Coordenadas polares| Resumo Exercícios com gabarito

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Coordenadas polares
Relação entre as coordenadas polares e cartesianas
{
x = rcosθ
y = rsenθ
{
r2 = x2 + y2
tgθ = y/x
O gráfico de uma equação polar r = f(θ) ou F (r, θ) consiste em todos
os pontos P que têm pelo menos uma representação (r, θ) cujas coordenadas
satisfaçam a equação.
Simetria
1. Se uma equação polar não mudar quando θ for trocado por −θ, a curva
será simétrica em relação ao eixo polar.
2. Se uma equação polar não mudar quando r for trocado por −r ou quando θ
for trocado por θ+π, a curva será simétrica em relação ao polo (permanece
mesma se a giramos 180o em torno a origem).
3. Se uma equação polar não mudar quando θ for trocado por π− θ, a curva
será simétrica em relação à reta vertical θ = π/2.
1
Tangentes a curvas polares
r = f(θ) :
{
x = rcosθ = f(θ)cosθ
y = rsenθ = f(θ)senθ
Inclinação:
dy
dx
=
dy/dt
dx/dt
=
dr
dθ
senθ + rcosθ
dr
dθ
cosθ − rsenθ
Tangentes horizontais:
dy
dθ
= 0
(
dx
dθ
6= 0
)
Tangentes verticais:
dx
dθ
= 0
(
dy
dθ
6= 0
)
Lista de exerćıcios
1. Marque os pontos cujas coordenadas polares são dadas. A seguir, encontre
dois outros pares de coordenadas polares desse ponto, um com r > 0 e o
outro com r < 0.
(a) A =
(
1;
7π
4
)
(b) B =
(
−3; π
6
)
(c) C = (1;−π)
2. Marque os pontos dados. A seguir, encontre suas coordenadas cartesianas.
(a) A =
(
−
√
2;
5π
4
)
(b) B =
(
1;
5π
2
)
(c) C =
(
2;−7π
6
)
3. As coordenadas cartesianas são dadas. Encontre as coordenadas polares
com 0 ≤ θ ≤ 2π, r > 0 e r < 0.
(a) A = (3
√
3; 3)
(b) B = (1;−2)
2
4. Esboce a região no plano:
(a) 0 ≤ r < 2, π ≤ θ ≤ 3π
2
(b) 1 ≤ r ≤ 3, π
6
< θ <
5π
6
5. Encontre a distância entre os pontos com coordenadas polares
(
2;
π
3
)
e(
4;
2π
3
)
.
6. Encontre a equação cartesiana para a seguinte curva:
(a) rcosθ = 1
(b) θ =
π
3
7. Encontre uma equação polar para a seguinte curva:
(a) 4y2 = x
(b) xy = 4
8. Esboce uma curva com a equação polar dada:
(a) r2 = cos4θ
(b) r2θ = 1
(c) r = 3 + 4cosθ
9. Calcule a inclinação da reta tangente para a curva polar dada no ponto
especificado pelo valor de θ:
r = 1 + 2cosθ, θ =
π
3
10. Encontre os pontos na curva dada onde a reta tangente é horizontal ou
vertical.
r = 1− senθ
11. Trace as curvas:
(a) r = |tgθ||cotgθ|
(b) r = sen2(4θ) + cos(4θ)
3
Gabarito
1. (a) A =
(
1;−π
4
)
=
(
−1; 3π
4
)
(b) B =
(
3;
7π
6
)
=
(
−3;−11π
6
)
(c) C = (1;π) = (−1; 0)
2. (a) A = (1; 1)
(b) B = (0; 1)
(c) C = (−
√
3; 1)
3. (a) A =
(
6;
π
6
)
=
(
−6; 5π
6
)
(b) B =
(√
5; 2π − tg−12
)
=
(
−
√
5;π − tg−12
)
4
4. (a)
(b)
5. 2
√
7
6. (a) x = 1
(b) y =
√
3x
7. (a) r =
1− cos2θ
4cosθ
(b) r2 =
2
sen2θ
5
8. (a)
(b)
(c)
6
9.
√
3
9
10.
Tangentes horizontais em
(
2;−π
2
+ 2πn
)(
1
2
;
π
6
+ 2πn
)
(
1
2
;
5π
6
+ 2πn
)
Tangentes verticais em
(
3
2
;−π
6
+ 2πn
)
(
3
2
;−5π
6
+ 2πn
)
n ∈ Z
11. (a)
(b)
7