SIMULADO modelagem matematica

Prévia do material em texto

1a 
 Questão 
Acerto: 0,0 / 1,0 
 
Calcule o valor aproximado de x na equação √ x +√ x−1 =3x+x−1=3, utilizando o 
método de Newton com chute inicial igual a 6 e com 5 iterações. 
 
 0,2777 
 
0,1777 
 2.7777 
 
0,32000 
 
1.7777 
Respondido em 16/04/2022 18:46:09 
 
Explicação: 
Gabarito: 2.7777 
Justificativa: 
Substituindo os dados da questão e fazendo a i=xi=x, temos a seguinte função, na qual 
desejamos encontrar a raiz: 
f(x)=√ x +√ x−1 −3f(x)=x+x−1−3 
Aplicando o método de Newton: 
import numpy as np 
import matplotlib.pyplot as plt 
 
def f(x): 
return np.sqrt(x) + np.sqrt(x-1) -3 
 
def df(x): 
return 1/2*((1/np.sqrt(x)) + (1/np.sqrt(x-1))) 
 
x= np.linspace(1,10,1001) 
y= f(x) 
plt.plot(x,y) 
 
def newton(chute, iteracoes=10): 
raiz = chute 
 
for i in range(iteracoes): 
raiz = raiz - f(raiz)/df(raiz) 
return raiz 
 
print(`x=¿,newton(6,5)) 
 
x=2.777777777777777 
 
 
2a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Suponha que um computador arredonde para 2 casas decimais os números escritos na 
notação de ponto flutuante e considere a função: 
f(x)=(cosx)21+senxf(x)=(cosx)21+senx 
Sabendo que o valor exato de f(1,5)=0,002505013f(1,5)=0,002505013, determine 
o erro relativo no cálculo de f(x)f(x), onde sen(1.5)sen(1.5) e cos(1.5)cos(1.5) são, 
aproximadamente, igual a 1 e 0,071. 
 
 
1 
 
0,02 
 
0,003 
 
0,03 
 0,002 
Respondido em 16/04/2022 18:46:18 
 
Explicação: 
Gabarito: 0,002 
Justificativa: Tem-
se: (cos(1,5))2=0,005(cos(1,5))2=0,005 e sen(1.5)+1=2sen(1.5)+1=2, 
logo g(1.5)=0,005/2=0,0025g(1.5)=0,005/2=0,0025 
e=0,002505013−0,00250,002505013=0,002e=0,002505013−0,00250,002505013=0,002 
 
 
3a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Desejamos calcular √ 12 12 utilizando interpolação, para isso usamos os seguintes dados: 
 
O valor encontrado, utilizando Newton com 2 casas decimais é: 
 
 
3.23 
 
3.94 
 
3.76 
 
3.67 
 3.49 
Respondido em 16/04/2022 18:58:47 
 
Explicação: 
Executando o seguinte script: 
 
 
 
4a 
 Questão 
Acerto: 0,0 / 1,0 
 
Quando queremos ajustar a uma linha reta um conjunto de m dados é necessário 
determinar dois parâmetros e para isso devemos resolver um sistema Ax=b, onde a 
matriz A é na ordem mxn e m é número de linhas e n é o número de colunas, então 
podemos afirma que n é igual a: 
 
 
5 
 
3 
 m 
 2 
 
4 
Respondido em 16/04/2022 18:59:57 
 
Explicação: 
Como temos 2 parâmetros a quantidade de colunas de A é diretamente relacionada a 
quantidade de parâmetros , ou seja 2. 
 
 
5a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor da integral de x - cos(x) no 
intervalo de 1 a 2. Utilize o método de Romberg, com aproximação até n = 2: 
 
 1,43217 
 
1,41217 
 
1,49217 
 
1,47217 
 
1,45217 
Respondido em 16/04/2022 18:48:59 
 
Explicação: 
A resolução do problema de integração numérica em um intervalo definido requer que o 
enunciado forneça alguns elementos importantes, como: 
- A função a ser integrada; 
- A técnica de integração a ser utilizada; 
- O valor inicial do intervalo de integração; 
- O valor final do intervalo de integração; e 
- A quantidade de partições (n) 
Neste exemplo, temos que: 
- A função a ser integrada é f(x) = x - cos(x); 
- A técnica de integração a ser utilizada é a Extrapolação de Romberg; 
- O valor inicial do intervalo de integração é 1; 
- O valor final do intervalo de integração é 2; e 
- A quantidade de partições é dada por 2n, sendo n = 2. 
Assim, aplicando os conceitos para o método de Romberg, temos o código em Python 
indicado a seguir: 
 
import scipy as sp 
from scipy import integrate 
func = lambda x: x - sp.cos(x) 
result = integrate.romberg(func, 1, 2, show=True) 
 
 
6a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor da integral de x - sen(x) no 
intervalo de 1 a 2. Utilize o método de Romberg, com aproximação até n = 2: 
 
 
0,56355 
 
0,50355 
 
0,52355 
 0,54355 
 
0,58355 
Respondido em 16/04/2022 18:51:10 
 
Explicação: 
A resolução do problema de integração numérica em um intervalo definido requer que o 
enunciado forneça alguns elementos importantes, como: 
- A função a ser integrada; 
- A técnica de integração a ser utilizada; 
- O valor inicial do intervalo de integração; 
- O valor final do intervalo de integração; e 
- A quantidade de partições (n) 
Neste exemplo, temos que: 
- A função a ser integrada é f(x) = x - sen(x); 
- A técnica de integração a ser utilizada é a Extrapolação de Romberg; 
- O valor inicial do intervalo de integração é 1; 
- O valor final do intervalo de integração é 2; e 
- A quantidade de partições é dada por 2n, sendo n = 2. 
Assim, aplicando os conceitos para o método de Romberg, temos o código em Python 
indicado a seguir: 
 
import scipy as sp 
from scipy import integrate 
func = lambda x: x - sp.sin(x) 
result = integrate.romberg(func, 1, 2, show=True) 
 
 
 
7a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor de y(3) em face da resolução da EDO de 
1ª ordem y' = cos(y) + sen(y), sendo y(0) = 0,3. Considere h = 0,30. Utilize o método de 
Runge-Kutta: 
 
 
2,509 
 2,309 
 
2,409 
 
2,609 
 
2,709 
Respondido em 30/03/2022 10:05:28 
 
Explicação: 
A resolução do problema de valor inicial em equações diferenciais ordinárias de primeira ordem 
requer que o enunciado forneça alguns elementos importantes, como: 
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita; 
- O ponto inicial; 
- O ponto final; 
- A quantidade de intervalos (ou o tamanho de cada intervalo); e 
- O valor da função no ponto inicial. 
Neste exemplo, temos que: 
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita é y' = cos(y) + sen(y); 
- O ponto inicial é 0; 
- O ponto final é 3; 
- O tamanho de cada intervalo é 0,3; e 
- O valor da função no ponto inicial é 0,3. 
Isso posto, utilize o método indicado a seguir: 
 
Executando o código indicado, você obterá a resposta 2.308 
 
 
8a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor de y(2) em face da resolução da EDO de 
1ª ordem y' = y2, sendo y(0) = 0,3. Considere h = 0,20. Utilize o método de Runge-Kutta: 
 
 
0,79 
 
0,81 
 
0,83 
 
0,77 
 0,75 
Respondido em 16/04/2022 18:53:01 
 
Explicação: 
A resolução do problema de valor inicial em equações diferenciais ordinárias de primeira ordem requer 
que o enunciado forneça alguns elementos importantes, como: 
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita; 
- O ponto inicial; 
- O ponto final; 
- A quantidade de intervalos (ou o tamanho de cada intervalo); e 
- O valor da função no ponto inicial. 
Neste exemplo, temos que: 
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita é y' = y2; 
- O ponto inicial é 0; 
- O ponto final é 2; 
- O tamanho de cada intervalo é 0,2; e 
- O valor da função no ponto inicial é 0,3. 
Isso posto, utilize o método indicado a seguir: 
 
Executando o código indicado, você obterá a resposta 0.74 
 
 
9a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor de y(0,4) em face da resolução da EDO de 
1ª ordem y' = 2.sen(y), sendo y(0) = 3. Considere h = 0,1. Utilize o método de Euler: 
 
 3,084 
 
3,384 
 
3,484 
 
3,184 
 
3,284 
Respondido em 16/04/2022 18:59:48 
 
Explicação: 
Como vimos neste tema, a resolução do problema de valor inicial em equações diferenciais ordinárias de 
primeira ordem requer que o enunciado forneça alguns elementos importantes, como: 
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita; O ponto inicial; O ponto final; A 
quantidade de intervalos (ou o tamanho de cada intervalo); e O valor da função no ponto inicial. 
Neste exemplo,temos que: 
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita é y' = 2.sen(y); O ponto inicial é 0; 
O ponto final é 0,4; O tamanho de cada intervalo é 0,1; e O valor da função no ponto inicial é 3. 
Isso posto, utilize o método indicado a seguir: 
 
 
 
 
10a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor de y(1) em face da resolução da EDO de 
1ª ordem y' = y2, sendo y(0) = 0,3. Considere h = 0,10. Utilize o método de Runge-Kutta: 
 
 
0,489 
 
0,449 
 
0,469 
 0,429 
 
0,509 
Respondido em 16/04/2022 18:48:13 
 
Explicação: 
A resolução do problema de valor inicial em equações diferenciais ordinárias de primeira ordem 
requer que o enunciado forneça alguns elementos importantes, como: 
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita; 
- O ponto inicial; 
- O ponto final; 
- A quantidade de intervalos (ou o tamanho de cada intervalo); e 
- O valor da função no ponto inicial. 
Neste exemplo, temos que: 
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita é y' = y2; 
- O ponto inicial é 0; 
- O ponto final é 1; 
- O tamanho de cada intervalo é 0,1; e 
- O valor da função no ponto inicial é 0,3. 
Isso posto, utilize o método indicado a seguir: 
 
Executando o código indicado, você obterá a resposta 0.428 .