Vetores_Aula_2

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Vetores
Definição
Seção 12.2
Fábio S. Bemfica
EC&T - UFRN
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Definição de Vetores
Um vetor indica uma quantidade (tais como deslocamento, velocidade
ou força) que têm módulo, direção e sentido.
Exemplo: Na figura abaixo o vetor deslocamento ~v tem como ponto
inicial A e ponto final B, podendo ser indicado pela notação ~v = ~AB.
Note que o vetor ~v = ~AB tem o mesmo módulo direção e sentido que
~u = ~CD e, portanto, dizemos que ~u e ~v são equivalentes e escrevemos
~u = ~v .
O vetor nulo, denotado ~0, é o único vetor que tem comprimento zero
e não tem direção espećıfica.
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Combinando Vetores
Definição de Adição de Vetores
Se ~u e ~v são posicionados de maneira que o ponto inicial de ~v é o ponto
final de ~u, então a soma ~u + ~v é o vetor que vai do ponto inicial de ~u até
o ponto final de ~v
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Multiplicação por Escalar
Definição de Multiplicação por Escalar
Se c é um escalar e ~v um vetor, então a multiplicação por escalar c~v é o
vetor cujo comprimento é |c | vezes o comprimento de ~v e cuja direção e
sentido são os mesmos de ~v se c > 0 e tem a mesma direção porém
sentido oposto ao de ~v se c < 0. Se c = 0 ou ~v = ~0, então c~v = ~0.
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Multiplicação por Escalar
Dois vetores são paralelos se um é um múltiplo do outro.
O vetor −~v = (−1)~v é o oposto, ou inverso, de ~v . Isso implica em
~u − ~v = ~u + (−~v) .
Ou seja, podemos desenhar o inverso de ~v e depois usar a lei do
triângulo (b) ou do paralelogramo (a).
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Componentes de um Vetor
Se posicionarmos o ponto inicial de um vetor ~v na origem de um sistema
de coordenadas, então o ponto final deste vetor vai estar num ponto com
coordenadas (a, b) ou (a, b, c).
No R2: ~v = (a, b);
No R2: ~v = (a, b, c).
Vetor Posição: Seja P(a, b, c) um ponto no R3. Sendo O a origem
do sistema de coordenadas, o vetor ~v = ~OP = (a, b, c) é o vetor
posição do ponto P e é uma representação do vetor (a, b, c).
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Componentes de um Vetor
Dados os pontos A(x1, y1, z1) e B(x2, y2, z2), o vetor ~v com representação
~AB é
~v = (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1) .
Exemplo
Encontre o vetor representado pelo segmento de reta orientado com ponto
inicial A(2,−3, 4) e ponto final B(−2, 1, 1)
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Norma ou módulo ou Comprimento de um Vetor
A norma ou módulo ou comprimento de um vetor ~v é denotado ||~v ||.
Norma de um vetor
O comprimento de um vetor em um espaço bidimensional ~v = (a1, a2) é
||~v || =
√
a21 + a
2
2 .
O Comprimento ou norma de um vetor no espaço tridimensional
~v = (a1, a2, a3) é
||~v || =
√
a21 + a
2
2 + a
2
3 .
Lembre-se de que podemos pensar ~v como um vetor com ińıcio na origem
e final num ponto P(a1, a2, a3) e use, então, a fórmula da distância entre
dois pontos.
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Soma, Diferença e Multiplicação por Escalar
Se ~v = (v1, v2) e ~u = (u1, u2), então
~v + ~u = (v1 + u1, v2 + u2) , ~v − ~u = (v1 − u1, v2 − u2) e c~v = (cv1, cv2) .
Da mesma forma, para vetores no R3
(v1, v2, v3) + (u1, u2, u3) = (v1 + u1, v2 + u2, v3 + u3)
(v1, v2, v3)− (u1, u2, u3) = (v1 − u1, v2 − u2, v3 − u3)
c(v1, v2, v3) = (cv1, cv2, cv3) .
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Soma, Diferença e Multiplicação por Escalar
Exemplo
Se ~v = (4, 0, 3) e ~u = (−2, 1, 5), determine ||~v || e os vetores ~v + ~u, ~v − ~u,
3~u e 2~v + 5~u.
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Propriedades dos Vetores
Se ~u, ~v e ~w são vetores do R3 e c e d são escalares, então
1. ~v + ~u = ~u + ~v 2. ~v + (~u + ~w) = (~v + ~u) + ~w
3. ~v +~0 = ~v 4. ~v + (−~v) = ~0
5. c(~v + ~u) = c~v + c~u 6 (c + d)~v = c~v + d~v
7. (cd)~v = c(d~v) 8. 1~v = ~v
Essas são 8 das 10 condições para que um espaço seja um espaço vetorial.
As 2 restantes também são obedecidas mas não vamos entrar nos detalhes
aqui.
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Vetores da Base Canônica
Os vetores especiais
~ı = (1, 0, 0) ~ = (0, 1, 0) ~k = (0, 0, 1)
são chamados de vetores da base canônica do R3. Note que qualquer
vetor do R3 pode ser escrito como uma combinação linear desses três
vetores:
~v = (v1, v2, v3) = (v1, 0, 0) + (0, v2, 0) + (0, 0, v3)
= v1(1, 0, 0) + v2(0, 1, 0) + v3(0, 0, 1) = v1~ı + v2~ + v3~k .
Exemplo
Escreva (1,−2, 6) como uma combinação linear dos vetores da base
canônica.
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Vetor Unitário ou Versor
Um vetor unitários ou versor é um vetor cujo módulo é 1. Os vetores ~ı, ~
e ~k são exemplos de versores. Se ~v 6= ~0, então o vetor unitário que tem a
mesma direção e sentido que ~v é
~n =
1
||~v ||
~v =
~v
||~v ||
.
Note que, como ||~v || é um número, então
||~n|| =
∣∣∣∣∣∣∣∣ ~v||~v ||
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 1||~v || ||~v || = 1.
Exemplo
Determine o versor do vetor 2~ı− ~− 2~k .
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Aplicações - Força Resultante
Exemplo
Uma carga de peso 100N está pendurada em dois cabos. Determine as
tensões (forças) ~T1 e ~T2 em ambos os fios e seus módulos.
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