CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS - A4

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1. Um circuito elétrico simples composto por um resistor , um indutor e uma força 
eletromotriz (proporcionada por uma pilha ou gerador) pode ser modelado matematicamente por 
meio da seguinte equação diferencial: . Sabendo que essa equação é do tipo linear 
de primeira ordem, considere um resistor de , uma indutância de e uma voltagem 
constante de . 
 
Assinale a alternativa que corresponde ao fator integrante da EDO dada. 
 
 Resposta correta. A alternativa está correta. O fator integrante de uma EDO linear de 
primeira ordem é expresso por . Dada a EDO
, temos que e, portanto, o fator integrante é
. 
• . 
 
2. A lei de resfriamento de Newton nos permite calcular a taxa de variação da temperatura de um 
corpo em resfriamento. Considere a seguinte situação: Um cozinheiro fez um bolo de chocolate. Ao 
retirar do forno, o bolo apresentava uma temperatura de 150°C. Passados quatro minutos, essa 
temperatura caiu para 90 °C. Sabendo que a temperatura do ambiente é de 25°C, calcule quanto 
tempo levará para que o bolo esfrie até a temperatura de 30 °C. 
 
Assinale a alternativa correta. 
 
 Resposta correta. A alternativa está correta. A equação de resfriamento do bolo pode 
ser descrita pela equação diferencial onde e são fornecidas as 
seguintes informações: e . Nosso problema consiste em 
determinar o tempo , em minutos, tal que . Resolvendo a equação 
diferencial, temos
 
, onde . Das condições e
 vamos determinar as constantes e . De temos . De
, temos . Portanto, a função temperatura do bolo é
. Vamos determinar agora o tempo para o qual a temperatura é 
30ºC. De , temos . 
• 20 minutos. 
 
3. Em um circuito elétrico, tem-se que o gerador fornece uma voltagem constante de um 
capacitor com capacitância de e um resistor com uma resistência de . Sabe-se que esse 
circuito pode ser modelado matematicamente por meio da seguinte equação 
diferencial: , onde é a carga, medida em coulombs. 
 
Dado que , assinale a alternativa correta. 
 
 Resposta correta. A alternativa está correta. A função corrente é a derivada da função 
carga, isto é, . A EDO é uma equação linear de primeira ordem cuja 
solução pode ser expressa por . Dada a EDO
, temos que e . Portanto, sua solução geral é
. Como
, segue que e, assim, a função carga é expressa por . Por 
fim, concluímos que a função corrente é . 
• A função corrente é expressa por . 
 
4. A solução de uma equação diferencial é uma família de funções, onde cada função dessa família 
se diferencia da outra pelo valor de uma constante. Para verificar se uma função é solução de uma 
equação diferencial, devemos substituir a expressão da função e suas derivadas na equação e 
verificar se vale a igualdade. Se a igualdade for verdadeira, a função é solução, se não for 
verdadeira, não é solução. 
 
Com relação à solução de equações diferenciais, analise as afirmativas a seguir: 
 
I. A função é solução da equação diferencial . 
II. A função é solução da equação diferencial . 
III. A função é solução da equação diferencial . 
IV. A função é solução da equação diferencial . 
 
É correto o que se afirma em: 
 
 Resposta correta. A alternativa está correta. De acordo com a definição de solução de 
uma equação diferencial, temos que estão corretas as afirmativas II e IV, pois: 
Afirmativa II: Correta. Dada a função , temos . Repare que
 Trocando na equação diferencial, temos: 
 
Afirmativa IV: correta. Dada a função , temos e . 
Trocando , e na equação diferencial, temos: 
. 
• II e IV, apenas. 
 
5. “Uma equação diferencial linear de segunda ordem tem a forma , 
onde e são funções contínuas” (STEWART, 2016, p. 1028). Se , a equação é dita 
linear homogênea, caso contrário, se a equação é dita linear não homogênea. 
 
STEWART, J. Cálculo. 
São Paulo: Cengage Learning, 2016. 2 v. 
 
Com relação às equações homogêneas, assinale a alternativa correta: 
 
 Resposta correta. A alternativa está correta. Aplicando o método de solução 
corretamente, temos que: - Equação diferencial: . Equação auxiliar:
. Raízes: . Solução geral: . 
- Equação diferencial: . Equação auxiliar: . Raízes: . 
Solução geral: . - Equação diferencial: . Equação auxiliar:
. Raízes: . Solução geral: . 
- Equação diferencial: . Equação auxiliar: . Raízes:
. Solução geral: . 
 
 
 
 
• A equação diferencial tem solução . 
 
6. Leia o excerto a seguir: 
 
“A Lei de Ohm diz que a queda na voltagem por causa do resistor é . A queda de voltagem por 
causa do indutor é . Uma das Leis de Kirchhoff diz que a soma das quedas de voltagem é igual 
à voltagem fornecida . Então. temos , que é uma equação diferencial de 
primeira ordem que modela a corrente no instante ” (STEWART, 2016, p. 537). 
 
STEWART, J. Cálculo. São Paulo: Cengage Learning, 2016. 2 v. 
 
Considerando uma resistência de , uma indutância de e uma voltagem constante de , 
assinale a alternativa que corresponde à expressão da corrente do circuito quando o interruptor é 
ligado em . 
Resposta correta. A alternativa está correta. A partir da equação diferencial fornecida 
no enunciado, , e dos valores fornecidos, e , 
temos que . Arrumando a expressão da equação diferencial, temos
 
. 
Tomando temos . Para , temos que
, portanto a expressão da corrente é
. 
 
• . 
 
7. Uma equação diferencial linear de primeira ordem pode ser expressa na forma , 
onde e são funções contínuas em um dado intervalo. A solução geral para equações 
diferenciais lineares de primeira ordem é dada pela 
expressão . 
 
Com base nessa informação, analise as afirmativas a seguir e, na sequência, assinale a alternativa 
que apresenta a(s) afirmativa(s) correta(s): 
 
 
I. A solução geral da equação é . 
II. A solução geral da equação é . 
III. A solução geral da equação é . 
IV. A solução geral da equação é . 
 
É correto o que se afirma em: 
 
 Resposta correta. A alternativa está correta. Aplicando o método de solução para uma 
equação diferencial linear, temos: 
Afirmativa I: correta. Temos que e , assim, 
. 
 
Afirmativa II: correta. Dividindo toda a equação por , temos que e , 
assim, . 
 
Afirmativa IV: correta. Temos que e , assim,
, onde
. 
 
• I, II e IV, apenas. 
 
8. De acordo com Stewart (2016, p. 543), “a técnica para resolver as equações diferenciais 
separáveis foi primeiro usada por James Bernoulli (em 1690) para resolver um problema sobre 
pêndulos e por Leibniz (em uma carta para Huygens em 1691). John Bernoulli explicou o método 
geral em um artigo publicado em 1694”. 
 
STEWART, J. Cálculo. São Paulo: Cengage Learning, 2016. 2 v. 
 
Sabe-se que o método de resolução de uma equação diferencial separável é a integração de 
ambos os membros da igualdade, assim, assinale a alternativa que corresponde à solução da 
equação diferencial . 
 
 Resposta correta. A alternativa está correta. A equação diferencial dada é uma 
equação separável. Separando as variáveis e , podemos reescrever a equação como
. Integrando ambos os lados da igualdade, temos
. 
• . 
 
9. Problemas que envolvem crescimento ou decrescimento de alguma grandeza podem ser 
modelados matematicamente por meio do seguinte problema de valor inicial: 
, 
onde é uma constante de proporcionalidade que pode ser positiva ou negativa. Considere a 
seguinte situação: 
 
Em uma cultura, há inicialmente 10 mil bactérias. Se a taxa de crescimento é proporcional ao 
número de bactérias presentes, assinale a alternativa que corresponde à expressão da função 
crescimento dessa população. 
 
 
 
 Resposta correta. A alternativa está correta. O problema pode ser descrito pela 
seguinte equação diferencial , onde é a função quantidade de bactérias que 
depende do tempo . Além disso, temos os seguintes dados: para temos
. Resolvendo a equação diferencial, temos 
, onde
 e são constantes e . Como temos
. Portanto, a função que descreve o 
crescimento dessa população debactérias é . 
• 
 
As equações diferenciais não possuem exatamente uma regra de resolução. O método de resolução de 
uma equação diferencial depende de algumas características apresentadas pela mesma. Por exemplo, 
equações diferenciais escritas na forma são ditas equações diferenciais 
separáveis e resolvidas usando a integração em ambos os membros da igualdade. 
 
Com base no método de resolução de equações diferenciais separáveis, analise as afirmativas a seguir: 
 
I. A solução da equação é . 
II. A solução da equação é . 
III. A solução da equação é . 
IV. A solução da equação é . 
 
É correto o que se afirma em: 
 
 Resposta correta. A alternativa está correta. Aplicando adequadamente o método de solução 
nas equações diferenciais separáveis, temos que: 
Afirmativa II: incorreta. Separando as variáveis: . Integrando a 
equação: . 
Afirmativa IV: incorreta. As variáveis já estão separadas, então, integrando a equação: 
. 
 
 
• I e III, apenas.