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41 Re vi sã o: C ris tin a - Di ag ra m aç ão : F ab io - 3 0/ 08 /2 01 2 Geometria Plana Unidade II 5 GEOMETRIA PLANA 5.1 Quadriláteros Imagine uma televisão de tela plana ou uma grande tela de cinema. Esses são alguns exemplos de quadriláteros em nosso dia a dia. Por definição, um quadrilátero é um polígono de quatro lados. É importante que sejam definidos claramente alguns elementos importantes em um quadrilátero. Observe a figura a seguir: A D C B Vértice LadoDiagonal Ângulo Figura 63 AB, BC, CD e DA: lados do quadrilátero; A, B, C e D: vértices do quadrilátero;  , B̂ , Ĉ e D̂: : ângulos internos do quadrilátero; AC e DB: diagonais do quadrilátero. Uma diagonal é o segmento que une os vértices opostos, ou seja, não consecutivos. Com essas informações, seria possível identificar tais elementos no quadrilátero a seguir? Vamos tentar? Figura 64 42 Unidade II Re vi sã o: C ris tin a - Di ag ra m aç ão : F ab io - 3 0/ 08 /2 01 2 A soma dos ângulos internos de todo e qualquer quadrilátero será sempre 360°. Isso pode ser comprovado facilmente, pois um quadrilátero equivale a dois triângulos. No quadrilátero ABCD a seguir, observe que a diagonal (linha verde) divide o quadrilátero em dois. Como sabemos, a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º; logo, a soma dos ângulos internos do quadrilátero sempre será 360º. Não se esqueça de que também é possível verificar a soma dos ângulos internos com a equação a seguir: Si = (n - 2)180 (em que “n” representa o número de lados) Portanto, para o quadrilátero, temos n = 4: Si = (4 - 2)180º Si = (2)180º Si = 360º Observação É importante notar que, da mesma forma, os ângulos externos também somam 360°. A C D B Figura 65 Lembrete Um quadrilátero é um polígono de quatro lados. Saiba mais O geoplano é um material criado pelo matemático inglês Calleb Gattegno. Constitui-se por uma placa de madeira, marcada com uma malha quadriculada ou pontilhada. Em cada vértice dos quadrados formados, fixa-se um prego, no qual se prenderão os elásticos, usados para “desenhar” sobre o geoplano. 43 Re vi sã o: C ris tin a - Di ag ra m aç ão : F ab io - 3 0/ 08 /2 01 2 Geometria Plana O geoplano é um dos recursos que pode auxiliar o trabalho da geometria, desenvolvendo atividades com figuras e formas geométricas, suas características e propriedades, ampliação e redução de figuras, simetria, área e perímetro. Confira o software de geoplano no link: <http://www.inf.ufsc.br/~edla/projeto/geoplano/software.htm>. Acesso em: 03 ago. 2012. 5.1.1 Classificação dos quadriláteros Existem alguns quadriláteros que possuem lados paralelos. São eles: • paralelogramos; • trapézios; • trapezoides. Vamos estudar agora cada um deles. 5.1.1.1 Paralelogramos (lados paralelos, dois a dois) Os paralelogramos são quadriláteros que têm seus lados opostos paralelos e congruentes. São quatro: quadrado, retângulo, rombo e romboide. A seguir há um resumo com as características desses paralelogramos. Leia com atenção, pois é importante que seja capaz de distingui-los entre si. Quadrado Quatro lados iguais: AB = BC = CD = DA Quatro ângulos retos: BAD = BCD = ABC = 90° A D B C Figura 66 Retângulo Lados iguais, dois a dois: AB = CD; AC = DB Quatro ângulos retos: ABD = BDC = DCA = CAB = 90° 44 Unidade II Re vi sã o: C ris tin a - Di ag ra m aç ão : F ab io - 3 0/ 08 /2 01 2 A D B C Figura 67 Losango Quatro lados iguais: AB = BC = CD = DA Lados opostos paralelos: AB || CD e AD || BC Ângulos opostos iguais: BAD = BCD; ADC = ABC A C D B Figura 68 Paralelogramo Lados e ângulos iguais, dois a dois: AB = DC; AD = BC Dois ângulos obtusos e dois agudos: BAD = BCD; ACD = ABC A D B C Figura 69 Note que, ao prolongar os lados do paralelogramo, temos: AB || CD; AD || BC α + β = 180° interiores do mesmo lado γ + δ = 180° interiores do mesmo lado α = γ; β = δ 45 Re vi sã o: C ris tin a - Di ag ra m aç ão : F ab io - 3 0/ 08 /2 01 2 Geometria Plana A D B C α β γδ Figura 70 5.1.1.2 Quadriláteros que não são paralelogramos Dentre os quadriláteros que não são paralelogramos, encontramos o trapézio, um quadrilátero que possui um par de lados paralelos que chamaremos de bases. AB || CD = bases AD; CB = lados α + δ = 180° β + γ = 180° A B CD α β γδ Figura 71 Os trapézios podem ser isósceles, retângulos e escalenos, dependendo de seus lados. Observe a seguir: Trapézio isóscele: tem seus lados congruentes AD ≅ BC. A B CD α β γδ Figura 72 Trapézio retângulo: é aquele que tem um de seus lados perpendicular às bases e, portanto, forma um ângulo reto (90°). A B CD α β γδ Figura 73 46 Unidade II Re vi sã o: C ris tin a - Di ag ra m aç ão : F ab io - 3 0/ 08 /2 01 2 Trapézio escaleno: é aquele que possui todos seus lados com medidas diferentes. A B CD α β γδ Figura 74 Quando um quadrilátero não possui nenhum lado paralelo, é denominado trapezoide. Nos trapezoides podemos encontrar quadriláteros côncavos, ou seja, com ângulos interiores maiores de 180°. Alguns exemplos de trapezoides podem ser visualizados a seguir. A B C D α β γ δ A B C D α β γ δ Figura 75 Lembrete O trapézio é um quadrilátero que não é paralelogramo. Trapézios possuem um par de lados paralelos, par este que chamaremos bases. 5.2 Polígonos regulares Observe a figura a seguir, que mostra um favo de mel, que é composto de alvéolos de base hexagonal bastante perfeitos. Com apenas 0,3mm de espessura, o alvéolo pode suportar um esforço de até trinta vezes o correspondente ao seu peso. Um alvéolo, que constitui os favos, é formado, no total, por três losangos e seis trapézios, possuindo a forma de um prisma hexagonal regular, uma verdadeira obra arquitetônica. Figura 76 47 Re vi sã o: C ris tin a - Di ag ra m aç ão : F ab io - 3 0/ 08 /2 01 2 Geometria Plana Portanto, podemos dizer que o favo de mel é composto por polígonos regulares. Mas o que é um polígono regular? É aquele que tem todos os seus lados e ângulos iguais. Hetágono regularHexágono regular Decágono regularEneágono regularOctógono regular Pentágono regular Figura 77 Saiba mais Para aprofundar seus conhecimentos sobre polígonos regulares leia o livro: Geometria dos mosaicos, de Luiz Marcio Imenes e Marcelo Lellis. Editora Scipione, 2000. 5.2.1 Propriedades dos polígonos regulares Por definição, qualquer polígono regular é inscritível em uma circunferência e circunscritível a uma circunferência. Nesse sentido, é muito importante que o aluno tenha claras as definições de inscrito e circunscrito. Observe: Circunferência circunscrita: em um polígono regular com n lados, podemos construir uma circunferência circunscrita (por fora), que passa por todos os vértices do polígono e que o contém em seu interior. Figura 78 48 Unidade II Re vi sã o: C ris tin a - Di ag ra m aç ão : F ab io - 3 0/ 08 /2 01 2 Circunferência inscrita: em um polígono regular com n lados, podemos colocar uma circunferência inscrita (por dentro), que passa tangenciando todos os lados do polígono e que está contida nele. Figura 79 O apótema de um polígono regular é o segmento com uma extremidade no centro e outra no ponto médio de um lado. A diagonal é um segmento que une dois vértices não consecutivos de um polígono. A seguir estão listadas algumas propriedades dos polígonos regulares que não poder ser esquecidas: • em qualquer polígono, a soma dos ângulos externos é sempre igual a 360º; • o centro de um polígono regular é o centro comum das circunferências inscrita e circunscrita nele; O F E A B C D Ângulo central Ângulo internoRaio Apótema M Figura 80 • chamamos ângulo cêntrico ou central de um polígono regular aquele que tem o vértice no centro e os lados que passam pelos vértices consecutivos, formando ângulos congruentes, e pode sermedido: ângulo central = 360/n, no qual n é o número de lados do polígono regular; • em um polígono regular convexo, a área é determinada se multiplicamos o semiperímetro pelo apótema; • o hexágono é o único polígono regular que tem o lado igual ao raio. Essa é uma propriedade que se verifica de forma simples, pois seus raios o dividem em seis triângulos equiláteros. 49 Re vi sã o: C ris tin a - Di ag ra m aç ão : F ab io - 3 0/ 08 /2 01 2 Geometria Plana O número de diagonais de um polígono regular é dado por: d n n = −( )3 2 A medida de cada ângulo interno de um polígono regular é dada por: α = ° −180 360 n Em que: a = apótema; n = número de lados. A B C D E O d a a α r Figura 81 É possível decompormos um polígono de n lados em n triângulos iguais. Nesse caso, a altura correspondente a esses triângulos equivale ao apótema do polígono. Lembrete Um polígono regular é aquele que tem todos os lados e ângulos iguais. 5.3 A circunferência e o círculo Quando observamos uma moeda, a circunferência é a borda, e o interior chama-se círculo. Circunferência Círculo Raio Figura 82 50 Unidade II Re vi sã o: C ris tin a - Di ag ra m aç ão : F ab io - 3 0/ 08 /2 01 2 É importante notar que os pontos da circunferência e os pontos que se encontram no interior dela formam uma superfície a que chamaremos de círculo. A circunferência é importante em praticamente todas as áreas do conhecimento, sendo também muito utilizada na indústria. Observação A circunferência possui características não comumente encontradas em outras figuras planas, como o fato de ser a única que pode ser rodada em torno de um ponto sem modificar sua posição aparente. 5.3.1 Definição de circunferência Circunferência é o lugar geométrico de todos os pontos de um plano que estão a uma dada distância (chamada raio) de um determinado ponto (chamado centro). Um conceito correlato e próximo, porém distinto, é o de círculo. A circunferência é o contorno do círculo. A seguir, entre os itens 5.3.2 e 5.4, são apresentados alguns conceitos e as principais propriedades relativas à circunferência. 5.3.2 Elementos da circunferência Raio As distâncias: OA = OB = OC = r; r = raio. B A C Or r r Figura 83 Diâmetro É o segmento que une dois pontos da circunferência, passando pelo centro. AB = diâmetro = 2.r 51 Re vi sã o: C ris tin a - Di ag ra m aç ão : F ab io - 3 0/ 08 /2 01 2 Geometria Plana O diâmetro equivale a duas vezes o raio. r rA Bo Figura 84 Corda É o segmento que une dois pontos quaisquer da circunferência. CD = corda c o d Figura 85 Arco É a parte da circunferência compreendida entre dois pontos da mesma. Arco o Figura 86 Ângulo central É todo ângulo no qual o vértice é o centro da circunferência. Arco menor de AB é a região dos pontos A, B e de todos os pontos do plano que estão no interior do ângulo AÔ B. 52 Unidade II Re vi sã o: C ris tin a - Di ag ra m aç ão : F ab io - 3 0/ 08 /2 01 2 A o B Figura 87 Semicircunferência É a metade da circunferência. Semicircunferência AB é a reunião dos conjuntos dos pontos A, B e de todos os pontos do plano que estão num mesmo semiplano dos determinados pela reta AB � �� . A o B Figura 88 5.3.3 Posições relativas da reta e na circunferência A seguir, estudaremos as posições relativas da reta e na circunferência, que podem ser: exteriores, tangentes ou secantes. Exteriores São aquelas retas que não se cortam. r o Figura 89 53 Re vi sã o: C ris tin a - Di ag ra m aç ão : F ab io - 3 0/ 08 /2 01 2 Geometria Plana Tangentes Uma reta tangente a uma circunferência é aquela que intercepta a circunferência num único ponto. r o P Figura 90 Secantes Uma reta secante a uma circunferência é aquela que intercepta a circunferência em dois pontos distintos. Na figura a seguir, a reta r é secante. r o B A Figura 91 5.4 Posições relativas de duas circunferências A seguir, estudaremos as posições relativas de duas circunferências, que podem ser: exteriores, interiores, tangentes exteriores, tangentes interiores ou secantes. Exteriores São circunferências que não se cruzam em nenhum ponto. o o’ Figura 92 54 Unidade II Re vi sã o: C ris tin a - Di ag ra m aç ão : F ab io - 3 0/ 08 /2 01 2 Interiores Não se cruzam em nenhum ponto. o o’ Figura 93 Tangentes exteriores São circunferências que se cortam num ponto (P). o o’P Figura 94 Tangentes interiores Cortam-se num ponto único (B). o o’ B Figura 95 Secantes Cruzam-se em dois pontos, A e B. o o’ B A Figura 96 55 Re vi sã o: C ris tin a - Di ag ra m aç ão : F ab io - 3 0/ 08 /2 01 2 Geometria Plana 5.5 Potência Considerando o ponto P e uma circunferência C de centro C, traçamos retas secantes a C que passam por P. Essas retas definem em C os pontos A, B, D, E, F e G. Chama-se potência do ponto P sobre a circunferência C e denota-se Potpc ao produto Potpc = PA . PB = PD . PE = PF . PG. A potência é um caso de proporcionalidade inversa. A FP C E B G D Pot Pc = PA . PB = PD . PE = PF . PG Figura 97 5.6 Ângulos em uma circunferência A seguir, apresentamos de forma resumida os teoremas envolvendo ângulos e circunferências. A B C O β α Ângulo inscrito numa circunferência obedece à relação: α = 2β Figura 98 A B C O D Ângulo inscrito numa semicircunferência é reto (90°). ACB = 90º ADB = 90º Figura 99 A B C D α β Igualdade de ângulos inscritos: α = β ACB = ADB Figura 100 56 Unidade II Re vi sã o: C ris tin a - Di ag ra m aç ão : F ab io - 3 0/ 08 /2 01 2 A B C D α β δ P Relação entre ângulos: δ α β= − 2 Figura 101 A B C D α β δ ν Todo quadrilátero inscrito numa circunferência obedece à relação: α + γ = 180 β + δ = 180 Figura 102 δ 2δ α β Relação de ângulo exterior a uma circunferência: α + β = δ Figura 103 A B C Oα D Ângulo interior: α = +AB CD 2 Figura 104 A B O α Ângulo central: α = AB Figura 105 57 Re vi sã o: C ris tin a - Di ag ra m aç ão : F ab io - 3 0/ 08 /2 01 2 Geometria Plana A B α CD Ângulo semi-inscrito: α = ângulo semi-inscrito Figura 106 A Cα B Ângulo ex-inscrito: α = ângulo ex-inscrito Figura 107 6 ÁREAS E PERÍMETROS DE FIGURAS PLANAS 6.1 Áreas e perímetros As figuras planas podem ser analisadas de forma mais elaborada quando temos condições de mensurá-las. Para isso, elaboramos um breve resumo que ajudará o aluno no cálculo de áreas e perímetros dessas figuras. Tenha claro que perímetro é a soma das medidas de todos os lados, e a área é o número que expressa a medida da superfície dessa figura numa certa unidade. As fórmulas permitem efetuar com maior facilidade e rapidez esses cálculos. Lembrete Perímetro é a medida do comprimento de um contorno, e área é a medida de uma superfície. Triângulo qualquer Perímetro do triângulo: soma dos três lados do triângulo. P = a + b + c Área de triângulo: em função dos lados e respectivas alturas. 58 Unidade II Re vi sã o: C ris tin a - Di ag ra m aç ão : F ab io - 3 0/ 08 /2 01 2 A base altura b h a h c hb a c= = = =. . . . 2 2 2 2 Área do triângulo em função dos lados: Seja p a b c= + + 2 , logo, a área do triângulo é: A p p a p b p c= ⋅ −( )⋅ −( )⋅ −( ) C a b c h B A Figura 108 Triângulo equilátero Perímetro do triângulo equilátero: soma dos três lados iguais do triângulo. P = a + b + c = a + a + a = 3 . a Área de triângulo: A base altura a h a a a= = = ⋅ =. . 2 2 2 3 2 3 4 2 a aA B C h a Figura 109 Triângulo retângulo Perímetro do triângulo retângulo: soma dos catetos e da hipotenusa do triângulo retângulo. P = a + b + c 59 Re vi sã o: C ris tin a - Di ag ra m aç ão : F ab io - 3 0/ 08 /2 01 2 Geometria Plana Área de triângulo: A base altura a b= =. . 2 2 a A B C b c Figura 110 Quadrado(quatro lados iguais) AB = BC = CD = DA = a Perímetro do quadrado: soma dos quatro lados iguais do quadrado: P = a + a + a + a = 4 . a Área do quadrado: A = base . altura = a . a = a2 a D C A B a a a Figura 111 Retângulo Perímetro do retângulo: P = a + b + a + b = 2 . (a + b) Área: A = base . altura = b . a 60 Unidade II Re vi sã o: C ris tin a - Di ag ra m aç ão : F ab io - 3 0/ 08 /2 01 2 a DC A B b b a Figura 112 Losango Perímetro: soma dos quatro lados do losango. Como temos quatro lados iguais: AB = BC = CD = DA = a. Perímetro: P = 4 . a Área do losango: A d d= ⋅1 2 2 D A B C a a a a d1 d2 Figura 113 Paralelogramo Lados e ângulos iguais e paralelos dois a dois: P = AB + BC + CD + DA Área: A = b . h 61 Re vi sã o: C ris tin a - Di ag ra m aç ão : F ab io - 3 0/ 08 /2 01 2 Geometria Plana BA D C b h Figura 114 Polígono regular Sendo: n = número de lados a = medida do apótema l = medida do lado p = semiperímetro Seja um polígono regular de n lados, de medidas iguais a l e de apótema de medida a. Perímetro = n . l Área: A P a p a= ⋅ = ⋅ 2 Hexágono A a= ⋅3 3 2 2 Perímetro: P = 6 . l B A E C d a a r α O D Figura 115 62 Unidade II Re vi sã o: C ris tin a - Di ag ra m aç ão : F ab io - 3 0/ 08 /2 01 2 Áreas e perímetros de quadriláteros não paralelogramos Trapézio Perímetro: soma de todos os lados do trapézio: P= AB + BC + CD + DA Área do trapézio: A b b h = +( )⋅1 2 2 b1 b2D A B C h Figura 116 Áreas e perímetros da circunferência As distâncias: OA = OB = OC = r; r = raio Perímetro da circunferência: P = 2 . π . r Área da circunferência: A = π . r2 B C A Or r r Figura 117 63 Re vi sã o: C ris tin a - Di ag ra m aç ão : F ab io - 3 0/ 08 /2 01 2 Geometria Plana Saiba mais Todo quadrado é também um losango, mas nem todo losango vem a ser um quadrado, do mesmo modo que todo quadrado é um retângulo, mas nem todo retângulo é um quadrado. O quadrado é um losango, que além de possuir quatro lados iguais, com diagonais perpendiculares, ainda possui todos os seus ângulos internos iguais a 90°. Por ser o quadrado um losango e por ser o losango um paralelogramo, podemos utilizar, para o cálculo da área do quadrado, as mesmas fórmulas utilizadas para o cálculo da área tanto do losango quanto do paralelogramo. Visite o site a seguir e estude um pouco mais sobre área e perímetro de retângulos: <http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/5385>. Acesso em: 06 ago. 2012. Observação Cuidado com as possíveis interpretações de áreas e perímetros de figuras geométricas planas, pois são cálculos extremamente distintos, que representam propriedades diferentes. Resumo Na geometria, as formas mais conhecidas são: triângulo, quadrado, retângulo, paralelogramo, losango, trapézio e círculo. Nesta unidade, estudamos os quadriláteros, os polígonos, as circunferências e o círculo. Todas essas formas possuem fórmulas matemáticas para o cálculo da medida de suas superfícies. A utilização de conhecimentos geométricos para leitura, compreensão e ação sobre a realidade tem longa tradição na história da humanidade. É inegável a importância de saber caracterizar as diferentes formas geométricas e espaciais presentes na natureza ou imaginadas, através de seus elementos e propriedades, bem como de poder representá-las por meio de desenho geométrico (FUVEST, 2003). 64 Unidade II Re vi sã o: C ris tin a - Di ag ra m aç ão : F ab io - 3 0/ 08 /2 01 2 Finalizamos esta unidade nos dedicando às áreas e perímetros de figuras planas. O cálculo de área de figuras planas corresponde a uma parte importante na geometria, principalmente por ser útil na descrição, representação e previsão quando se modela um problema real. Exercícios Questão 1. (prova de Matemática, Enade 2005). Figura 118 Considere o retângulo Q0, ilustrado acima e a partir dele, construa a sequência de quadriláteros Q1, Q2, Q3, ..., de tal modo que, para i > 1, os vértices de Qi são os pontos médios dos lados de Qi-1. Representando por a (Qi ) a área do quadrilátero Q i , julgue os itens que se seguem. I. A subsequência de quadriláteros Q1, Q3, Q5, ... correspondente aos índices ímpares, é formada somente por paralelogramos. II. O quadrilátero Q6 é um retângulo. III. Para i a Q a Q i i ≥ = − 1 1 21 , ( ) ( ) Assinale a opção correta. A) Apenas um item está certo. B) Apenas os itens I e II estão certos. C) Apenas os itens I e III estão certos. D) Apenas os itens II e III estão certos. E) Todos os itens estão certos. Resposta correta: alternativa E. Análise das afirmativas: I e II – Afirmativas corretas. 65 Re vi sã o: C ris tin a - Di ag ra m aç ão : F ab io - 3 0/ 08 /2 01 2 Geometria Plana Justificativa: construindo imagens de acordo com as regras do enunciado da questão, temos a figura a seguir: Q0 Q1 Q2 Q3 Figura 119 - Representação dos paralelogramos De acordo com a figura 2, Q0, Q2, Q4, Q6,... são paralelogramos retângulos e Q1, Q3, Q5, Q7,... são paralelogramos não retângulos. Todas as figuras são paralelogramos. III – Afirmativa correta. Justificativa: construindo um modelo para os dois primeiros paralelogramos Q0 e Q1, verificamos que a área de Q1 é igual à área de Q0 subtraída de quatro triângulos retângulos congruentes formados entre as figuras Q0 e Q1. Assim, para o retângulo Q0, com lados 2 e 4, a área é a(Q0)=8. A área de cada triângulo é S = =1 2 2 1 . . Como há quatro triângulos congruentes, a área de Q1 é a(Q1)=8-4.1=4. Ou seja, a Q a Q ( ) ( ) 1 0 4 8 1 2 = = . Isso também é válido para as outras situações genéricas escritas como a Q a Q i i ( ) ( )−1 . Questão 2. (prova de Matemática, Enade 2005) Uma das fontes da história da matemática egípcia é o papiro Rhind, ou papiro Ahmes (1650 a.C.). Constam desse documento os problemas a seguir. Problema 1: Comparar a área de um círculo com a área de um quadrado a ele circunscrito. A seguinte figura faz parte da resolução desse problema. Figura 120 Problema 2: Exemplo de um corpo redondo de diâmetro 9. Qual é a área? 66 Unidade II Re vi sã o: C ris tin a - Di ag ra m aç ão : F ab io - 3 0/ 08 /2 01 2 A solução apresentada pelo escriba pode ser descrita como: • remover 1/9 do diâmetro; o restante é 8; • multiplicar 8 por 8; perfaz 64. Portanto, a área é 64. O procedimento do escriba permite calcular a área A de um círculo de diâmetro d aplicando a fórmula A d= 8 9 2 . Com base nessas informações, julgue os itens a seguir. I. A figura do problema 1 sugere aproximar a área de um círculo à área de um octógono. II. O procedimento, no problema 2, fornece uma aproximação para π, por excesso, correta até a 2a casa decimal. III. De acordo com o procedimento, no problema 2, a área do círculo de diâmetro d é igual à de um quadrado de lado 8 9 d . Assinale a opção correta. A) Apenas um item está certo. B) Apenas os itens I e II estão certos. C) Apenas os itens I e III estão certos. D) Apenas os itens II e III estão certos. E) Todos os itens estão certos. Resolução desta questão na plataforma.