7_Interpolação

Prévia do material em texto

Interpolação
hedle
Máquina de escrever
Prof. MSc. Francisco Hedler Barreto
Introdução
 A tabela abaixo relaciona calor específico da água e temperatura:
temperatura
(C)
20 25 30 35 40 45 50
calor
específico
0.99907 0.99852 0.99826 0.99818 0.99828 0.99849 0.99878
Interpolação 
Qual o calor específico da água a 32.5°?
Qual a temperatura para a qual o calor específico é
0.99837?
Introdução
 Interpolar uma função f(x) consiste em aproximar essa função por
uma função g(x), escolhida dentro de uma classe de funções definida a
priori e que satisfaça algumas propriedades.
 A função g(x) é então usada no lugar da função f(x).
Interpolação é o método que permite construir um 
novo conjunto de dados a partir de um conjunto 
discreto de dados pontuais previamente conhecidos.
Quando temos os valores numéricos de uma
função não conhecida para um conjunto de
pontos e queremos o valor desta função em um
ponto não tabelado.
Aproximação de funções complexas por funções
mais simples. Suponha que tenhamos uma
função, mas que seja complicada demais para que
seja possível avaliá-la de forma eficiente.
Podemos, então, escolher alguns dados pontuais
da função complicada e tentar interpolá-los com
uma função mais simples.
Interpolação
Conceito de Interpolação
 Sejam (n+1) pontos distintos: x0, x1, ..., xn, chamados nós da interpolação,
e os valores de f(x): f(x0), f(x1), ..., f(xn).
 A interpolação de f(x) que veremos consiste em obter uma função g(x) tal
que:
g(x0) = f(x0), 
g(x1) = f(x1), 
.
.
.
g(xn) = f(xn).
 Graficamente:
x
f(x)
x0 x1 x2 x3 x4 x5
(x0,f(x0))
(x1,f(x1))
(x2,f(x2))
(x3,f(x3))
(x4,f(x4))
(x5,f(x5))
f(x)
g(x)
Conceito de Interpolação
 Consideraremos aqui que g(x) é uma função polinomial. Contudo, a
função g(x) escolhida pode ser: racional, trigonométrica, etc.
 Existem outras formas de interpolação, por exemplo via fórmula de
Taylor, via polinômios de Hermite, etc.
A aproximação de funções por polinômios é uma das ideias mais 
antigas da análise numérica, e ainda uma das mais usadas. É 
bastante fácil entender por que razão isso acontece. Os 
polinômios são facilmente computáveis, suas derivadas e 
integrais são novamente polinômios, suas raízes podem ser 
encontradas com relativa facilidade, etc.
Conceito de Interpolação
Interpolação Polinomial
Interpolação Polinomial
 Veremos aqui como aproximar uma função usando Métodos de
Interpolação Polinomial.
 Tais métodos são usados como uma aproximação para uma função f(x),
principalmente, nas seguintes situações:
a) não conhecemos a expressão analítica de f(x), isto é, sabemos apenas
seu valor em alguns pontos x0, x1, x2, . . ., (esta situação ocorre muito
frequentemente na prática, quando se trabalha com dados
experimentais) e necessitamos manipular f(x) como, por exemplo,
calcular seu valor num ponto, sua integral num determinado intervalo,
etc.
b) f(x) é extremamente complicada e de difícil manejo. Então, às vezes, é
interessante sacrificar a precisão em benefício da simplificação dos
cálculos.
 Dados os pontos: (x0, f(x0)), (x1, f(x1)), ..., (xn, f(xn)), queremos aproximar
f(x) por um polinômio pn(x), de grau menor ou igual a n, tal que
f(xk) = pn(xk), k=0,1,2,..., n
n
nn
xaxaxaaxp  ....)( 2
210
Obter os 
coeficientes
Interpolação Polinomial
Formas de Obter Pn(x)
 Há várias maneiras para obter pn(x). Discutiremos:
 Resolução de Sistema Linear
 Forma de Lagrange
 Teoricamente ambas conduzem ao mesmo polinômio. A escolha entre
elas depende de condições como estabilidade do sistema linear, tempo
computacional, etc.
Resolução do Sistema Linear
Uma das formas de obter o polinômio é a resolução do sistema linear
obtido a partir das condições de interpolação:
)(....
.......................
)(....
)(....
n
n
nnnn
n
n
n
n
xfxaxaxaa
xfxaxaxaa
xfxaxaxaa



2
210
11
2
12110
00
2
02010
Obter os coeficientes:
a0 , a1 , a2, ..., an
13
Interpolação Linear
14
Interpolação Linear
15
Para algum 𝜀 ∈ (𝑥0, 𝑥1)
16
Interpolação Linear
Exemplo 1:
17
18
19
Exemplo: 2
Considere a função 𝑓 𝑥 =
1
(1+𝑥)
tabelada nos pontos,
conforme segue:
Determine o polinômio interpolador de f(x), avalie f(1,5) e a
cota máxima para o erro de truncamento.
𝒙𝒊 1 2
𝑓(𝒙𝒊) 1/2 1/3
20
21
22
Interpolação quadrática
23
Resolução do Sistema Linear
Exemplo 1: Encontrar o polinômio de grau menor ou igual a 2 que interpola
os dados da tabela abaixo:
Resolução:
Temos então
x -1 0 2
f(x) 4 1 -1
2
2102
xaxaaxp )(
14222
100
411
2102
02
2102



aaafp
afp
aaafp
)()(
)()(
)()(
Resolvendo o sistema linear, temos:








142
1
4
210
0
210
aaa
a
aaa
32371
210
//  aaa
2
2
3
2
3
7
1 xxxp )(
polinômio que interpola 
f(x) em x0, x1 e x2
Resolução do Sistema Linear
26
Exemplo 2: Encontrar o polinômio de grau menor ou igual a 3 que interpola
os dados da tabela abaixo:
x 0.1 0.2 0.3 0.4
f(x) 5 13 -4 -8
342442
3
10633010505010115010660 xxxxp ).().().(.)( 
27
Forma de Lagrange
 Sejam (n+1) pontos distintos: x0, x1, ..., xn, chamados nós da interpolação,
e os valores de f(x): f(x0), f(x1), ..., f(xn).
 A interpolação de f(x) consiste em obter uma função pn(x) tal que:
onde os polinômios Lk(x) são de grau n.
IMPORTANTE:
Como os f(xi)são dados, devemos no 
Método de Lagrange determinar os 
Lk(x).
)()(.......)()()()()( xLxfxLxfxLxfxp
nnn

1100
Polinômios de Lagrange:
 Para cada i, queremos que a condição pn(xi)=f(xi)seja satisfeita, ou seja:
Por exemplo:
)()()(.......)()()()()(
iinniiin
xfxLxfxLxfxLxfxp 
1100
)()()(.......)()()()()(
000110000
xfxLxfxLxfxLxfxp
nnn

1 0 0
)()()(.......)()()()()(
111111001
xfxLxfxLxfxLxfxp
nnn

0 1 0
p(x) passe sobre os pontos (xi, f(xi))
Forma de Lagrange
 A forma mais simples de se satisfazer esta condição é impor:
para isso, definimos Lk(x) por:






ik
ik
xL
ik se
se
)(
1
0
)())(())((
)())(())((
)(
nkkkkkkk
nkk
k
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
xL







1110
1110
1)(
kk
xL
kise)(  0
ik
xL
Forma de Lagrange
 Então, a forma de Lagrange para o polinômio interpolador é:
onde,
)()(.......)()()()()( xLxfxLxfxLxfxp
nnn

1100



n
k
kkn
xLxfxp
0
)()()(








 n
kj
j
jk
n
kj
j
j
k
xx
xx
xL
0
0
)(
)(
)(
Forma de Lagrange
Exemplo 1: Encontrar o polinômio de grau menor ou igual a 2 que interpola
os dados da tabela abaixo:
Resolução:
Devemos interpolar os 3 pontos com uma forma de Lagrange. Segue:
x -1 0 2
f(x) 4 1 -1
)()()()()()()()()( xLxfxLxfxLxfxLxfxp
k
kk 221100
2
0
2


Forma de Lagrange
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
   60212
01
2
2
2010
21
3
2
2101
20
2
1202
10
2
2
2101
20
1
2
2010
21
0
xxxx
xxxx
xxxx
xL
xxxx
xxxx
xxxx
xL
xxxx
xxxx
xxxx
xL

























)(
)(
)(
)())(())((
)())(())((
)(
nkkkkkkk
nkk
k
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
xL







1110
1110
Enfim, a forma de Lagrange da interpolação:





 













 

6
1
2
2
1
3
2
4
222
2
xxxxxx
xp )()(
2
2
3
2
3
7
1 xxxp )(
Mesmo resultado obtido pela resolução do sistema linear
35
36
Exemplo:
Considere a função 𝑓 𝑥 =
(3+𝑥)
(1+𝑥)
definida nos pontos, conforme 
a tabela: 
Determine o polinômio interpolador de f(x), usando a fórmula
de Lagrange, avalie f(0,25) e um limitante superior para o erro.
𝒙𝒊 0,1 0,2 0,4
𝑓(𝒙𝒊) 2,8182 2,6667 2,4286
37