Questão resolvida - 2 Questão ... A reta passando pelo ponto B paralela ao eixo x corta o eixo x no ponto N. A região R, (hachurada) na figura, é limitada pela curva, pelo eixo x e pela reta ... - Cál

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2ª Questão
 A reta passando pelo ponto B paralela ao eixo corta o eixo no ponto . A região x x N
, (hachurada) na figura, é limitada pela curva, pelo eixo e pela reta que loga a R x A
. N
c) Determine . x³ - 8x² + 20x dx∫( )
d) E daí a área da região .R
 
Resolução:
 
c) 
 
Resolvendo a integral;
 
x³ - 8x² + 20x dx = - 8 + 20 + c = - + 10x + c ∫( ) x
4
4 x
3
3 x
2
2
x
4
4
8x
3
3
2
 
 
d)
 
Antes de , a coordenada coordenada do ponto A, a área R é definida pela integral da x = 2 x
curva, entre A e N, a área é definida pela reta AN, ou seja, a área R é a composição de 2 
áreas: e ;R1 R2
 
 
 
(Resposta - c)
 
Observando o gráfico, vemos que a área é a integral da curva em x de 0 a 2;R1
 
R = x³ - 8x² + 20x dx = - + 10x = - + 10 2 - - + 10 01
2
0
∫ ( ) x
4
4 8x
3
3
2
2
0
2
4
( )4 8 2
3
( )3
( )2
0
4
( )4 8 0
3
( )3
( )2
 
= - + 10 ⋅ 4 - + - 10 ⋅ 0 = 4 - + 40 = u. a.
16
4
8 ⋅ 8
3
0
4
8 ⋅ 0
3
64
3
68
3
 
A área é a integral de 2 a da reta AN, assim, devemos encontrar a expressão que R2
10
3
representa esta reta, o ponto N é conhecido, a coodenada x do ponto A é conhecida, com 
isso, a coordenada y é;
 
x = 2 y 2 = 2 ³ - 8 2 ² + 20 ⋅ 2 y 2 = 8 - 8 ⋅ 4 + 40 y 2 = 48 - 32 y 2 = 16→ ( ) ( ) ( ) → ( ) → ( ) → ( )
 
Assim, temos que os pontos A e N são;
 
A = 2, 16 e N = , 0( )
10
3
Uma reta é genericamente dada por;
 
y = ax + b
 
 
R1 R2
2 = , 0
10
3
O coeficiente angular da reta é;
 
a =
y - y
x - x
2 1
2 1
 
Usando os pontos A e N, temos que o coeficiente angular da reta AN é;
 
 
a = a = a = a = a = - ⋅ a = - a = -
- 2
0 - 16
10
3
→
-16
10-3⋅2
3
→
-16
10-6
3
→
-16
4
3
→
4
3
1
16
→
4
48
→
1
12
 
A "cara" da reta AN é;
 
y = - x + b
1
12
 
Substituindo o ponto N, achamos o coeficiente linear b da reta AN;
 
N = , 0 0 = - ⋅ + b 0 = - + b - + b = 0 b = b =
10
3
→
1
12
10
3
→
10
36
→
10
36
→
10
36
→
5
18
 
Com isso, a reta AN é;
 
y = - x +
1
12
5
18
 
A área é dada pela integral;R2
 
R = - x + dx R = - + x R = - + x2
2
∫
10
3 1
12
5
18
→ 2
1
12
x
2
2 5
18 2
10
3
→ 2
x
24
2 5
18 2
10
3
 
R = - + ⋅ - - + ⋅ 2 = - + + - = - ⋅ + + -2
24
10
3
2
5
18
10
3
2
24
( )2 5
18 24
100
9 50
54
4
24
10
18
100
9
1
24
25
27
1
6
5
9
 
 
 
R = - + = - + R = R = R = u. a.2
100
216
50 + 9 - 30
54
25
54
29
54
→ 2
-25 + 29
54
→ 2
4
54
→ 2
2
27
 
 
Finalmente, a área R é;
 
R = R + R = + =1 2
68
3
2
27
612 + 2
27
 
R = u. a.
614
27
 
 
(Resposta - d)