Equação elementar

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Equação elementar
Na matemática que estudamos no ensino fundamental e médio, as equações aparecem como parte importante do conhecimento. Na prática, as equações elementares são divididas em equação do 1º grau e equação do 2º grau. A diferença entre as duas fica no número de incógnitas presentes nos cálculos e a complexidade de resolução.
Na equação do primeiro grau, é preciso que o estudante tenha a capacidade de interpretar um problema que vem acompanhado por símbolos. Podemos dizer que toda equação é uma consequência da interpretação do problema apresentado, também conhecido como situação-problema.
Para resolver qualquer equação é preciso empregar o princípio da igualdade ou da equivalência entre duas expressões numéricas. No caso das equações elementares de primeiro grau e de segundo grau, existe uma lógica estrutural, com fórmulas e regras bem definidas.
As equações apresentam símbolos conhecidos como variáveis ou incógnitas, que representam valores numéricos não conhecidos. Normalmente, as variáveis aparecem como letras, do tipo x e y. Toda equação também tem um sinal de igualdade (=).
Equação de Primeiro Grau
A equação de primeiro grau tem uma potência da incógnita de grau um. Ela pode ser representada da seguinte forma: ax + b = 0, sendo que para encontrar o valor da incógnita, é necessário isolar o X. Veja:
ax + b = 0
ax = – b
x = -b / a
Equação de Segundo Grau
A equação de segundo grau é mais complexa, e tem potência da incógnita de grau dois. Ela pode ser representada da seguinte forma: ax2 + bx + c = 0.
Para resolver a equação de segundo grau, que pode ter até duas raízes reais, utilizamos a famosa Fórmula de Bhaskara. Veja:
Os sistemas de equações nada mais são do que estratégias que nos permitem resolver problemas e situações que envolvem mais de uma variável e pelo menos duas equações. Se as equações presentes no sistema envolverem apenas a adição e a subtração das incógnitas, dizemos que se trata de um sistema de equações do 1° grau. Podemos resolver esse sistema de duas formas, através da representação gráfica ou algebricamente. Na forma algébrica, dispomos de duas alternativas, o método da adição ou da substituição.
No caso de uma multiplicação entre as incógnitas ou, simplesmente, de uma delas aparecer como uma potência de expoente 2, dizemos que o sistema envolve também equações de 2° grau. Para resolver um sistema desse tipo, as estratégias são as mesmas citadas anteriormente, mas podem haver mais soluções nesse caso.
Vejamos alguns exemplos de resolução de sistemas de equações do 1° e do 2° grau:
1° Exemplo: 
Observe que, nesse exemplo, a equação x·y = 15 fornece um produto entre as incógnitas x e y, portanto, essa é uma equação do 2° grau. Para resolvê-la, vamos utilizar o método da substituição. Na segunda equação, isolaremos x:
2x – 4y = – 14
2x = 4y – 14
x = 4y – 14
     2
x = 2y – 7
Agora substituiremos x = 2y – 7 na primeira equação:
x·y = 15
(2y – 7)·y = 15
2y² – 7y – 15 = 0
Para encontrar os possíveis valores de y, utilizaremos a fórmula de Bhaskara:
Δ = b² – 4.a.c
Δ = (– 7)² – 4.2.(– 15)
Δ = 49 + 120
Δ = 169
y = – b ± √Δ​
      2.a
y = – (– 7) ± √169
       2.2
y = 7 ± 13
     4
	y1 = 7 + 13
       4
y1 = 20
       4
y1 = 5
	y2 = 7 – 13
      4
y2 = – 6
       4
y2 = – 3
        2
Agora podemos substituir os valores encontrados para y em x·y = 15 com o objetivo de determinar os valores de x:
	x1 · y1 = 15
x1 · 5 = 15
x1 = 15
       5
x1 = 3
	x2 · y2 = 15
x2 · (– 3) = 15
2 
x2 = 15 . (– 2)
              3
x2 = – 10
Podemos afirmar que a equação possui duas soluções do tipo (x, y), são elas: (3, 5) e (– 10, – 3/2).
2° Exemplo: 
Para resolver esse sistema, utilizaremos o método da adição. Para tanto, vamos multiplicar a primeira equação por – 2. Nosso sistema ficará da seguinte forma:
(– 2x² + 2x²) + (– 4y² – 3y²) = (– 178 + 150)
0x² – 7y² = – 28
7y² = 28
y² = 28
       7
y = ±√4
y1 = + 2
y2 = – 2
Agora nós podemos substituir os valores encontrados para y na primeira equação com o objetivo de obter os valores de x:
	x² + 2y1² = 89
x² + 2.(2)² = 89
x² + 8 = 89
x² = 81
x = ±√81
x1 = + 9
x2 = – 9
	x² + 2y2² = 89
x² + 2.(– 2)² = 89
x² + 8 = 89
x² = 81
x = ±√81
x3 = + 9
​x4 = – 9
Podemos afirmar que a equação possui quatro soluções: (9, 2), (– 9, 2), ( 9, – 2) e (– 9, – 2).
3° Exemplo: 
Na resolução desse sistema de equações, utilizaremos o método da substituição. Na segunda equação, vamos isolar x:
2x – 3y = 2
2x = 3y + 2
x = 3y + 2
      2
x = 3y + 1
2
Substituiremos x na primeira equação:
x² + 2y² = 1
(3y/2 + 1)² + 2y² = 1
9y² + 3y + 1 + 2y² = 1
4                           
Multiplicaremos toda a equação por 4:
9y² + 12 y + 4 + 8y² = 4
17y² + 12 y = 0
Para encontrar os possíveis valores de y, vamos utilizar a fórmula de Bhaskara:
Δ = b² – 4.a.c
Δ = 12² – 4.17. 0
Δ = 144
y = – b ± √Δ​
     2.a
y = – 12 ± √144
      2.17
y = – 12 ± 12
      34
	Y1 = – 12 + 12
         34
y1 = 0
      34
y1 = 0
	y2 = – 12 – 12
      34
y2 = – 24
          34
y2 = – 12
         17
Substituindo os valores encontrados para y em 2x – 3y = 2, podemos determinar os valores de x:
	2x – 3y1 = 2
2x – 3·0 = 2
2x – 0 = 2
x = 2
2
x1 = 1
	2x – 3y2 = 2
2x – 3·(– 12/17)= 2
2x + 36 = 2
 17
2x = 2 – 36
             17
2x = – 2
          17
x2 = – 1
         17
Podemos afirmar que a equação possui duas soluções do tipo (x, y), são elas: (1, 0) e (– 1/17, – 12/17).
Exemplo 1 
A população de uma cidade A é três vezes maior que a população da cidade B. Somando a população das duas cidades temos o total de 200.000 habitantes. Qual a população da cidade A? 
Indicaremos a população das cidades por uma incógnita (letra que representará um valor desconhecido). 
Cidade A = x 
Cidade B = y 
x = 3y 
x + y = 200 000 
Substituindo x = 3y 
x + y = 200 000 
3y + y = 200 000 
4y = 200 000 
y = 200 000/4 
y = 50 000 
x = 3y , substituindo y = 50 000 
Temos 
x = 3 * 50 000 
x = 150 000 
População da cidade A = 150 000 habitantes 
População da cidade B = 50 000 habitantes 
Exemplo 2 
Cláudio usou apenas notas de R$ 20,00 e de R$ 5,00 para fazer um pagamento de R$ 140,00. Quantas notas de cada tipo ele usou, sabendo que no total foram 10 notas? 
x notas de 20 reais y notas de 5 reais 
Equação do número de notas: x + y = 10 
Equação da quantidade e valor das notas: 20x + 5y = 140 
x + y = 10 
20x + 5y = 140 
Aplicar método da substituição 
Isolando x na 1ª equação 
x + y = 10 
x = 10 - y 
Substituindo o valor de x na 2ª equação 
20x + 5y = 140 
20(10 – y) + 5y = 140 
200 – 20y + 5y = 140 
- 15y = 140 – 200 
- 15y = - 60 (multiplicar por -1) 
15y = 60 
y = 60/15 
y = 4 
Substituindo y = 4 
x = 10 – 4 
x = 6
Exemplo 3 
Num aquário há 8 peixes, entre pequenos e grandes. Se os pequenos fossem mais um, seria o dobro dos grandes. Quantos são os pequenos? E os grandes? 
Pequenos: x 
Grandes: y 
x + y = 8 
x + 1 = 2y 
Isolando x na 1ª equação 
x + y = 8 
x = 8 - y 
Substituindo o valor de x na 2ª equação 
x + 1 = 2y 
(8 – y) + 1 = 2y 
8 – y + 1 = 2y 
9 = 2y + y 
9 = 3y 
3y = 9 
y = 9/3 
y = 3 
Substituindo y = 3 
x = 8 – 3 
x = 5 
Peixes pequenos: 5 
Peixes grandes: 3 
Exemplo 4 
Descubra quais são os dois números em que o dobro do maior somado com o triplo do menor dá 16, e o maior deles somado com quíntuplo do menor dá 1. 
Maior: x 
Menor: y 
2x + 3y = 16 
x + 5y = 1 
Isolando x na 2ª equação 
x + 5y = 1 
x = 1 – 5y 
Substituindo o valor de x na 1ª equação 
2(1 – 5y) + 3y = 16 
2 – 10y + 3y = 16 
- 7y = 16 – 2 
- 7y = 14 (multiplica por -1) 
7y = - 14 
y = -14/7 
y = - 2
Substituindo y = - 2 
x = 1 – 5 (-2) 
x = 1 + 10 
x = 11 
Os números são 11 e -2.