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01 A distribuição normal é um modelo probabilístico muito usado para modelar fenômenos físicos, na natureza, na indústria e nos negócios. São muitas as aplicações no contexto da inferência estatística, em que decisões têm de ser tomadas com base nos resultados obtidos a partir de uma amostra. Considerando o contexto apresentado, avalie as seguintes proposições e a relação proposta entre elas. I. A análise da pressão arterial sistólica e diastólica de um adulto é um exemplo de distribuição de probabilidade contínua. Porque, II. Temos um fenômeno modelado por uma variável aleatória contínua, cujo gráfico em forma de sino se prolonga indefinidamente em ambas as direções. A respeito dessas proposições, assinale a opção correta. a. As proposições I e II são verdadeiras, e a II é justificativa da I. Resposta correta: apenas a pressão arterial modela-se conforme os parâmetros de uma distribuição normal, que corresponde a uma distribuição de probabilidade contínua e não discreta. b. As proposições I e II são verdadeiras, mas a II não é justificativa da I. c. A proposição I é falsa e a proposição II é verdadeira. d. A proposição I é verdadeira e a proposição II é falsa. e. As proposições I e II são falsas. Feedback A resposta correta é: As proposições I e II são verdadeiras, e a II é justificativa da I. 02 A distribuição de Poisson é usada para determinar a probabilidade de um número de sucessos quando ocorrem muitos fenômenos observáveis e aplicáveis a sequências de eventos. Como exemplos, podemos citar os modelos matemáticos das chegadas das pessoas em uma fila, carros chegando ao posto de gasolina e usuários de computador ligados à Internet. Com base no estudo da distribuição de Poisson, apresentamos o problema a seguir: no setor de confecção de uma empresa fabril, as vendedoras realizam, uma vez por semana, ligações para a oferta de novos lançamentos para os maiores clientes. Nesta semana, dos cinco maiores clientes da empresa, apenas três adquiriram o produto X. A empresa lançará o produto Y na próxima semana e deseja calcular a probabilidade da compra desse produto pelos seus maiores clientes. Considerando que , a probabilidade de a confecção vender o produto Y para os seus maiores clientes será de: a. 14,58%. Resposta correta: a probabilidade de a confecção vender o produto Y para seus maiores clientes será de 14,58%. O cálculo é feito por meio da fórmula: b. 3%. c. 20,83%. d. 87,5%. e. 50%. Feedback A resposta correta é: 14,58%. 03 Ao se trabalhar com variáveis aleatórias contínuas, a função em um determinado ponto é a soma das probabilidades dos valores de menores ou iguais a . Figura: Distribuição de probabilidade com variável aleatória x Fonte: NETO, P. L. O.; CYMBALISTA, M. Probabilidades. São Paulo: Edgard Blucher, 2012. A área hachurada correspondente ao valor p da figura anterior é calculada através da função: a. Distribuição de Bernoulli. b. Distribuição de probabilidade acumulada. Resposta correta: a área hachurada correspondente ao valor p da figura é calculada por meio da função da distribuição de probabilidade acumulada. c. Distribuição de frequências acumuladas. d. Distribuição binomial. e. Distribuição de Poisson. Feedback A resposta correta é: Distribuição de probabilidade acumulada. 04 Entre as várias aplicações citadas por Castanheira (2013), a distribuição de Poisson é frequentemente usada em pesquisa operacional e na solução de problemas administrativos, sendo possível encontrá-la quando desejamos determinar o número de chamadas telefônicas para uma empresa por hora, o número de clientes em uma fila de um banco ou ainda o número de acidentes de tráfego no cruzamento de uma cidade por semana. CASTANHEIRA, N. P. Estatística aplicada a todos os níveis. Curitiba: Intersaberes, 2013. Considere que são vendidos, no verão, em média 54 sorvetes diariamente, de acordo com uma variável aleatória x, que segue a distribuição de Poisson. Qual a probabilidade aproximada de que, em certo dia, sejam vendidos exatamente 50 sorvetes? a. 5%. Resposta correta: de acordo com os cálculos da distribuição de Poisson, para que possamos determinar exatamente 50 sorvetes, temos a seguinte probabilidade: . b. 20%. c. 15%. d. 10%. e. 0,5%. Feedback A resposta correta é: 5%. 05 Conforme aponta Castanheira (2013), a distribuição normal de probabilidade é uma distribuição de probabilidade contínua, simétrica em relação à média e assintótica em relação ao eixo das abscissas, em ambas as direções. É também conhecida como distribuição gaussiana e modela o comportamento de diversas variáveis aleatórias que envolvem a análise de processos empresariais ou demais fenômenos naturais, além de poder ser usada com o intuito de aproximar distribuições discretas de probabilidade. CASTANHEIRA, N. P. Estatística aplicada a todos os níveis. Curitiba: Intersaberes, 2013. De acordo com as características atribuídas a uma distribuição normal, avalie as afirmativas a seguir. I. Uma vez que e geram uma distribuição normal, as tabelas de probabilidade normal são fundamentadas em uma distribuição normal de probabilidade, com e . II. Se uma população tem distribuição normal, conforme define o teorema central do limite, a distribuição das médias amostrais retiradas dessa população também terá distribuição normal. III. Pode ser utilizada como aproximações de outras distribuições de probabilidade, como a distribuição de Poisson e a distribuição binomial. É correto o que se afirma em: a. I, apenas. b. I e II, apenas. c. II e III, apenas. Resposta correta: de acordo com o estudo da distribuição normal, as tabelas de probabilidade normal são fundamentadas em uma distribuição normal de probabilidade, com média e desvio-padrão , e não o contrário. Estudamos também o teorema central do limite em que a distribuição das médias amostrais tende a uma distribuição normal e a distribuição normal pode ser utilizada como aproximações de outras distribuições, como a binomial e a de Poisson. d. I, II e III. e. I e III, apenas. Feedback A resposta correta é: II e III, apenas. 06 Se eventos ou sucessos seguem a distribuição de Poisson, podemos determinar a probabilidade de que o primeiro evento ocorra dentro de um período de tempo designado, , como o tempo para percorrer certa distância pela distribuição de probabilidade exponencial. Como estamos tratando com o tempo nesse contexto, a exponencial é uma: a. distribuição de probabilidade contínua. Resposta correta: a distribuição exponencial é um exemplo de distribuição de probabilidade contínua. Nesse tipo de distribuição, as variáveis assumem um intervalo infinito de valores. Entre os inúmeros exemplares desse tipo de variável, está o tempo para percorrer certa distância. b. distribuição de probabilidade aleatória. c. distribuição de probabilidade variável. d. distribuição de probabilidade composta. e. distribuição de probabilidade discreta. Feedback A resposta correta é: distribuição de probabilidade contínua. 07 Para Martins e Domingues (2017), uma função de distribuição acumulada (FDA) calcula a probabilidade acumulada para um determinado valor de x, em que uma observação aleatória extraída da população é menor ou igual a um valor específico, maior do que um valor específico ou está entre dois valores específicos. MARTINS, G. A.; DOMINGUES, O. estatística geral e aplicada. São Paulo: Atlas, 2017. A partir do texto, avalie as asserções a seguir e a relação proposta entre elas. I. Existem diferenças quanto ao uso da distribuição acumulada para variáveis contínuas ou discretas. Porque, II. Para distribuições contínuas, a função de distribuição acumulada indica a área sob a função densidade de probabilidade, até o valor de x fixo; para distribuições discretas, a função de distribuição acumulada gera a probabilidade acumulada para os valores de x previamente estipulados. A respeito dessas asserções, assinale a opção correta. a. As asserções I e II são proposições falsas. b. As asserções I e II são proposições verdadeiras e a II é uma justificativa corretada I. Resposta correta: existem diferenças quanto ao uso da distribuição acumulada para variáveis contínuas ou discretas. Dessa maneira, para distribuições contínuas, a função de distribuição acumulada indica a área sob a função densidade de probabilidade, até o valor de x determinado; para distribuições discretas, a função de distribuição acumulada gera a probabilidade acumulada para os valores de x pré-definidos. c. As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I. d. A asserção I é uma proposição verdadeira e a II é uma proposição falsa. e. A asserção I é uma proposição falsa e a II é uma proposição verdadeira. Feedback A resposta correta é: As asserções I e II são proposições verdadeiras e a II é uma justificativa correta da I. 08 Uma equação que representa a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória contínua é denominada de função densidade de probabilidade e resulta em uma curva em forma de sino. Com base no estudo da distribuição normal, apontamos o seguinte problema: após um longo período de estudo, foi identificado que a vida útil de determinado componente eletrônico tem distribuição normal com média de 39 semanas e desvio-padrão de 2 semanas. Diante essa definição, assinale V para as verdadeiras e F para as falsas, para a probabilidade de que a vida útil de um componente eletrônico seja maior que 35 semanas. I. Devemos considerar área à direita de . II. O valor do escore z é igual a 1,00. III. Devemos considerar o valor do escore z positivo igual a 2,00. IV. A área correspondente equivale a 0,4772. V. A área correspondente equivale a 0,9772. A sequência correta é: a. V, F, V, V, F. b. F, F, V, V, V. c. F, F, V, F, V. Resposta correta: primeiramente, vamos realizar a conversão do valor da variável x para o escore z, logo: . Tendo esse valor, consulte a tabela e verifique qual o valor da área correspondente que é igual a 0,4772. No entanto, atente-se ao fato de que é necessário somar essa área a 0,5, por isso, a probabilidade solicitada equivale a 97,72%. d. V, F, V, V, V. e. V, F, V, F, V. Feedback A resposta correta é: F, F, V, F, V. 09 A distribuição normal é fundamental para a maior parte das técnicas da estatística prática moderna, sendo a mais importante das distribuições contínuas. Uma característica importante da distribuição normal é que ela depende apenas de dois parâmetros que são a média e o desvio-padrão . Assim, podemos dizer que há uma e somente uma distribuição normal com uma dada média e um dado desvio-padrão . Figura: Curva normal com média e desvio-padrão . Fonte: COSTA NETO, P. L. O.; CYMBALISTA, M. Probabilidades. São Paulo: Edgard Blucher, 2012. Diante dessa definição, assinale V para as alternativas verdadeiras e F para as falsas. I. Um ponto selecionado aleatoriamente entre a e b é igual à área sob a curva entre a e b, ou seja, abaixo do gráfico da função. II. A área sob todo o gráfico é igual a 1. III. A distribuição normal com valores de parâmetros e é denominada de distribuição normal padrão. IV. Para e , temos . V. Para e , temos . A sequência correta é: a. F, F, F, V, V. b. V, V, F, F, F. c. F, V, V, F, F. d. V, V, V, F, V. Resposta correta: a distribuição normal com valores dos parâmetros e é denominada distribuição normal padrão. Assim, o escore z é igual a . Pela tabela, temos que o valor correspondente a z=1,25 é igual a 0,3944, porém esse valor se refere ao intervalo entre a média e , assim, e o restante da área sob a curva é igual a e. V, F, V, V, F. Feedback A resposta correta é: V, V, V, F, V. 10 Conforme expõe Triola (2017), na medida em que o tamanho da amostra aumenta, a distribuição das médias amostrais tende para uma distribuição normal com média e desvio-padrão , sendo n o tamanho da amostra, e a média e o desvio-padrão da população. TRIOLA, M. Introdução à Estatística. Rio de Janeiro: LTC, 2017 A respeito do teorema do limite central, analise as afirmativas a seguir. I. Amostras de tamanho n são extraídas aleatoriamente de uma população. II. Para amostras de tamanho n<30, a distribuição das médias amostrais pode ser aproximada por uma distribuição normal. III. O teorema do limite central envolve duas distribuições diferentes: a distribuição da população original e a distribuição das médias amostrais. IV. Os dados influenciados por muitos efeitos aleatórios pequenos e não relacionados têm distribuição aproximadamente normal. V. O teorema central do limite tem importância fundamental na estatística, porém é aplicado apenas em populações infinitas. Está correto o que se afirma em: a. apenas I e IV. b. apenas I, II e IV. c. apenas II, IV e V. d. apenas II e III. e. apenas I, III e IV. Resposta correta: quando o tamanho da amostra aumenta, independentemente da forma da distribuição da população, a distribuição amostral da média de aproxima-se cada vez mais de uma distribuição normal. Esse resultado fundamental na teoria da Inferência Estatística é conhecido como teorema do limite central (TLC). O TLC afirma que a média de X aproxima-se de uma normal quando n tende para o infinito, sendo que a distribuição das médias amostrais é a mesma que a média da população, no entanto, o desvio-padrão da amostra é menor que o desvio-padrão da população, o que leva a uma menor dispersão em torno da média. Para amostras da ordem de 30 ou 50 elementos, a aproximação pode ser considerada boa. Feedback A resposta correta é: apenas I, III e IV.
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