos iguais.
Hetágono regularHexágono regular
Decágono regularEneágono regularOctógono regular
Pentágono regular
Figura 77
 Saiba mais
Para aprofundar seus conhecimentos sobre polígonos regulares leia o livro:
Geometria dos mosaicos, de Luiz Marcio Imenes e Marcelo Lellis. Editora 
Scipione, 2000.
5.2.1 Propriedades dos polígonos regulares
Por definição, qualquer polígono regular é inscritível em uma circunferência e circunscritível a uma 
circunferência. Nesse sentido, é muito importante que o aluno tenha claras as definições de inscrito e 
circunscrito. Observe:
Circunferência circunscrita: em um polígono regular com n lados, podemos construir uma 
circunferência circunscrita (por fora), que passa por todos os vértices do polígono e que o contém em 
seu interior.
Figura 78
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Circunferência inscrita: em um polígono regular com n lados, podemos colocar uma circunferência 
inscrita (por dentro), que passa tangenciando todos os lados do polígono e que está contida nele.
 
Figura 79
O apótema de um polígono regular é o segmento com uma extremidade no centro e outra no 
ponto médio de um lado. A diagonal é um segmento que une dois vértices não consecutivos de 
um polígono. 
A seguir estão listadas algumas propriedades dos polígonos regulares que não poder ser esquecidas:
• em qualquer polígono, a soma dos ângulos externos é sempre igual a 360º;
• o centro de um polígono regular é o centro comum das circunferências inscrita e circunscrita 
nele;
O
F
E
A
B
C
D
Ângulo
central
Ângulo
internoRaio
Apótema
M
Figura 80
• chamamos ângulo cêntrico ou central de um polígono regular aquele que tem o vértice no 
centro e os lados que passam pelos vértices consecutivos, formando ângulos congruentes, e pode 
sermedido: ângulo central = 360/n, no qual n é o número de lados do polígono regular;
• em um polígono regular convexo, a área é determinada se multiplicamos o semiperímetro pelo 
apótema;
• o hexágono é o único polígono regular que tem o lado igual ao raio. Essa é uma propriedade que 
se verifica de forma simples, pois seus raios o dividem em seis triângulos equiláteros.
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O número de diagonais de um polígono regular é dado por:
d
n n
=
−( )3
2
A medida de cada ângulo interno de um polígono regular é dada por:
α = ° −180 360
n
Em que: a = apótema; n = número de lados.
 
A
B
C
D
E
O
d
a
a
α
r
Figura 81
É possível decompormos um polígono de n lados em n triângulos iguais. Nesse caso, a altura 
correspondente a esses triângulos equivale ao apótema do polígono.
 Lembrete
Um polígono regular é aquele que tem todos os lados e ângulos iguais.
5.3 A circunferência e o círculo
Quando observamos uma moeda, a circunferência é a borda, e o interior chama-se círculo.
 
Circunferência
Círculo
Raio
Figura 82
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É importante notar que os pontos da circunferência e os pontos que se encontram no interior dela 
formam uma superfície a que chamaremos de círculo. 
A circunferência é importante em praticamente todas as áreas do conhecimento, sendo também 
muito utilizada na indústria. 
 Observação
A circunferência possui características não comumente encontradas 
em outras figuras planas, como o fato de ser a única que pode ser rodada 
em torno de um ponto sem modificar sua posição aparente.
5.3.1 Definição de circunferência
Circunferência é o lugar geométrico de todos os pontos de um plano que estão a uma dada distância 
(chamada raio) de um determinado ponto (chamado centro). Um conceito correlato e próximo, porém 
distinto, é o de círculo. A circunferência é o contorno do círculo. 
A seguir, entre os itens 5.3.2 e 5.4, são apresentados alguns conceitos e as principais propriedades 
relativas à circunferência. 
5.3.2 Elementos da circunferência
Raio
As distâncias: OA = OB = OC = r; r = raio.
B
A
C
Or
r
r
Figura 83
Diâmetro
É o segmento que une dois pontos da circunferência, passando pelo centro.
AB = diâmetro = 2.r
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O diâmetro equivale a duas vezes o raio.
r rA Bo
Figura 84
Corda
É o segmento que une dois pontos quaisquer da circunferência.
CD = corda
c
o
d
Figura 85
Arco
É a parte da circunferência compreendida entre dois pontos da mesma.
Arco
o
Figura 86
Ângulo central
É todo ângulo no qual o vértice é o centro da circunferência.
Arco menor de AB é a região dos pontos A, B e de todos os pontos do plano que estão no interior 
do ângulo AÔ B.
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A
o
B
Figura 87
Semicircunferência
É a metade da circunferência. Semicircunferência AB é a reunião dos conjuntos dos pontos A, 
B e de todos os pontos do plano que estão num mesmo semiplano dos determinados pela reta AB
� ��
.
A
o
B
Figura 88
5.3.3 Posições relativas da reta e na circunferência
A seguir, estudaremos as posições relativas da reta e na circunferência, que podem ser: exteriores, 
tangentes ou secantes.
Exteriores
São aquelas retas que não se cortam.
r
o
Figura 89
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Tangentes
Uma reta tangente a uma circunferência é aquela que intercepta a circunferência num único 
ponto.
r
o P
Figura 90
Secantes
Uma reta secante a uma circunferência é aquela que intercepta a circunferência em dois pontos 
distintos. Na figura a seguir, a reta r é secante.
r
o
B
A
Figura 91
5.4 Posições relativas de duas circunferências
A seguir, estudaremos as posições relativas de duas circunferências, que podem ser: exteriores, 
interiores, tangentes exteriores, tangentes interiores ou secantes.
Exteriores
São circunferências que não se cruzam em nenhum ponto.
o o’
Figura 92
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Interiores
Não se cruzam em nenhum ponto.
o o’
Figura 93
Tangentes exteriores
São circunferências que se cortam num ponto (P).
o o’P
Figura 94
Tangentes interiores
Cortam-se num ponto único (B).
o o’ B
Figura 95
 
Secantes
Cruzam-se em dois pontos, A e B.
o o’
B
A
Figura 96
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5.5 Potência 
Considerando o ponto P e uma circunferência C de centro C, traçamos retas secantes a C que 
passam por P. Essas retas definem em C os pontos A, B, D, E, F e G. Chama-se potência do ponto P 
sobre a circunferência C e denota-se Potpc ao produto Potpc = PA . PB = PD . PE = PF . PG. A potência é 
um caso de proporcionalidade inversa.
A
FP
C
E
B
G
D
Pot Pc = PA . PB = PD . PE = PF . PG 
Figura 97
5.6 Ângulos em uma circunferência
A seguir, apresentamos de forma resumida os teoremas envolvendo ângulos e circunferências.
A B
C
O
β
α
 
Ângulo inscrito numa 
circunferência obedece à 
relação:
α = 2β
Figura 98
A B
C
O
D Ângulo inscrito numa 
semicircunferência é reto (90°).
ACB = 90º
ADB = 90º
Figura 99
A
B
C D
α β
Igualdade de ângulos 
inscritos:
α = β
ACB = ADB
Figura 100
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A
B
C
D
α β δ P
Relação entre ângulos:
δ α β= −
2
Figura 101
A
B
C
D
α β
δ
ν
Todo quadrilátero inscrito 
numa circunferência obedece 
à relação:
α + γ = 180
β + δ = 180
Figura 102
δ
2δ
α β
Relação de ângulo exterior 
a uma circunferência:
α + β = δ
Figura 103
A
B
C
Oα
D
Ângulo interior:
α = +AB CD
 
2
Figura 104
A B
O
α
Ângulo central:
α = AB
Figura 105
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A
B
α
CD
Ângulo semi-inscrito:
α = ângulo semi-inscrito
Figura 106
A
Cα
B
Ângulo ex-inscrito:
α = ângulo ex-inscrito
Figura 107
6 ÁREAS E PERÍMETROS DE FIGURAS PLANAS
6.1 Áreas e perímetros
As figuras planas podem ser analisadas de forma mais elaborada quando temos condições de 
mensurá-las. Para isso, elaboramos um breve resumo que ajudará o aluno no cálculo de áreas e perímetros 
dessas figuras. Tenha claro que perímetro é a soma das medidas de todos os lados, e a área é o número 
que expressa a medida da superfície dessa figura numa certa unidade. As fórmulas permitem efetuar 
com maior facilidade e rapidez esses cálculos. 
 Lembrete
Perímetro é a medida do comprimento de um contorno, e área é a 
medida de uma superfície.
Triângulo qualquer
Perímetro do triângulo: soma dos três lados do triângulo.
P = a + b + c
Área de triângulo: em função dos lados e respectivas alturas.
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A
base altura b h a h c hb a c= = = =. . . .
2 2 2 2
Área do triângulo em função dos lados:
Seja p
a b c= + +
2
, logo, a área do triângulo é:
A p p a p b p c= ⋅ −( )⋅ −( )⋅ −( )
C
a
b
c
h
B
A
Figura 108
Triângulo equilátero
Perímetro do triângulo equilátero: soma dos três lados iguais do triângulo.
P = a + b + c = a + a + a = 3 . a
Área de triângulo:
A
base altura a h a a a= = = ⋅ =. .
2 2 2
3
2
3
4
2
a
aA B
C
h
a
Figura 109
Triângulo retângulo
Perímetro do triângulo retângulo: soma dos catetos e da hipotenusa do triângulo retângulo.
P = a + b + c
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Área de triângulo:
A
base altura a b= =. .
2 2
a
A
B
C b
c
Figura 110
Quadrado(quatro lados iguais)
AB = BC = CD = DA = a
Perímetro do quadrado: soma dos quatro lados iguais do quadrado:
P = a + a + a + a = 4 . a
Área do quadrado:
A = base . altura = a . a = a2
a
D C
A B
a
a
a
Figura 111
Retângulo
Perímetro do retângulo:
P = a + b + a + b = 2 . (a + b)
Área:
A = base . altura = b . a
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a
DC
A B
b
b
a
Figura 112
Losango
Perímetro: soma dos quatro lados do losango. Como temos quatro lados iguais: 
AB = BC = CD = DA = a.
Perímetro: P = 4 . a
Área do losango:
A
d d= ⋅1 2
2
D
A
B
C
a a
a a
d1
d2
Figura 113
Paralelogramo
Lados e ângulos iguais e paralelos dois a dois:
P = AB + BC + CD + DA
Área:
A = b . h
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BA
D C
b
h
Figura 114
Polígono regular
Sendo:
n = número de lados
a = medida do apótema
l = medida do lado
p = semiperímetro
Seja um polígono regular de n lados, de medidas iguais a l e de apótema de medida a.
Perímetro = n . l
Área:
A
P a
p a= ⋅ = ⋅
2
Hexágono
A a= ⋅3 3
2
2
Perímetro: P = 6 . l
B
A E
C
d
a
a
r
α
O
D
Figura 115
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Áreas e perímetros de quadriláteros não paralelogramos
Trapézio
Perímetro: soma de todos os lados do trapézio:
P= AB + BC + CD + DA
Área do trapézio:
A
b b h
=
+( )⋅1 2
2
b1
b2D
A B
C
h
Figura 116
Áreas e perímetros da circunferência
As distâncias: 
OA = OB = OC = r; r = raio
Perímetro da circunferência:
P = 2 . π . r
Área da circunferência: 
A = π . r2
B
C
A
Or
r
r
Figura 117
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Geometria Plana
 Saiba mais
Todo quadrado é também um losango, mas nem todo losango vem a ser 
um quadrado, do mesmo modo que todo quadrado é um retângulo, mas 
nem todo retângulo é um quadrado. O quadrado é um losango, que além 
de possuir quatro lados iguais, com diagonais perpendiculares, ainda possui 
todos os seus ângulos internos iguais a 90°. Por ser o quadrado um losango 
e por ser o losango um paralelogramo, podemos utilizar, para o cálculo da 
área do quadrado, as mesmas fórmulas utilizadas para o cálculo da área 
tanto do losango quanto do paralelogramo.
Visite o site a seguir e estude um pouco mais sobre área e perímetro de 
retângulos: <http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/5385>. 
Acesso em: 06 ago. 2012.
 Observação
Cuidado com as possíveis interpretações de áreas e perímetros de 
figuras geométricas planas, pois são cálculos extremamente distintos, que 
representam propriedades diferentes.
 Resumo
Na geometria, as formas mais conhecidas são: triângulo, quadrado, 
retângulo, paralelogramo, losango, trapézio e círculo. Nesta unidade, 
estudamos os quadriláteros, os polígonos, as circunferências e o círculo. 
Todas essas formas possuem fórmulas matemáticas para o cálculo da 
medida de suas superfícies. 
A utilização de conhecimentos geométricos para leitura, 
compreensão e ação sobre a realidade tem longa tradição 
na história da humanidade. É inegável a importância de 
saber caracterizar as diferentes formas geométricas e 
espaciais presentes na natureza ou imaginadas, através 
de seus elementos e propriedades, bem como de poder 
representá-las por meio de desenho geométrico (FUVEST, 
2003). 
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Unidade II
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Finalizamos esta unidade nos dedicando às áreas e perímetros de 
figuras planas. O cálculo de área de figuras planas corresponde a uma 
parte importante na geometria, principalmente por ser útil na descrição, 
representação e previsão quando se modela um problema real.
 Exercícios
Questão 1. (prova de Matemática, Enade 2005). 
Figura 118
Considere o retângulo Q0, ilustrado acima e a partir dele, construa a sequência de quadriláteros 
Q1, Q2, Q3, ..., de tal modo que, para i > 1, os vértices de Qi são os pontos médios dos lados de Qi-1. 
Representando por a (Qi ) a área do quadrilátero Q i , julgue os itens que se seguem.
I. A subsequência de quadriláteros Q1, Q3, Q5, ... correspondente aos índices ímpares, é formada 
somente por paralelogramos.
II. O quadrilátero Q6 é um retângulo.
III. Para i
a Q
a Q
i
i
≥ =
−
1
1
21
,
( )
( )
Assinale a opção correta. 
A) Apenas um item está certo.
B) Apenas os itens I e II estão certos.
C) Apenas os itens I e III estão certos.
D) Apenas os itens II e III estão certos.
E) Todos os itens estão certos.
Resposta correta: alternativa E.
Análise das afirmativas:
I e II – Afirmativas corretas.
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Geometria Plana
Justificativa: construindo imagens de acordo com as regras do enunciado da questão, temos a figura 
a seguir:
Q0
Q1
Q2 Q3
Figura 119 - Representação dos paralelogramos
De acordo com a figura 2, Q0, Q2, Q4, Q6,... são paralelogramos retângulos e Q1, Q3, Q5, Q7,... são 
paralelogramos não retângulos. Todas as figuras são paralelogramos.
III – Afirmativa correta.
Justificativa: construindo um modelo para os dois primeiros paralelogramos Q0 e Q1, verificamos 
que a área de Q1 é igual à área de Q0 subtraída de quatro triângulos retângulos congruentes 
formados entre as figuras Q0 e Q1. Assim, para o retângulo Q0, com lados 2 e 4, a área é a(Q0)=8. 
A área de cada triângulo é S = =1 2
2
1
.
. Como há quatro triângulos congruentes, a área de Q1 é 
a(Q1)=8-4.1=4. Ou seja, 
a Q
a Q
( )
( )
1
0
4
8
1
2
= = . Isso também é válido para as outras situações genéricas 
escritas como 
a Q
a Q
i
i
( )
( )−1
.
Questão 2. (prova de Matemática, Enade 2005) Uma das fontes da história da matemática egípcia é 
o papiro Rhind, ou papiro Ahmes (1650 a.C.). Constam desse documento os problemas a seguir.
Problema 1: Comparar a área de um círculo com a área de um quadrado a ele circunscrito. A seguinte 
figura faz parte da resolução desse problema.
Figura 120
Problema 2: Exemplo de um corpo redondo de diâmetro 9. Qual é a área?
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A solução apresentada pelo escriba pode ser descrita como: 
• remover 1/9 do diâmetro; o restante é 8;
• multiplicar 8 por 8; perfaz 64. Portanto, a área é 64.
O procedimento do escriba permite calcular a área A de um círculo de diâmetro d aplicando a 
fórmula A d= 



8
9
2
.
Com base nessas informações, julgue os itens a seguir.
I. A figura do problema 1 sugere aproximar a área de um círculo à área de um octógono.
II. O procedimento, no problema 2, fornece uma aproximação para π, por excesso, correta até a 2a 
casa decimal.
III. De acordo com o procedimento, no problema 2, a área do círculo de diâmetro d é igual à de um 
quadrado de lado 
8
9
d .
Assinale a opção correta.
A) Apenas um item está certo.
B) Apenas os itens I e II estão certos.
C) Apenas os itens I e III estão certos.
D) Apenas os itens II e III estão certos.
E) Todos os itens estão certos.
Resolução desta questão na plataforma.