1 SIMULADO - MODELAGEM MATEMÁTICA

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1º SIMULADO (ESTÁCIO)
MODELAGEM MATEMÁTICA
		1a
          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	Qual é o formato principal de declarar e formatar string no Python 3?
		
	
	Aspas simples e Parênteses
	
	Hashtag e Parênteses
	 
	Aspas simples e Aspas duplas
	
	Aspas duplas e Parênteses
	
	Aspas duplas e Hashtag
	
	Explicação:
Gabarito: Aspas simples e Aspas duplas
Justificativa: os strings são sempre definidos com aspas simples ou duplas.
	
		2a
          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	A velocidade v de um foguete Saturno V, em voo vertical perto da superfície da Terra, pode ser medida por:
v=uln(MM−mt)−v=uln(MM−mt)−
onde
u=2510m/s=velocidade de exaustão em relação ao fogueteu=2510m/s=velocidade de exaustão em relação ao foguete
M=2,8×106kg=massa do foguete na decolagemM=2,8×106kg=massa do foguete na decolagem
m=13,3×103kg/s=taxa de consumo de combustívelm=13,3×103kg/s=taxa de consumo de combustível
g=9,81m/s2=aceleração gravitacionalg=9,81m/s2=aceleração gravitacional
t=tempo medido a partir da decolagemt=tempo medido a partir da decolagem
Determine o tempo em que o foguete atinge a velocidade do som (355m/s)(355m/s). Utilize, para aproximação inicial, o intervalo [70,80][70,80].
		
	
	80.000000
	
	73.8999999
	 
	73.281758
	
	74.345781
	
	70.000000
	
	Explicação:
Gabarito: 73.281758
Justificativa: Substituindo os dados da questão e fazendo a t=xt=x, temos a seguinte função, na qual desejamos encontrar a raiz:
f(x)=2510ln(2.8×1062.8×106−13.3×103x)−9.81x−355f(x)=2510ln(2.8×1062.8×106−13.3×103x)−9.81x−355
Aplicando o método da bisseção:
import math
from numpy import sign
def biss(f,x1,x2,switch=1,tol=1.0e-9):
f1 = f(x1)
if f1 == 0.0: return x1
f2 = f(x2)
if f2 == 0.0: return x2
if sign(f1) == sign(f2):
print('Raiz não existe nesse intervalo')
n = int(math.ceil(math.log(abs(x2 - x1)/tol)/math.log(2.0)))
for i in range(n):
x3 = 0.5*(x1 + x2); f3 = f(x3)
if (switch == 1) and (abs(f3) > abs(f1)) \
and (abs(f3) > abs(f2)):
return None
if f3 == 0.0: return x3
if sign(f2)!= sign(f3): x1 = x3; f1 = f3
else: x2 = x3; f2 = f3
return (x1 + x2)/2.0
def f(x): return 2510*math.log(2.8e6/(2.8e6 - 13.3e3*x)) - 9.81*x -355
x = biss(f, 70, 80)
print('x =', '{:6.6f}'.format(x))
x = 73.281758
	
		3a
          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	No método Gauss Seidel realizamos uma decomposição A=M-N, onde M é uma matriz triangular inferior de A. O comando em Python no módulo import numpy as np responsável por realizar esse procedimento é:
		
	
	M=np.ones(A)
	
	M=np.eyes(A)
	 
	M=np.tril(A)
	
	M=np.diag(A)
	
	M=np.triu(A)
	
	
	Explicação:
Quando utilizamos o comando import numpy as np, podemos operar com as matrizes e funções pertencentes a biblioteca numpy, um exemplo são as que extraem a parte triangular de A, tril e triu, essas funções extraem respectivamente a parte triangular inferior e superior de A, no caso do Método de Gauss-Seidel  precisamos da parte inferior, logo usaremos M= np.tril(A).
	
		4a
          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	O método de Gauss-Seidel e Jacobi são conhecidos como:
		
	 
	Métodos Iterativos.
	
	Métodos de Newton.
	
	Métodos Diretos.
	
	Métodos dos Gradientes.
	
	Métodos de Fatoração.
	
	
	Explicação:
Os métodos de Gauss-Seidel e Jacobi são conhecidos como métodos iterativos, pois necessitam de um "chute" inicial e dos processos iterativos xk+1=xk+pk
	
		5a
          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor da integral de -x2 no intervalo de 0 a 1. Divida o intervalo de integração em 10 partes. Utilize o método dos Retângulos:
		
	
	-0,433
	
	-0,133
	
	-0,533
	 
	-0,333
	
	-0,233
	
	
	Explicação:
A resolução do problema de integração numérica em um intervalo definido requer que o enunciado forneça alguns elementos importantes, como:
- A função a ser integrada;
- O valor inicial do intervalo de integração;
- O valor final do intervalo de integração; e
- A quantidade de intervalos (ou o tamanho de cada intervalo).
Neste exemplo, temos que:
- A função a ser integrada é f(x) = -x2;
- O valor inicial do intervalo de integração é 0;
- O valor final do intervalo de integração é 1; e
- O intervalo de integração é dividido em 10 partes, de modo que o tamanho de cada intervalo é 0,1.
Assim, aplicando os conceitos do método dos Retângulos, temos o seguinte código em Python:
 
i mport numpy as np
import math
f = lambda x: -x**2
a = 0; b = 1; N = 10
x = np.linspace(a,b,N+1)
y = f(x)
dx = (b-a)/N
x_medio = np.linspace(dx/2,b - dx/2,N)
soma_retangulo = np.sum(f(x_medio) * dx)
print("Integral:",soma_retangulo)
 
O resultado obtido corresponde à alternativa indicada como correta na questão.
 
	
		6a
          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor da integral de x - cos(x) no intervalo de 0 a 1. Utilize o método de Romberg, com aproximação até n = 2:
		
	
	-0,32147
	
	-0,38147
	
	-0,36147
	 
	-0,34147
	
	-0,30147
	
	
	Explicação:
A resolução do problema de integração numérica em um intervalo definido requer que o enunciado forneça alguns elementos importantes, como:
- A função a ser integrada;
- A técnica de integração a ser utilizada;
- O valor inicial do intervalo de integração;
- O valor final do intervalo de integração; e
- A quantidade de partições (n)
Neste exemplo, temos que:
- A função a ser integrada é f(x) = x - cos(x);
- A técnica de integração a ser utilizada é a Extrapolação de Romberg;
- O valor inicial do intervalo de integração é 0;
- O valor final do intervalo de integração é 1; e
- A quantidade de partições é dada por 2n, sendo n = 2.
Assim, aplicando os conceitos para o método de Romberg, temos o código em Python indicado a seguir:
 
import scipy as sp
from scipy import integrate
func = lambda x: x - sp.cos(x)
result = integrate.romberg(func, 0, 1, show=True)
	
		7a
          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor de y(3) em face da resolução da EDO de 1ª ordem y' = sen(y), sendo y(0) = 0,2. Considere h = 0,30. Utilize o método de Runge-Kutta:
		
	 
	2,22
	
	2,52
	
	2,42
	
	2,62
	
	2,32
	
	
	Explicação:
Aa resolução do problema de valor inicial em equações diferenciais ordinárias de primeira ordem requer que o enunciado forneça alguns elementos importantes, como:
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita;
- O ponto inicial;
- O ponto final;
- A quantidade de intervalos (ou o tamanho de cada intervalo); e
- O valor da função no ponto inicial.
Neste exemplo, temos que:
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita é y' = sen(y);
- O ponto inicial é 0;
- O ponto final é 3;
- O tamanho de cada intervalo é 0,3; e
- O valor da função no ponto inicial é 0,2.
Isso posto, utilize o método indicado a seguir:
Executando o código indicado, você obterá a resposta 2.22.
	
		8a
          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor de y(3) em face da resolução da EDO de 1ª ordem y'= sen2(y), sendo y(0) = 0,2. Considere h = 0,30. Utilize o método de Runge-Kutta:
		
	
	0,577
	
	0,877
	 
	0,477
	
	0,777
	
	0,677
	
	
	Explicação:
A resolução do problema de valor inicial em equações diferenciais ordinárias de primeira ordem requer que o enunciado forneça alguns elementos importantes, como:
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita;
- O ponto inicial;
- O ponto final;
- A quantidade de intervalos (ou o tamanho de cada intervalo); e
- O valor da função no ponto inicial.
Neste exemplo, temos que:
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita é y' = sen2(y);
- O ponto inicial é 0;
- O ponto final é 3;
- O tamanho de cada intervalo é 0,3; e
- O valor da função no ponto inicial é 0,2.
Isso posto, utilize o método indicado a seguir:
Executando o código indicado, você obterá a resposta  0.477.
	
		9a
          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	Assinale a ÚNICAalternativa que apresenta o valor de y(0,4) em face da resolução da EDO de 1ª ordem y' = 2.sen(y), sendo y(0) = 3. Considere h = 0,1. Utilize o método de Euler:
		
	
	3,284
	
	3,484
	
	3,384
	 
	3,084
	
	3,184
	
	
	Explicação:
Como vimos neste tema, a resolução do problema de valor inicial em equações diferenciais ordinárias de primeira ordem requer que o enunciado forneça alguns elementos importantes, como:
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita; O ponto inicial; O ponto final; A quantidade de intervalos (ou o tamanho de cada intervalo); e O valor da função no ponto inicial.
Neste exemplo, temos que:
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita é y' = 2.sen(y); O ponto inicial é 0; O ponto final é 0,4; O tamanho de cada intervalo é 0,1; e O valor da função no ponto inicial é 3.
Isso posto, utilize o método indicado a seguir:
	
		10a
          Questão
	Acerto: 0,0  / 1,0
	
	Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor de y(1) em face da resolução da EDO de 1ª ordem y' = y2, sendo y(0) = 0,3. Considere h = 0,10. Utilize o método de Runge-Kutta:
		
	
	0,489
	 
	0,469
	 
	0,429
	
	0,449
	
	0,509
	
	
	Explicação:
A resolução do problema de valor inicial em equações diferenciais ordinárias de primeira ordem requer que o enunciado forneça alguns elementos importantes, como:
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita;
- O ponto inicial;
- O ponto final;
- A quantidade de intervalos (ou o tamanho de cada intervalo); e
- O valor da função no ponto inicial.
Neste exemplo, temos que:
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita é y' = y2;
- O ponto inicial é 0;
- O ponto final é 1;
- O tamanho de cada intervalo é 0,1; e
- O valor da função no ponto inicial é 0,3.
Isso posto, utilize o método indicado a seguir:
Executando o código indicado, você obterá a resposta 0.428 .