Cálculo de Integrais

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O método de integração por partes é aplicado principalmente quando a função integranda é composta de produtos de funções distintas, como, por exemplo, a integral . Para resolver essa integral, utilizam-se as variáveis como suporte para reescrevermos a integral da seguinte forma: . Nesse sentido, resolva a integral e assinale a alternativa correta.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, para resolver a integral por partes, fazemos a substituição:, e;  portanto,  substituindo na fórmula, temos:
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Para resolver a integral , é necessário aplicar o método de integração por partes. Nesse caso, devemos resolver a integral por meio da fórmula: , em que uma das partes é nomeada  e a outra parte, .   Nesse sentido, faça as escolhas adequadas, resolva a integral e assinale a alternativa correta.
 Resposta correta. A alternativa está correta, pois, para resolver a integral por partes, fazemos a substituição:, e; portanto,  substituindo na fórmula, temos:
 
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O conceito da primitiva de uma função explica a definição da integral de uma função. Portanto, conhecendo-se a primitiva de uma função, é possível determinar qual a função que se deseja integrar. Seja uma primitiva de uma função , se , determine a função integranda e assinale a alternativa correta.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, para encontrar a função integranda, basta derivar a função primitiva, desde quando, por definição de uma função primitiva. Portanto, nesse caso, derivando-se, obtemos:
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O deslocamento depende apenas das condições finais e iniciais de uma partícula em movimento, pois o deslocamento é a medida da linha reta que une a posição inicial e a posição final em que a partícula se encontra nesses instantes. Portanto,  o valor do deslocamento só depende dessas posições, não depende da trajetória. Tomando-se como base essa informação, resolva a situação problema a seguir.
Considere a função velocidade  de um ponto material  que se desloca ao longo de uma reta, em que a velocidade é expressa em metros por segundo e o tempo em segundos. A condição inicial do espaço-tempo é . Com essas informações e o gráfico da figura a seguir,  analise as asserções e a relação proposta entre elas.
Fonte: Elaborada pela autora.
 
I. O deslocamento do ponto material do  tempo inicial  até   é igual a  - 60 m
Pois:
II. O deslocamento é igual a integral a  
 
A seguir, assinale a alternativa correta.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois a asserção I é uma proposição verdadeira, uma vez que o deslocamento do ponto material é dado por:
 Consequentemente, a asserção II é verdadeira e justifica a I.
· As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
· A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
· As asserções I e II são proposições falsas.
· As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
· A asserção I é uma proposição verdadeira e a asserção II é uma proposição falsa.
Dada a integral indefinida , verifique que a função integranda é um produto entre uma função polinomial e a função seno. No entanto, sabemos que só é possível integrá-la pelo método por substituição de variável se conseguirmos fazer uma escolha adequada.  Nesse sentido, resolva a integral e assinale a alternativa correta.
 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, para resolver a integral por substituição de variável, fazemos a substituição:; portanto, .
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Aplica-se o método de integração por partes para resolver a integral   . Observe que a intenção é conseguir transformá-la em uma integral que não contém a função logarítmica, pois não é uma função elementar; portanto, não consta na tabela de integração. Nesse sentido, utilize a fórmula  para resolver a integral e assinale a alternativa correta.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, para resolver a integral por partes, fazemos a substituição:, e; portanto,  por meio dafórmula:
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O método de substituição de variável é um método que nem sempre pode ser aplicado para resolver integrais de funções não elementares. Para tanto, deve-se, inicialmente, verificar se o método é aplicável e fazer a escolha para mudança de variável convenientemente. Assim, avalie a escolha correta para aplicar esse método para resolver a integral e assinale a alternativa correta.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, para resolver a integralpor substituição de variável, fazemos a substituição:; portanto, .
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Sabendo-se que a distância percorrida por uma partícula em um dado instante é a medida sobre a trajetória descrita no movimento, o seu valor depende da trajetória. Com essa informação, resolva a seguinte situação-problema.
 
Considere a função velocidade  de uma partícula que se desloca ao longo de uma reta, em que a velocidade é expressa em metros por segundo e o tempo em segundos. Utilize o gráfico da figura a seguir como suporte para ajudar na resolução da questão.  Nesse contexto,  analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
 
Fonte: Elaborada pela autora.
 
I. A distância percorrida da partícula do tempo inicial  até   é igual a 100 m.
Pois:
II. A distância percorrida é igual a área da região hachurada do gráfico da Figura 7.
 
A seguir, assinale a alternativa correta.
 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois a asserção I é uma proposição verdadeira, uma vez que a distância percorrida é igual à área dada por. Consequentemente, a asserção II também é verdadeira e justifica a I.
· A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
· As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
· As asserções I e II são proposições falsas.
 
 
 
· As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa  da I.
· A asserção I é uma proposição verdadeira e a asserção II é uma proposição falsa.
Dada a integral indefinida , verifique que a função integranda é um produto entre uma função polinomial e a função seno. No entanto, sabemos que só é possível integrá-la pelo método por substituição de variável se conseguirmos fazer uma escolha adequada.  Nesse sentido, resolva a integral e assinale a alternativa correta.
 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, para resolver a integralpor substituição de variável, fazemos a substituição:; portanto,
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O cálculo de área de regiões planas é possível por meio do cálculo integral definido. Entre as regiões, podemos encontrar o valor exato da área de regiões limitadas por duas curvas, como, por exemplo, a região limitada simultaneamente pelas curvas e . Nesse sentido, encontre a área proposta, usando como suporte o gráfico da figura a seguir, e assinale a alternativa correta.
 
Figura 4.1 - Região limitada pelas funções e  
 
 
Fonte: Elaborada pela autora.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, para encontrar a área proposta, resolvemos a integral, pois, de a, a função limita superiormente e, de a, a  função limita superiormente. A região é limitada simultaneamente por ambas as funções. Portanto:
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