Rep_3a_Prova (1)

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA 
CENTRO DE C IÊNCIAS EXATAS E DA NATUREZA 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 
INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA L INEAR – TURMA 04 
PERÍODO 2021.2 
REPOSIÇÃO DA 3a. PROVA – ARQUIVO D E QUESTÕES 
 
 
1. Se um operador linear 𝑇 ∶ ℘1(𝑥) → ℘1(𝑥) possui o polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑥 + 1 como 
autovetor associado ao autovalor 𝜆 = 2 e, além disso, satisfaz 𝑇(1) = 𝑥, então 
pode-se concluir que 
a) 𝑇(𝑎𝑥 + 𝑏) = (𝑎 − 𝑏)𝑥 + 2𝑎. 
b) 𝑇(𝑎𝑥 + 𝑏) = (𝑎 + 𝑏)𝑥 + 𝑎. 
c) 𝑇(𝑎𝑥 + 𝑏) = (𝑎 + 𝑏)𝑥 + 2𝑏. 
d) 𝑇(𝑎𝑥 + 𝑏) = (𝑎 − 𝑏)𝑥 + 𝑏. 
e) 𝑇(𝑎𝑥 + 𝑏) = (𝑎 + 𝑏)𝑥 + 2𝑎. 
2. Se 𝜆 = −5 e 𝜆 = 2 são os autovalores do operador linear 𝑓:ℝ2 → ℝ2 definido por 
𝑓( 𝑥, 𝑦 ) = ( 𝑎𝑥 + 2𝑦, 𝑏𝑥 − 4𝑦 ), então 𝑎 e 𝑏 valem, respectivamente, 
a) 1 e 5. b) −3 e 5. c) −5 e 2. d) 2 e −3. e) 1 e 3. 
3 . Dentre os vetores elencados abaixo, identifique aquele que é autovetor do 
operador linear 𝑓 ∶ ℘2(𝑥) → ℘2(𝑥) definido por 𝑓( 𝑝(𝑥) ) = −𝑥𝑝"(𝑥) + 𝑝′(𝑥) + 2𝑝(𝑥), 
onde a linha representa derivação . 
a) 𝑥2 − 2𝑥 + 3 
b) 𝑥2 + 2 
c) −𝑥2 + 3𝑥 + 1 
d) 𝑥2 − 4𝑥 
e) 𝑥2 − 2𝑥 
4. Suponha que um espaço vetorial 𝑉 tem como base o conjunto 𝛼 = {𝑢, 𝑣}, onde os 
vetores 𝑢 e 𝑣 são autovetores de um operador linear 𝑇, associados ao mesmo 
autovalor 𝜆 ≠ 0, e considere as seguintes afirmações: 
A) 𝑇(𝑢) = 𝑇(𝑣). 
B) Todo vetor de 𝑉 é autovetor de 𝑇 associado ao autovalor 𝜆. 
C) 𝑇 é um operador linear diagonalizável. 
Dessa forma, é correto concluir que 
a) Apenas a af irmação B) é verdadeira . 
b) As afirmações A) e C) são verdadeiras . 
c) Apenas a afirmação A) é verdadeira. 
d) As afirmações B) e C) são verdadeiras. 
e) Apenas a afirmação C) é verdadeira. 
5. Considere o operador linear 𝑔 sobre o ℝ4, dado por 
𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = ( 𝑥 − 2𝑦 − 3𝑧 + 3𝑡,−𝑦 + 4𝑧 + 5𝑡,−2𝑧 − 𝑡, 0). 
Sabendo-se que a matriz 
 
( 
1 0
0 −1
 0 0
 0 0
0 0
0 0
−2 0
 0 0
 ) 
 
representa esse operador em relação à base formada pelos vetores �⃗� = (1, 0, 0, 0), 
𝑣 = (−5,−12, 3, 0), �⃗⃗� = (3, 6, −1, 2) e 𝑝 = (1, 1, 0, 0), então, ordenadamente, essa 
base corresponde ao conjunto 
a) {𝑣 , 𝑝 , �⃗� , �⃗⃗� }. b) {�⃗� , 𝑝 , 𝑣 , �⃗⃗� }. c) {�⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� , 𝑝 }. d) {�⃗⃗� , �⃗� , 𝑣 , 𝑝 }. e) {𝑝 , �⃗⃗� , �⃗� , 𝑣 }. 
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