Introducao_a_Probabilidade

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Introdução à Probabilidade
Carlos Alberto Huaira Contreras
2
Conjuntos: Definição e notação
Definição: Coleção bem definida de objetos,
elementos ou unidades.
Notação: Se denotam por letras maiúsculas: A,
B, C,….
Se descrevem de três formas:
� A={1,2,3,4}
� A contém os primeiros quatro números
inteiros maiores que zero
� A={x inteiro/0<x<5}
EXERCICIO: Defina B: Ano de ingresso na UFJF,
e C: Estado de procedência de alunos da UFJF.
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Conjuntos: Definição e notação
Definição: Os objetos que formam o conjunto
são chamados elementos.
Logo:
Se o elemento a está em A ⇾⇾⇾⇾															� ∈ �
Se o elemento a não está em A ⇾⇾⇾⇾ 	� ∉ �
Conjunto Fundamental ou Universal: Contem
todos os objetos que estão sendo estudados. Se
denota por U.
Conjunto Vazio ou Nulo: Não contêm qualquer
elemento. Se denota por Ø.
Exemplo: B={x ∈ R/ x2+1=0}
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Relação entre conjuntos
Definição: Dados os conjuntos A e B, se ser
elemento de A implica em ser elemento de B,
então: A é subconjunto de B ou A está contido
em B. Se denota por A ⊂ B.
Logo:
� Ф	⊂	 A para qualquer conjunto A.
� A ⊂	 U para qualquer conjunto A relacionado a U.
� A e B são iguais, A=B, se e só se: A ⊂	 B e B ⊂	 A.
Definição: Dado o conjunto A, o conjunto de
todos os subconjuntos de A é chamado Conjunto
de Partes ou Conjunto Potência de A. Se denota
por P(A) ou 2A.
Definição: O número de elemento de um
conjunto A e o Cardinal. Se denota por n(A).
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Representação Gráfica
Diagramas de Venn: Sugeridos por Jonh Venn
(1834-1883) são representações utilizando
diversos diagramas.
Exemplo: Sejam U={2,3,4,5,6,7} , A={x/x é impar} e
B é o conjunto dos números primos.
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Operações com conjuntos
� ∩ 	 
	 � �⁄ ∈ �	
	� ∈ 	
� ∪ 	 
	 � �⁄ ∈ �	��	� ∈ 	
	 � � 
	 � �⁄ ∈ 		
	� ∉ �
� � 	 
	 � �⁄ ∈ �	
	� ∉ 	
�� 
 �� 
 � �⁄ ∉ �	
	� ∈ �
(1) União
(2) Interseção
(3) Diferença
(4) Complemento
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Propriedades das operações com conjuntos
� 	�� 
 ∅, 											∅� 
 �, 												 �� � 
 �
� 	�
�	����������		
								� ∪ 	 
 � ∪ 																											
									� ∩ 	 
 � ∩ 	
 	! ∪ � 
 !, 		∅ ∪ " 
 �, 		� ∪ "� 
 !, 	" ∪ " 
 �
# 	! ∩ � 
 �, 		∅ ∩ " 
 ∅, 		� ∩ "� 
 ∅, 	" ∩ " 
 �
$ 	�
�	�%%��������		
							(� ∪ 	) ∪ � 
 � ∪ (	 ∪ �)			
			(� ∩ 	) ∩ � 
 � ∩ (	 ∩ �)
( 	�
�	)�%�*�+�����		
								� ∪ 	 ∩ � 
 � ∪ 	 ∩ � ∪ � 										
� ∩ (	 ∪ �) 
 (� ∩ 	) ∪ (� ∩ �)
, 	�
�%	)
	-�*.�/	
									 � ∪ 	 � 
 �� ∩ 	�											
														 � ∩ 	 � 
 �� ∪ 	�
8
Propriedades das operações com conjuntos
Generalização da lei distributiva
					� ∪	 ⋂ ��
/
�1� 
 ⋂ � ∪ ��
/
�1�
					� ∩	 ⋃ ��
/
�1� 
 ⋃ � ∩ ��
/
�1�
Generalização das leis de Morgan
						 ⋃ ��
/
�1�
� 
 ⋂ ��
�/
�1�
					 ⋂ ��
/
�1�
� 
 ⋃ ��
�/
�1�
Exemplo: Sejam os conjuntos A, B, C e D, temos:
� � ∪	 		 ∩ 	�	 ∩ 	) 
 � ∪ 	 ∩ � ∪ � ∩ � ∪ )
� � ∩	 		 ∪ 	�	 ∪ 	) 
 � ∩ 	 ∪ � ∩ � ∪ � ∩ )
� � ∪ 	 ∪ � ∪ ) � 
 �� ∩ 	� ∩ �� ∩ )c
� � ∩ 	 ∩ � ∩ ) � 
 �� ∪ 	� ∪ �� ∪ )c
EXERCICIO: Mostre via diagramas de Venn
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Produto Cartesiano
Definição: Sejam dois conjuntos A e B, o
produto cartesiano de A e B e o conjunto de
descrito por:
{(a,b)/a ∈∈∈∈ A e b ∈∈∈∈ B}
Notação: Denotado por A x B
Observações:
� Em geral A x B ≠≠≠≠ B x A.
� Pode ser estendido para n conjuntos.
Exemplo: Sejam os conjuntos A={x,z} e B={1,2} temos:
A x B ={(x,1),(x,2),(z,1),(z,2)}
EXERCICIO: Encontre B x A
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Modelo Matemático
Definição: Uma relação que explica de forma
simplificada um fenómeno ou observação.
Tipos de fenómenos ou observações:
DETERMINISTICO: Determinado pelas condições
sob as quais o experimento é executado.
Exemplo: lei de Ohm, lei de Kepler, etc.
PROBABILISTICO: Condições só determinam o
comportamento probabilístico.
Exemplo: Fenómenos de radiação, chuvas etc.
Os fenómenos ou observações são estudados ou
obtidas via EXPERIMENTOS.
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Experimentos Aleatórios
Características:
1) Pode ser repetido indefinidamente sob
condições inalteradas.
2) Embora não seja possível saber qual
resultado ocorrerá, pode-se descrever todos
os possíveis resultados.
3) Os resultados individuais parecem ocorrer de
uma forma acidental, porém, quando repetida
um grande número de vezes surge uma
regularidade.
Observação: Um experimento E é definido
quando se descreve:
(A) O procedimento que será realizado, e
(B) O que será observado (interesse).
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Espaço Amostral
Definição: Para um experimento E, é o conjunto
de todos os resultados possíveis.
Notação: Denotado pelas letras Ω ou S.
Observações:
� O resultado não é sempre um número.
� É importante conhecer o número de resultados.
� Estes resultados podem ser finitos, infinitos
numeráveis ou infinitos não numeráveis.
� Existe diferenças entre um espaço amostral
“idealizado” e o espaço amostral “realizável”.
Exemplos: Ω = {masculino, feminino}
Ω = {tempo de vida em minutos}
Ω = {Comprimento de átomo}
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Evento
Definição: É um conjunto de resultados
possíveis relativo a Ω e associado a um
experimento E.
Notação: Denotado pela letra W (e outras letras
maiúsculas).
Observações:
� Como W é subconjunto de Ω ou 3 ⊂ Ω .
Temos que ø e Ω são eventos.
Exercicio: Considere o experimento que consiste
em lançar dois dados, defina diversos interesses
e estude os conceitos de Espaço Amostral e
Evento para eles.
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Frequência
Logo de definir o espaço amostral, e importante
conhecer o número de elementos que este
contêm. Lembre que o espaço amostral está
associado ao experimento E que o gerou.
Finalmente, é possível determinar o número de
elementos para qualquer evento W que se
defina sobre o espaço amostral gerado desde o
experimento E.
Determinar este número de elementos e
determinar a Frequência.
Observação: O experimento (E), o espaço
amostral (Ω) e o evento (W) sempre estão
relacionados, portanto a determinação das
frequências devem surgir destas.
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Um Exemplo
Exemplo: Lance dois dados é observe a soma deles.
Sabendo que um jogo é ganho se a soma é 7 ou 12.
Estude o experimento, avalie espaço amostral, o evento
associado a ganhar o jogo e se possível defina
frequências.
Experimento (E):
O procedimento consiste em lançar dois dados,
o interesse é observar a soma.
Algumas observações práticas ao respeito são:
� Forma de lançamento dos dados (um apôs
outro, juntos)
� Os dados são identificáveis.
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Um Exemplo
Espaço Amostral (Ω):
Considerando L1 e L2 os resultados dos
lançamentos 1 e 2, temos:
L1={1,2,3,4,5,6} e L2= {1,2,3,4,5,6}
Logo o espaço amostral Ω pode ser construído a
partir de L1 x L2.
Ω= L1 x L2={(x,y)/x ∈∈∈∈ L1 e y ∈∈∈∈ L2} ou
Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),
(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),
(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),
(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
Lembremos de espaços amostrais idealizados e
realizáveis.
17
Um Exemplo
Evento(W):
Associado a ganhar o jogo.
W: Lançamento que ganha o jogo.
W= {(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3),(6,6)}
Determinando frequências:
Total de situações: 36
Soma do 
lançamento
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Frequência 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1
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Definição de Probabilidade
Clássica ou a priori: Se um experimento
aleatório tiver n(Ω) resultados exclusivos e
igualmente prováveis e se um evento W tiver
n(W) de esses resultados. Então a probabilidade
de ocorrer o evento W e dada por:
4 5 
/ 5
/ Ω
Verifica-se:
� Os valores de probabilidade estão entre 0 e 1.
� Se Ω={w1,w2,..,wn} então P(wi)=1/n, para
todo i=1,2,..,n.
Exemplo: Probabilidade de ganhar no exemplo anterior.
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Definição de Probabilidade
Frequentista ou a posteriori: Se repetimos o
experimento n vezes e o evento W ocorre r
vezes (r≤n). Então a frequência relativa de
vezes que ocorre o evento W e uma estimação
da probabilidade:
4 5 
 65 
*
/
A probabilidade calculada é próxima da
verdadeira probabilidade que ocorre quando:
4 5 
 lim
/→;
65 
 lim
/→;
*
/
� Esta definição é mais obvia na prática.
Exemplo: Probabilidade de encontrar peça defeituosa.
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Definição de ProbabilidadeAxiomática: Considerando um experimento E é o
espaço amostral associado Ω. Para um evento W
deste espaço amostral, um número P(W) é
definido como a probabilidade do evento W se
se os três axiomas a seguir são satisfeitos:
1. 0≤P(W)≤1
2. P(Ω)=1
3. Para cada sequência de eventos mutuamente
exclusivos W1,W2,…..(Eventos onde Wi∩	Wj=
Ø, para todo i diferente de j)
4 <5�
;
�1�
==4(5�)
;
�1�
21
Teoremas
Teoremas básicos de Probabilidade
1. Se Ø é o conjunto vazio, então P(Ø)=0
2. Se Wc é o evento complementar do evento W,
então P(Wc)=1-P(W)
3. Se W1 e W2 são dois eventos quaisquer, então
P(W1 ∪		W2)=P(W1)+P(W2)-P(W1 ∩		W2)
4. Se W1, W2 e W3 são três eventos quaisquer,
então P(W1 	∪ W2 	∪	W3)=P(W1)+P(W2)+P(W3)
- P(W1 	∩	W2) - P(W1 	∩	W3) - P(W2 	∩	W3) +
P(W1	∩		W2 ∩		W3)
5. Se W1 e W2 são dois eventos tal que W1 ⊂		W2,
então P(W1) ≤ P(W2)
22
Teoremas básicos
6. Se W1 e W2 são dois eventos quaisquer,
então P(W1 ∪		W2) ≤ P(W1)+P(W2)
7. Se W1, W2,…, Wn são n eventos quaisquer,
então
4 <5�
;
�1�
≤=4(5�)
;
�1�
Observações:
� Se W é um evento para o qual P(W)=1, não é
possível afirmar que W=Ω.
� Se W é um evento para o qual P(W)=0, não é
possível afirmar que W=Ø.
Exercicio: Prove os teoremas apresentados.
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Principio Fundamental de contagem
Se um experimento constituído por dois
procedimentos, de forma que no primeiro
procedimento existam n resultados possíveis e
no segundo procedimento existam m resultados
possíveis, então o experimento tem n.m
resultados possíveis.
Observações:
� Lembre que experimentos podem ser compostos.
Pode-se pensar que eles provem de vários
procedimentos ou ainda mais, de uma composição
de experimentos mais simples.
� Pode ser representado pelo “Diagrama da
árvore”.
Exemplo: Lançamento de dois dados.
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Principio Fundamental de contagem
Regra da Multiplicação:
Considerando que um procedimento 1 pode ser
realizado de n maneiras e o procedimento 2
pode ser realizado de m maneiras. Admite-se
também que a realização do procedimento 1,
possa ser seguida do procedimento 2, então um
procedimento composto pelos procedimentos 1
e 2 pode ser realizado de n.m maneiras.
Observação:
� A regra pode ser generalizada para qualquer
número de procedimentos.
Exemplo: Verificação de peças dentro de períodos
numa fabrica considerado 3 resultados.
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Principio Fundamental de contagem
Regra da Adição:
Considerando que um procedimento 1 pode ser
realizado de n maneiras e o procedimento 2
pode ser realizado de m maneiras. Admite-se
também que ambos procedimentos não possam
ser realizados simultaneamente, então o
número de maneiras que podemos realizar os
procedimentos 1 ou 2 e obtido por n+m.
Observação:
� A regra pode ser generalizada para qualquer
número de procedimentos.
Exemplo: Verificação de uma peça sabendo que se tem
3 máquinas para testar .
26
Alguns exemplos
Exemplo 1: Lançar dois dados e verificar se a soma
deles é 7 ou 12. Calcule a probabilidade deste evento.
Experimento: Lançar dois dados e observar a soma.
Espaço Amostral: Ω={(x,y)/x=1,2,3,4,5,6 e y=1,2,3,4,5,6}
Evento: W={(x,y)/x+y= 7 ou x+y=12}
Temos: W=W1 ∪ W2 , onde W1: Soma de dois dados
igual a 7 e W2: Soma de dados igual a 12, e W1 e W2
são mutuamente excludentes.
Logo: n(Ω)=6.6=36, n(W1)=6.1=6 e n(W2)=1.1=1
pela Regra da multiplicação.
n(W)=6+1=7 pela Regra da adição.
De onde: 4 5 = / 5/ Ω 
	
,
#(
27
Alguns exemplos
Exemplo 2: Selecionar uma peça de um depósito onde
se guardam peças que se tem as seguintes
características: Marca (A,B), Lote (L1,L2,L3) e
Tamanho (1,2,3,4,5). Verificar se a peça é da Marca
A, lote L1 ou L2 e tenha um dos três menores
tamanhos ou a peça é da marca B do lote L2 ou L3 e
tenha um dos três maiores tamanhos. Calcular a
probabilidade do evento solicitado.
Experimento: Selecionar uma peça do depósito e
verificar suas características.
Espaço Amostral: Ω={(x,y,z)/ x=A,B, y=L1,L2,L3 e
z=1,2,3,4}
Evento: W={(x,y,z)/ (x=A, y=L1,L2 e z=1,2,3) ou
(x=B, y=L2,L3 e z=3,4,5)}
28
Alguns exemplos
Temos: W = W1 ∪	 W2
Onde:
W1: Configuração tipo (A, L1 ou L2 ,1 ou 2 ou 3),
W2: Configuração tipo (B, L2 ou L3 ,3 ou 4 ou 5) e
W1 e W2 são mutuamente excludentes.
Logo: n(Ω)=2.3.5=30, n(W1)=1.2.3=6 e
n(W2)=1.2.3=6 pela Regra da multiplicação.
n(W)=6+6=12 pela Regra da adição.
De onde: 4 5 = / 5/ Ω =	
� 
#?
Exercicio: Verifique os resultados dos dois
exemplos usando o “diagrama da árvore”.
29
Permutações
Definição: Número de situações possíveis
quando se dispõe de “n” objetos diferentes e se
quer organizar todos estes.
nPn =
Observação:
� Pode-se pensar que todos os objetos são
identificáveis e procura-se ordenar todos eles
de formas diferentes. A permutação da o
resultado de todas as situações de
ordenamento possíveis.
Exemplo: Numerar os 30 carros recebidos e determinar
uma ordem de entrega por sorteio. Encontre o número de
possíveis resultados do sorteio.
30
Arranjos
Definição: Número de situações possíveis
quando se dispõe de “n” objetos diferentes e se
quer organizar “r” de estes objetos (0≤r≤n).
nAr =n.(n-1)…(n-r+1)=
/!
/A* !
Observação:
� A permutação é um caso especifico de arranjo,
onde r=n. Assim a observação feita para a
permutação é válida para os arranjos.
Exemplo: Numerar os 30 carros e determinar uma ordem
de entrega por sorteio para os 3 primeiros carros
vendidos. Encontre o número de possíveis resultados
deste sorteio.
31
Combinações
Definição: Número de situações possíveis
quando se dispõe de “n” objetos diferentes e se
quer organizar “r” destes objetos (0≤r≤n) sem
considerar a ordem.
nCr =
/!
/A* !.*!=
/
C
Observação:
� Pode-se pensar em objetos não identificáveis
ou que não interessa a ordem.
Exemplo: Numerar os 30 carros recebidos e determinar
por sorteio os 3 carros que serão entregues. Encontre o
número de possíveis resultados deste sorteio.
32
Um exemplo
Exemplo: 30 carros foram enviados desde a fábrica
para certa cidade. Dentre os 30 carros, 9 apresentam
um defeito no motor. Sabendo que 3 carros foram
vendidos na cidade e devem ser entregues. Qual a
probabilidade que ao menos 2 apresentem o defeito no
motor.
Experimento: Selecionar 3 carros entre 30 e verificar
o estado de cada um deles (Os estados considerados
são B: Bom ou D: Defeituoso).
Consideremos no experimento:
� Depois da entrega, um carro não pode ser
devolvido.
� Os carros são indistinguíveis (Assim não é possível
determinar uma ordem).
33
Um exemplo
Espaço Amostral: Considerando que não é possível
um ordenamento e verificando estado dos carros
temos: Ω={(D,D,D), (D,D,B), (D,B,B), (B,B,B)}
Evento: W: Ao menos dois carros apresentam defeito,
temos: W ={(D,D,D), (D,D,B)}
Sabendo que: são 30 carros e 9 apresentam defeitos
de motor. Serão entregues 3 carros, temos:
n(Ω) = 30C3 = 4060,
n({(D,D,D)})= 9C3 . 21C0 = 84.1 = 84
n({(D,D,B)})= 9C2 . 21C1 = 36.21 = 756
Logo:				4 5 = 4 { ),),) } + 4({(),),	)}) =
9C3 . 21C0
30C3
+ 9C2 . 21C1
30C3
=	 G��?(? +
,$(
�?(? =
G�?
�?(?
34
Um exemplo
Veja o exemplo anterior realizando considerações
diferentes para o experimento.
Experimento: Selecionar 3 carros entre 30 e verificar
o estado de cada um deles (Os estados considerados
são B: Bom ou D: Defeituoso).
Consideremos no experimento:
� Depois da entrega, o carro não pode ser devolvido.
� Os carros são distinguíveis (Assim é possível
determinar uma ordem).
Espaço Amostral: Considerando que é possível um
ordenamento e verificando estado dos carros temos:
Ω={(D,D,D), (D,D,B), (D,B,D), (B,D,D), (B,B,D), (B,D,B),
(D,B,B), (B,B,B)}
35
Um exemplo
Evento: W: Ao menos dois carros apresentam defeito,
temos: W ={(D,D,D), (D,D,B), (D,B,D), (B,D,D)}
Sabendo que: são 30 carros e 9 apresentam defeitos
de motor. Serão entregues 3 carros, temos:
n(Ω) = 30A3 = 24360,
n({(D,D,D)})= 9A3 = 504
n({(D,D,B)})=n({(D,B,D)})=n({(B,D,D)})= 9A2 . 21A1 
= 72.21 = 1512
H 5 = 4 { ),),) } + 4 ),),	 + 4 ),),	
+ 4 ),),	 = 9A3
30A3
+ #. 9A2 . 21A1
30A3
=	 $?� �#(? + #.
�$� 
 �#(? =
$?�?
 �#(? =
G�?
�?(?
36
Observações finais
� O principiofundamental da contagem e as
regras de multiplicação e adição sempre são
consideradas neste tipo de problemas.
� Os casos onde se aplicam permutações,
arranjos ou combinações são específicos e
estão relacionados a descrição do
experimento (Principalmente o fato de poder
ordenar ou não) e o espaço amostral
associado.
� Uma vez definidas as características do
experimento e o espaço amostral, a
probabilidades associadas a eventos são
únicas. Nem sempre o fato de ordenar ou não
produzem probabilidades iguais.
37
Probabilidade condicional
Definição: Sejam dois eventos E e F, se P(F)>0,
então:
4 I J = 4(I	 ∩ 	J)4(J)
Interpretação:
Sabendo que os eventos E e F estão inclusos no
espaço amostral Ω. A probabilidade condicional
P(E|F) pode ser interpretada como o cálculo da
probabilidade do evento E considerando que o
espaço amostral foi restringido para F (F ⊂ Ω).
Isto é, o espaço amostral foi reduzido para o
evento F que condiciona a probabilidade.
38
Axiomas e teoremas para Probabilidade Condicional
Axiomas: Os axiomas de probabilidade são
válidos para a probabilidade condicional, isto é:
1. 0≤P(E|F)≤1 2. P(Ω|F)=1
3. Seja P(F)>0, para cada sequência de eventos
mutuamente exclusivos E1,E2,…..(Eventos onde Ei∩	Ej= Ø, para todo i diferente de j)
4 <5�|J
;
�1�
==4(5�|J)
;
�1�
Teoremas: Seja P(F)>0, os teoremas básicos de
probabilidade são válidos para probabilidade
condicional, por exemplo:
1. P(Ø|F)=0 2. P(Ec|F)=1-P(E|F)
3. P(E1	∪	E2|F)=P(E1)+P(E2)-P(E1 ∩	E2|F)
39
Um exemplo
Exemplo: 30 carros identificáveis foram enviados desde
a fábrica para certa cidade. Dentre os 30 carros, 9
apresentam um defeito no motor. Sabendo que 3 carros
foram vendidos na cidade e devem ser entregues. Qual
a probabilidade que ao menos 2 apresentem o defeito no
motor dado que o terceiro carro entregue apresenta o
defeito de motor.
Experimento: Selecionar 3 carros (identificáveis, que
implica que é possível ter ordem) entre 30 e verificar
o estado de cada um deles (Os estados considerados
são B: Bom ou D: Defeituoso).
Espaço Amostral: Considerando que é possível um
ordenamento e verificando estado dos carros temos:
Ω={(D,D,D), (D,D,B), (D,B,D), (B,D,D), (B,B,D), (B,D,B),
(D,B,B), (B,B,B)}
40
Um exemplo
Eventos:
E: Ao menos dois carros apresentam defeito, temos:
E ={(D,D,D), (D,D,B), (D,B,D), (B,D,D)}
F: O último carro entregue apresenta defeito, temos:
F ={(D,D,D), (D,B,D), (B,D,D),(B,B,D)}
Logo: I	 ∩ 	J	= {(D,D,D), (D,B,D), (B,D,D)}
H I|J = 4(I ∩ J)4(J) =
#$ G �#(?L
,#?G �#(?L
= #$ G,#?G
Observe que os eventos E|F e E∩F não podem ser
interpretados da mesma forma e P(E|F)>P(E∩F).
Veja o diagrama de Venn:
41
Um exemplo
Veja que os eventos considerados para o
cálculo de probabilidade condicional P(E|F) se
restringem ao evento E.
42
Teorema de Multiplicação
Definição: Sejam W1, W2,….,Wn n eventos,
então:
4 5�5 5#…5/= 4 5� 4 5 5� 4 5# 5�5 … .4(5/|5� …5/ − �)
Observações:
� W1W2W3…Wn significa W1 ∩	W2 ∩	W3 ∩… ∩	Wn.
� Todos os eventos n estão associados a um
espaço amostral Ω.
Interpretação:
Podemos calcular probabilidades de interseção
de eventos, usando probabilidades condicionais
construídas a partir de esses eventos.
43
Um exemplo
Exemplo: No exemplo anterior. Calcule a probabilidade
de que os três carros entregues sejam defeituosos.
Experimento: Selecionar 3 carros (identificáveis, que
implica que é possível ter ordem) entre 30 e verificar
o estado de cada um deles (Os estados considerados
são B: Bom ou D: Defeituoso).
Espaço Amostral: Considerando que é possível um
ordenamento e verificando estado dos carros temos:
Ω={(D,D,D), (D,D,B), (D,B,D), (B,D,D), (B,B,D), (B,D,B),
(D,B,B), (B,B,B)}
W: Os três carros entregues apresentam defeito,
temos: W ={(D,D,D)}
Logo: 										H 5 = /(5)4(Ω) = O
�#
#?�#
= $?� �#(?
44
Um exemplo
Agora, fazemos:
W1: O primeiro carro entregue apresenta defeito.
W2: O segundo carro entregue apresenta defeito.
W3: O terceiro carro entregue apresenta defeito.
Temos: W= W1 ∩	W2 ∩	W3 = W1W2W3
Aplicando o Teorema de Multiplicação temos:
H 5 = 4 5�5 5# = 4 5� . 4 5 5� . 4 5# 5�5 
= O��
#?�� .
G��
 O�� .
,��
 G�� =
O
#? .
G
 O .
,
 G =
$?�
 �#(?
45
Independência de eventos
Definição: Dois eventos E e F são ditos
independentes se e somente se:
P(E ∩ F)=P(E).P(F)
Observações:
� Dois eventos E e F são ditos independentes se
a informação de ocorrência de F não altera a
probabilidade de ocorrência de E. Assim
considerando probabilidade condicional
temos:
P(E|F)=P(E), dado que P(F)>0
� Sempre que E for independente de F, F
também será independente de E.
46
Independência de eventos
Definição: Três eventos E, F e G são ditos
independentes se:
P(E ∩ F ∩ G)=P(E).P(F).P(G)
P(E ∩ F)=P(E).P(F)
P(E ∩ G)=P(E).P(G)
P(F ∩ G)=P(F).P(G)
Teorema: Se E e F, eventos em Ω, são
independentes, então:
i. E e Fc são independentes.
ii. Ec e F são independentes.
iii. Ec e Fc são independentes.
47
Uns exemplos
Exemplo: 30 carros (onde 9 deles apresentam defeito no
motor) foram distribuídos em três lojas que receberam
os carros em quantidades iguais no total e no número de
defeituosos. Sabendo que cada loja entrega um carro
vendido, calcule a probabilidade de que os três carros
entregues sejam defeituosos.
Experimento: Selecionar 1 carro de cada loja para
entrega e verificar o estado de cada um deles (Os
estados considerados são B: Bom ou D: Defeituoso).
Cada loja recebe 10 carros, 3 dos quais é defeituoso.
Espaço Amostral: Considerando que é possível um
ordenamento considerando a loja e verificando o
estado dos carros temos: Ω={(D,D,D), (D,D,B), (D,B,D),
(B,D,D), (B,B,D), (B,D,B), (D,B,B), (B,B,B)}
48
Uns exemplos
W: Os três carros entregues apresentam defeito,
temos: W ={(D,D,D)}
Considerando:
W1: O carro entregue na loja 1 apresenta defeito.
W2: O carro entregue na loja 2 apresenta defeito.
W3: O carro entregue na loja 3 apresenta defeito.
Temos: W= W1 ∩	W2 ∩	W3 = W1W2W3
H 5 = 4 5�5 5# = 4 5� . 4 5 . 4 5#
= #�? .
#
�? .
#
�? =
 ,
�???
49
Uns exemplos
Exemplo: Recalcule a probabilidade solicitada no exemplo
anterior, sabendo que os carros foram distribuídos
seguindo a seguinte forma:
Loja 1: 10 carros dos quais 2 apresentam defeito,
Loja 2: 10 carros dos quais 4 apresentam defeito,
Loja 3: 10 carros dos quais 3 apresentam defeito.
Experimento: Selecionar 1 carro de cada loja para
entrega e verificar o estado de cada um deles (Os
estados considerados são B: Bom ou D: Defeituoso).
Considere distribuição de carros informada.
Espaço Amostral: Considerando que é possível um
ordenamento considerando a loja e verificando o
estado dos carros temos: Ω={(D,D,D), (D,D,B), (D,B,D),
(B,D,D), (B,B,D), (B,D,B), (D,B,B), (B,B,B)}
50
Uns exemplos
W: Os três carros entregues apresentam defeito,
temos: W ={(D,D,D)}
Considerando:
W1: O carro entregue na loja 1 apresenta defeito.
W2: O carro entregue na loja 2 apresenta defeito.
W3: O carro entregue na loja 3 apresenta defeito.
Temos: W= W1 ∩	W2 ∩	W3 = W1W2W3
H 5 = 4 5�5 5# = 4 5� . 4 5 . 4 5#
= �? .
�
�? .
#
�? =
 �
�???
51
Partição do espaço amostral
Definição: Uma coleção de eventos F1,F2,…,Fk
formam uma partição do espaço amostral Ω se
eles não tem interseção entre si e sua união é
igual ao espaço amostral, isto é:
J� ∩ JP = Ø para todo i≠≠≠≠j, e ⋃ J� = Ω	C�1�
Graficamente:
52
Teorema de Probabilidade Total
Teorema: Se os eventos F1,F2,…,Fk formam uma
partição do espaço amostral Ω, qualquer evento
E em Ω satisfaz:
4 I = 4 J� 4 I J� + 4 J 4 I J +⋯+ 4 JC 4 I JC
=∑ 4 J� 4(I|J�)C�1�
Graficamente:
53
Uns exemplos
Exemplo: Um lote de 30 carros (onde 9 deles
apresentam defeito no motor) foram distribuídos em
três lojas seguindo a seguinte forma:
Loja 1: 10 carros dos quais 2 apresentam defeito,
Loja 2: 10 carros dos quais 4 apresentam defeito,
Loja 3: 10 carros dos quais 3 apresentam defeito.
Adicionalmente, sabe-se que o percentuais de venda das
lojas 1,2 e 3 são 20,30 e 50% respetivamente.
Calcule a probabilidade de que primeiro carro do lote
apresentedefeito no motor.
Experimento: Selecionar um carro do lote e verificar
o estado (Os estados considerados são B: Bom ou D:
Defeituoso).
Espaço Amostral: Ω={D, B}
54
Uns exemplos
F1,F2 e F3:Partição do espaço amostral associadas as
3 lojas. As probabilidades para estas eventos são
associados ao percentual de vendas de cada loja,
assim temos: P(F1)=0,2 (loja 1), P(F2)=0,3 (loja 2) e
P(F3)=0,5 (loja 3).
E: O primeiro carro selecionado para venda apresenta
defeito, temos: W ={D}
H I = 4 J�)4(I|J� + 4 J )4(I|J + 4 J#)4(I|J#
= ?, . �? + ?, #.
�
�? + ?, $.
#
�? =
#�
�?? = ?, #�
55
Teorema de Bayes
Teorema: Se os eventos F1,F2,…,Fk formam uma
partição do espaço amostral Ω e E é qualquer
evento em Ω, então:
4 JP|I =
4 JP 4 I JP
∑ 4 J� 4(I|J�)C�1�
Para todo j entre 1 e k. 
Observação:
A probabilidade calculada é a de ocorrer a
partição Fj dado que acorreu o evento E.
56
Uns exemplos
Exemplo: Considerando o exemplo anterior. Calcule a
probabilidade de que o primeiro carro seja do loja 2
dado que este apresentou defeito no motor.
Todas as condições são as mesmas do exemplo
anterior, e
F2: Partição do espaço amostral associadas à loja 2,
com probabilidade associada de P(F2)=0,3.
E: O primeiro carro selecionado para venda apresenta
defeito, temos: W ={D}
Aplicando o Teorema de Bayes temos:
4 JP|I =
4 JP 4 I JP
∑ 4 J� 4(I|J�)C�1�
= ?, #.
�
�?
?, #� =
?, � 
?, #� =
� 
#�