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28/02/2021 Revisar envio do teste: ATIVIDADE 2 (A2) – GRA1594 ... https://fmu.blackboard.com/webapps/late-course_content_soap-BBLEARN/Controller?ACTION=OPEN_PLAYER&COURSE_ID=_667752_1&PAREN… 1/9 Usuário RODRIGO DA SILVA RAMOS Curso GRA1594 CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS GR0551211 - 202110.ead-29779045.06 Teste ATIVIDADE 2 (A2) Iniciado 28/02/21 16:09 Enviado 28/02/21 16:26 Status Completada Resultado da tentativa 10 em 10 pontos Tempo decorrido 17 minutos Resultados exibidos Respostas enviadas, Respostas corretas, Comentários Pergunta 1 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Comentário da resposta: De acordo com Leithold (1994, p. 975), “qualquer derivada direcional de uma função diferenciável pode ser obtida se multiplicarmos escalarmente o gradiente pelo vetor unitário na direção e sentido desejados”. LEITHOLD, L. Cálculo com geometria analítica . Vol. 2. 3. ed. São Paulo: Harbra, 1994. De acordo com essa definição e considerando a função e o ponto P(0,1), assinale a alternativa correta. na direção de . na direção de . Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função e seu vetor gradiente são: , e . Assim, . Temos ainda que vetor unitário na direção de é o vetor . Portanto, a derivada direcional é . 1 em 1 pontos 28/02/2021 Revisar envio do teste: ATIVIDADE 2 (A2) – GRA1594 ... https://fmu.blackboard.com/webapps/late-course_content_soap-BBLEARN/Controller?ACTION=OPEN_PLAYER&COURSE_ID=_667752_1&PAREN… 2/9 Pergunta 2 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Comentário da resposta: A derivada direcional é máxima quando o vetor unitário tomado e o vetor gradiente da função estiverem na mesma direção e sentido, isto é, quando o ângulo entre os dois vetores é nulo. Essa afirmação nos leva a concluir que a derivada direcional é máxima para o vetor unitário do vetor gradiente. A partir do exposto, assinale a alternativa que apresente a direção de máximo crescimento da função no ponto P(-1,1). Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função e o vetor gradiente são: , e . Logo, . Como a direção de máximo crescimento se dá no vetor unitário com mesma direção e sentido do vetor gradiente, temos que o vetor procurado é . Pergunta 3 O domínio de uma função corresponde a todos os valores que, ao serem trocados no lugar da variável (ou variáveis), produzem um resultado válido. Alguns exemplos: em funções raízes, o domínio corresponde a todos os valores que não geram um valor negativo dentro da raiz, já no caso de funções quocientes, o domínio corresponde a todos os valores que não zeraram o denominador. Com base nessas informações, analise as afirmativas a seguir. I - O domínio da função é o conjunto . II - O domínio da função é o conjunto . III - O domínio da função é o conjunto . IV - O domínio da função é o conjunto . 1 em 1 pontos 1 em 1 pontos 28/02/2021 Revisar envio do teste: ATIVIDADE 2 (A2) – GRA1594 ... https://fmu.blackboard.com/webapps/late-course_content_soap-BBLEARN/Controller?ACTION=OPEN_PLAYER&COURSE_ID=_667752_1&PAREN… 3/9 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Comentário da resposta: I, IV I, IV Resposta correta. A alternativa está correta. Avaliando as restrições de cada função, concluímos que: A�rmativa I: Correta. O domínio da função é o conjunto . A�rmativa IV: Correta. O domínio da função é o conjunto . Pergunta 4 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Comentário da resposta: A derivada direcional é uma ferramenta muito útil quando se deseja determinar a direção no plano no qual a função cresce mais rápido. No caso, essa direção de maior crescimento corresponde à direção do vetor gradiente em sua forma unitária. Já a direção oposta ao vetor gradiente irá denotar a direção de maior decrescimento da função. Com base nessas informações, determine a direção de maior crescimento da função no ponto P(1,2). Resposta correta. A alternativa está correta. A direção de maior crescimento é . Precisamos então determinar o vetor gradiente. O vetor gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais da função , assim, Derivadas parciais e vetor gradiente no ponto P(1,2): - - - A norma do vetor gradiente no ponto P(1,2) é . Assim, a direção de maior crescimento é . 1 em 1 pontos 28/02/2021 Revisar envio do teste: ATIVIDADE 2 (A2) – GRA1594 ... https://fmu.blackboard.com/webapps/late-course_content_soap-BBLEARN/Controller?ACTION=OPEN_PLAYER&COURSE_ID=_667752_1&PAREN… 4/9 Pergunta 5 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Comentário da resposta: Suponha que seja uma função diferenciável de e , tal que . No entanto, e são funções de expressas por e . Para se obter a derivada de com relação a variável devemos fazer uso da regra da cadeia. Aplicando essa regra corretamente, assinale a alternativa que corresponde à derivada de em relação a , isto é, , para quando . Resposta correta. A alternativa está correta. Pela regra da cadeia, temos que , onde . Assim, . Dado que , temos . Pergunta 6 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Comentário da resposta: O conceito de derivada direcional pode ser estendido para funções de três variáveis. Nesse caso, a mudança no cálculo se dá pela quantidade de componentes que o vetor gradiente e o vetor que dá a direção apresentam, nesse caso, esses vetores possuem três componentes. Considere a seguinte situação: O potencial elétrico num ponto do espaço tridimensional é expresso pela função . Assinale a alternativa que corresponde à direção e ao sentido em que se dá a maior taxa de variação do potencial elétrico no ponto . Resposta correta. A alternativa está correta. A maior taxa de variação do potencial elétrico ocorre na direção e no sentido do vetor gradiente calculado no ponto P, isto é, Dado que o vetor gradiente no ponto P(2,2,-1) é 1 em 1 pontos 1 em 1 pontos 28/02/2021 Revisar envio do teste: ATIVIDADE 2 (A2) – GRA1594 ... https://fmu.blackboard.com/webapps/late-course_content_soap-BBLEARN/Controller?ACTION=OPEN_PLAYER&COURSE_ID=_667752_1&PAREN… 5/9 e sua norma é , temos que a direção procurada é . Pergunta 7 O gráfico de uma função de duas variáveis é um conjunto do espaço , enquanto que o seu domínio é uma região do plano . Para determinar o domínio da função de duas variáveis , precisamos verificar se não há restrições para os valores que e podem assumir. Com relação ao domínio de uma função de duas variáveis, analise as afirmativas a seguir. I. O domínio da função corresponde à região a seguir. II. O domínio da função corresponde à região a seguir. 1 em 1 pontos 28/02/2021 Revisar envio do teste: ATIVIDADE 2 (A2) – GRA1594 ... https://fmu.blackboard.com/webapps/late-course_content_soap-BBLEARN/Controller?ACTION=OPEN_PLAYER&COURSE_ID=_667752_1&PAREN… 6/9 III. O domínio da função corresponde à região a seguir. IV. O domínio da função corresponde à região a seguir. Assinale a alternativa que apresenta a(s) afirmativa(s) correta(s). 28/02/2021 Revisar envio do teste: ATIVIDADE 2 (A2) – GRA1594 ... https://fmu.blackboard.com/webapps/late-course_content_soap-BBLEARN/Controller?ACTION=OPEN_PLAYER&COURSE_ID=_667752_1&PAREN… 7/9 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Comentário da resposta: I, apenas. I, apenas. Resposta correta. A alternativa está correta. Veri�cando as restrições para a função, temos que apenas a a�rmativa I é verdadeira, pois: A�rmativa I: Correta. A função tem as seguintes restrições e , portanto, o domínio da função é o conjunto , que corresponde à região dada na a�rmativa. Pergunta 8 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Comentário da resposta: O vetor gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais de uma função, isto é, dadaa função o vetor gradiente é o vetor . Dado um ponto , o vetor gradiente da função no ponto P é obtido por meio da seguinte expressão . Assinale a alternativa que corresponde ao vetor gradiente da função no ponto . Resposta correta. A alternativa está correta. Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais da função: - Derivada de em relação a (a variável é vista como constante): - Derivada de em relação a (a variável é vista como constante): . Calculando as derivadas parciais no ponto , temos e . Logo, o vetor gradiente é . Pergunta 9 1 em 1 pontos 1 em 1 pontos 28/02/2021 Revisar envio do teste: ATIVIDADE 2 (A2) – GRA1594 ... https://fmu.blackboard.com/webapps/late-course_content_soap-BBLEARN/Controller?ACTION=OPEN_PLAYER&COURSE_ID=_667752_1&PAREN… 8/9 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Comentário da resposta: A direção e o sentido de maior decrescimento de uma função em um dado ponto é dada pelo vetor oposto ao vetor gradiente, visto que esse representa a direção e o sentido de maior crescimento. Sabendo disso, suponha que a função represente uma distribuição de temperatura no plano (suponha medida em graus Celsius, e medidos em ). Dado o ponto , assinale a alternativa que corresponde à direção de maior decrescimento da temperatura e sua taxa de variação mínima. Direção e taxa mínima de . Direção e taxa mínima de . Resposta correta. A alternativa está correta. A direção de maior decrescimento é oposta ao vetor gradiente no ponto considerado, isto é . Já a variação de temperatura é mínima em . (O sinal negativo apenas indica que a temperatura é mínima). Pergunta 10 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Comentário A lei dos gases ideais é uma função que relaciona as grandezas de temperatura (T), pressão (P) e volume (V) de um gás ideal. Expressando essa lei como a função , onde é uma constante dada, considere um gás com o volume de sob uma pressão de . O volume está aumentando a uma taxa de e a pressão está decrescendo a uma taxa de por segundo. Assinale a alternativa que representa a taxa de variação da temperatura considerando as informações anteriores. (Use ). A temperatura está diminuindo a uma taxa de por segundo no instante dado. A temperatura está diminuindo a uma taxa de por segundo no instante dado. 1 em 1 pontos 28/02/2021 Revisar envio do teste: ATIVIDADE 2 (A2) – GRA1594 ... https://fmu.blackboard.com/webapps/late-course_content_soap-BBLEARN/Controller?ACTION=OPEN_PLAYER&COURSE_ID=_667752_1&PAREN… 9/9 Domingo, 28 de Fevereiro de 2021 16h26min21s BRT da resposta: Resposta correta. A alternativa está correta. Pela lei dos gases ideais , onde , temos . Pelas informações do enunciado, temos , , e . Derivando a função com relação ao tempo , pela regra da cadeia, temos: , onde e . Assim, . Portanto, a temperatura está diminuindo a uma taxa de por segundo no instante dado.