Análise Combinatória

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ANÁLISE COMBINATÓRIA 
BELO HORIZONTE / MG 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
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Sumário 
1 A TRAJETÓRIA DA CONTAGEM: DOS POVOS ANTIGOS ÀS ESCOLAS 
MODERNAS ............................................................................................................... 3 
1.1 Um breve histórico do nascimento da Análise Combinatória ............................ 3 
1.2 O ensino da Análise Combinatória no ensino Médio. ............................................ 9 
2 O ENSINO E A APRENDIZAGEM DE ANÁLISE COMBINATÓRIA ................... 13 
2.1 Tipos de problemas ......................................................................................... 13 
2.2 Estratégias de Resolução ................................................................................ 16 
2.3 O Raciocínio Combinatório e a Resolução de problemas ............................... 19 
2.4 Os principais obstáculos .................................................................................. 20 
2.5 Alternativas para o ensino da Análise Combinatória ....................................... 22 
3 COMBINAÇÕES E PERMUTAÇÕES: DA PRÁTICA AOS CONCEITOS ........... 24 
3.1 Permutações ................................................................................................... 24 
4 PRINCÍPIO DE INCLUSÃO-EXCLUSÃO ............................................................ 29 
5 BINÔMIO DE NEWTON ..................................................................................... 41 
5.1 Fórmula do Binômio de Newton ...................................................................... 42 
5.2 Termo Geral do Binômio de Newton ............................................................... 43 
5.3 Binômio de Newton e Triângulo de Pascal ...................................................... 44 
6 NOÇÕES DE PROBABILIDADE: ESPAÇO AMOSTRAL E EVENTO ................ 45 
6.1 Espaço Amostral (S) ........................................................................................ 46 
7 PROBABILIDADE CONDICIONAL ..................................................................... 47 
8 FÓRMULA DA PROBABILIDADE CONDICIONAL ............................................. 48 
9 DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL ................................................................................ 50 
10 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS .............................................................................. 52 
11 ESPERANÇA, VARIÂNCIA E MOMENTOS .................................................... 58 
12 BIBLIOGRAFIA BÁSICA ................................................................................. 64 
 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
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1 A TRAJETÓRIA DA CONTAGEM: DOS POVOS ANTIGOS ÀS ESCOLAS 
MODERNAS1 
Um breve tratamento histórico é feito, discutindo o caminho da Análise 
Combinatória no decorrer do tempo, assim como as motivações do seu estudo e sua 
contribuição para o desenvolvimento humano. No presente, fatos interessantes que 
ocorreram na história da matemática são levantados, e grandes personalidades que 
contribuíram para o desenvolvimento desta disciplina são mencionadas. Ainda assim, 
é apresentado como essa importante área da matemática vem sendo trabalhado nas 
escolas no ensino médio, com foco nas escolas públicas. 
 
 
 
Fonte: www.uel.br 
1.1 Um breve histórico do nascimento da Análise Combinatória 
É difícil saber ao certo qual foi o primeiro problema que levou ao surgimento da 
Análise Combinatória. De acordo com Morgado et al. (2006, p. 02), o desenvolvimento 
do binômio (1+x) n está entre os primeiros problemas estudados ligados ao tema. O 
caso n = 2 pode ser encontrado nos Elementos de Euclides, em torno de 300 a.C. Os 
demais casos estão intimamente ligados ao triângulo de Pascal, que por sua vez, já 
era conhecido por Shih-Chieh, na China, (em torno de 1300) e antes disso pelos hindus 
e árabes. Sabe-se que o matemático hindu Báskhara (1114 − 1185?), àquele da 
 
1 Texto extraído: http://uenf.br/posgraduacao/matematica/wp- 
content/uploads/sites/14/2017/09/16092015Carlos-Alberto-Lopes-dos-Santos-de-Oliveira.pdf 
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conhecida "fórmula de Baskhara", sabia calcular o número de permutações, de 
combinações e de arranjos de n objetos. 
No entanto, segundo Wieleitner (1928, p. 183-184), o problema mais antigo 
relacionado à teoria dos números e a Análise Combinatória, é o da formação dos 
quadrados mágicos. Conhecemos como quadrados mágicos (de ordem n) um grupo 
ordenado de números 1, 2, 3, ..., n2 dispostos em um quadrado n x n de forma que 
cada linha, coluna ou diagonal deste quadrado possua a mesma soma. Tais quadrados 
aparecem na história com diversos significados e certamente os apresentamos aos 
nossos alunos algum dia (Pelo menos o caso n = 3 que é o mais conhecido). A Figura 
1 mostra tal quadrado: 
 
 
O primeiro quadrado mágico conhecido é o Lo Shu e é usado como talismã pelo 
povo Chinês. Segundo Needham (1959, p. 58) data de aproximadamente do século I 
d.C., mas que pode ser tão antigo a ponto de ter sido escrito por volta de 2000 a.C. 
(BERGE, 1971, p. 1-11). Aliás é dessa época, na História da China, uma lenda que diz 
que uma nobre tartaruga apareceu no lendário rio Lo carregando nas suas costas nove 
números ordenados em uma grelha. Os nove números estão posicionados de tal 
maneira que, quando somados na horizontal, na vertical ou na diagonal, o resultado é 
sempre 15, que é o número de dias que a Lua Nova leva a tornar-se Lua Cheia. Os 
chineses sempre acreditaram que o universo é baseado em princípios matemáticos e 
números. Eles são a chave para as forças invisíveis que governam o céu e a terra. A 
representação do Lo Shu pode ser vista na figura 2 abaixo: 
 
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Fonte: (VAZQUEZ, 2011) 
 
O diagrama de Lo Shu está associado às nove salas do palácio mítico de Ming 
Thang. Segundo Vazquez (2011), este quadrado foi uma inovação da época, pois, nela 
a produção de qualquer aritmética simples era motivo de euforia. Acredita-se que a 
ideia dos quadrados mágicos chegou até os árabes pelos chineses, e que estes fizeram 
grandes contribuições e construíram quadrados mágicos de ordem 3, 4, 5 e 6. Além de 
criar os quadrados de ordem superior ao Lo Shu, os árabes criaram regras para a 
construção de quadrados de uma determinada ordem. Regras para a construção de 
quadrados das demais ordens também foram apresentados durante a história. 
Os quadrados mágicos não foram admirados apenas pelas suas atribuições 
místicas e misteriosas. Muitos foram os matemáticos que se admiraram com as 
combinações numéricas e se empenharam na busca de procedimentos que levassem 
a construção destes maravilhosos objetos. Um grande avanço aconteceu no 
desenvolvimento dos quadrados mágicos nos séculos X e XI, chegando a ter métodos 
de construção por volta do século XII. Nesse período, os estudiosos usavam técnicas 
que, entre outras, partiam de um quadrado mágico original para posteriormente criar 
outros de mesma ordem. Contudo, mais tarde chegaram a métodos para criar 
quadrados mágicos sem a necessidade do original. (VAZQUEZ; NOGUTI, 2004). 
 
 
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Fonte: galleryhip.com 
 
Mas o que tem os quadrados mágicos com a Combinatória? Não é difícil 
perceber que estes trazem exemplos bem antigos de um importante ramo da Análise 
Combinatória que é fixar condições para contagem dos arranjos (modos em que se 
pode colocar os números). 
Outra ocorrência da aplicação da Combinatória na China antiga pode ser 
observada no sistema “I Ching” (Yi Jing) (1182−1135 a.C.), um dos trabalhos mais 
antigos dos chineses. Este pode ser compreendido e estudado tanto como um oráculo 
quanto como um livro de sabedoria. Na própria China, é alvo do estudo diferenciado 
realizado por religiosos, eruditos e praticantes da filosofia de vida taoísta. Este sistema 
baseia-se em 2 símbolos: 
• Yang (linhas inteiras) 
• Yin (linhaspartidas) 
 
Estes são combinados em Trigramas (conjunto de três símbolos), ou 
Hexagramas (conjunto de seis símbolos). (Figura 4 e 5) 
 
 
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Fonte: www.uenf.br 
 
 A cada um destes símbolos é atribuído um significado. Os chineses 
sabiam que existiam 8 trigramas e 64 hexagramas diferentes. 
 Junto a esses, outros problemas antigos carregavam de forma implícita o 
raciocínio da contagem. Vejamos: 
• O velho problema do lobo, da cabra e do repolho (cerca de 775 d.C.) que é 
atribuído a Alcuíno de York1 e hoje é estudado na teoria dos Grafos. Tal 
problema diz: 
"Um certo homem tinha que transportar para o outro lado de um rio, um lobo, 
uma cabra e um repolho. O único barco que encontrou podia carregar 
somente duas coisas de cada vez. Por esta razão ele procurou por um plano 
que pudesse levar todos para o outro lado totalmente ilesos. Diga a ele, quem 
é o competente, como pode ser possível transportá-los seguramente" 
(VAZQUEZ; NOGUTI, 2004) apud (EVES, 1997) 
 
• A poesia infantil abaixo de tempos remotos, com autor desconhecido, carrega 
traços de um problema de combinatória: 
"Quando eu estava indo para St. Ives, eu encontrei um homem com sete 
mulheres, cada mulher tem sete sacos, cada saco tem sete gatos, cada gato 
tem sete caixas, Caixas, gatos, sacos e mulheres, quantos estavam indo para 
St. Ives?" (BIGGS, 1979) 
 
• O problema 79 do Papiro Egípcio de Rhind (cerca de 1650 a.C) é semelhante 
ao proposto com o poema anterior: 
Há sete casas, cada uma com sete gatos, cada gato mata sete ratos, cada 
rato teria comido sete safras de trigo, cada qual teria produzido sete hekat2 
de grãos; quantos itens têm ao todo?"(VAZQUEZ, 2011) 
• Mesmo Arquimedes de Siracusa (287 a.C. – 212 a.C.), um dos maiores 
matemáticos de toda a antiguidade, publicou entre todos os trabalhos uma 
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espécie de "quebra-cabeça “que intrigou matemáticos e historiadores. 
Conhecido como Stomachion (pronuncia-se: sto-mock-yon), aparentemente 
um jogo, semelhante ao conhecido Tangran, é um arranjo de quatorze peças 
que formam um quadrado (Figura 6). O objetivo consistia em mover tais peças 
formando o quadrado. De certo, Arquimedes deveria saber que de várias 
formas isso poderia ser feito. 
 
 
Fonte: mathwolfram.com 
 
A Análise Combinatória se enraizou realmente na matemática por volta do 
século XV II. Novamente, de acordo com Wieleitner (1928, p. 184), o estudo da teoria 
da Combinatória só apareceu separado da teoria dos números, no final desse século 
juntamente com o cálculo de probabilidades. Nessa época, surgiu em um curto espaço 
de tempo, três publicações: Traité du triangle arithmétique (escrito em 1654 e publicado 
em 1665) de Pascal, Dissertatio de arte combinatória (1666) de Leibniz e Ars magna 
sciendi sive combinatoria (1669) de Athanasius Kircher. Além disso, veio a ser 
divulgado trabalhos de Wallis (1673), Frénicle de Bessy (1693), J. Bernoulli (1713) e 
De Moivre em seu Doctrine of chances (Londres,1718) que tinham um caráter análogo. 
Os resultados mais importantes proporcionados pela teoria combinatória foram 
fórmulas para a transformação de séries e as fórmulas de Lagrange para as funções 
estudadas por Rothe em 1795 e por Juan Federico Ptaff em 1797. (WIELEITNER, 
1928, p. 188) 
Segundo Vazquez (2011), em 1666, Leibniz descreveu a Combinatória como 
sendo “o estudo da colocação, ordenação e escolha de objetos”, enquanto Nicholson, 
em 1818, definiu-a como “o ramo da matemática que nos ensina a averiguar e expor 
todas as possíveis formas através das quais um dado número de objetos pode ser 
associado e misturado entre si”. Segundo Morgado et al. (2006), podemos dizer que a 
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Análise Combinatória é a parte da Matemática que analisa estruturas e relações 
discretas. 
Até os dias atuais, a Análise Combinatória tem ganhado muita importância. Tal 
fato deve-se ao advento da Matemática Discreta na segunda metade do século XX. 
Alguns autores defendem que a Matemática Discreta seja a Matemática para o nosso 
tempo e seu crescimento deve-se principalmente às muitas aplicações de seus 
princípios em negócios e para seus vínculos próximo à ciência da computação, tais 
como: algoritmos de computador, linguagens de programação, criptografia e 
desenvolvimento de softwares. 
 
 
Fonte:www.mundoeducacao.bol.uol.com.br 
1.2 O ensino da Análise Combinatória no ensino Médio. 
Diante do cenário atual, entre as competências e habilidades que são exigidas 
de nossos alunos, envolvido nos seus processos de formação, figura o ensino da 
Análise Combinatória. O conteúdo aparece nos currículos geralmente no 2º ou 3º o ano 
do ensino médio e tem como objetivo o desenvolvimento do raciocínio combinatório e 
recursivo necessário para o exercício da cidadania dentro do mundo em que vivem. 
Batanero, Godino e Navarro-Pelayo (1997) apud (KAPUR, 1970) descrevem as 
principais razões a favor ao ensino da Combinatória no ensino básico: 
• Uma vez que não depende do Cálculo, permite considerar problemas adequados 
para diferentes níveis, podendo ser discutidos com alunos problemas ainda não 
resolvidos, de modo que descubram a necessidade de criar novas matemáticas. 
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• Pode ser usado para treinar os alunos na enumeração, a realização de conjecturas, 
a generalização, otimização e sistemas de pensamento. 
• Pode ajudar a desenvolver diversos conceitos, tais como a aplicação, a ordem e as 
relações de equivalência, função, programa, conjunto, subconjunto, produto 
cartesiano, . . . 
 
Pode haver muitas aplicações em diferentes campos, tais como Química, 
Biologia, Física, Comunicação, Probabilidade, Teoria dos números, gráficos. 
Além de suas várias aplicações, a Análise Combinatória, desenvolve no aluno 
um espírito crítico e responsável, possibilitando-o a adquirir condições para progredir 
com segurança no trabalho ou em estudos superiores. Por isso, o estudo da 
Combinatória merece atenção especial no ensino médio. 
De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs), que auxiliam as 
equipes escolares na execução de seus trabalhos, é justificado um aprofundamento da 
Análise Combinatória nos seguintes trechos: 
"Estatística e Probabilidade lidam com dados e informações em conjuntos 
finitos e utilizam procedimentos que permitem controlar com certa segurança 
a incerteza e mobilidade desses dados. Por isso, a Contagem ou análise 
combinatória é apenas parte instrumental desse tema. A Contagem, ao 
mesmo tempo que possibilita uma abordagem mais completa da 
probabilidade por si só, permite também o desenvolvimento de uma nova 
forma de pensar em Matemática denominada raciocínio combinatório. Ou 
seja, decidir sobre a forma mais adequada de organizar números ou 
informações para poder contar os casos possíveis não deve ser aprendido 
como uma lista de fórmulas, mas como um processo que exige a construção 
de um modelo simplificado e explicativo da situação "(BRASIL, 2000, p. 126) 
"As habilidades de descrever e analisar um grande número de dados, realizar 
inferências e fazer predições com base numa amostra de população, aplicar 
as ideias de probabilidade e combinatória a fenômenos naturais e do 
cotidiano são aplicações da Matemática em questões do mundo real que 
tiveram um crescimento muito grande e se tornaram bastante complexas. 
Técnicas e raciocínios estatísticos e probabilísticos são, sem dúvida, 
instrumentos tanto das Ciências da Natureza quanto das Ciências Humanas. 
Isto mostra como será importante uma cuidadosa abordagem dos conteúdos 
de contagem, estatística e probabilidade no Ensino Médio, ampliando a 
interface entre o aprendizado da Matemática e das demais ciências e 
áreas."(BRASIL, 2000, p. 44-45) 
Percebe-se no segundo trecho do documento apresentado, uma reafirmação do 
que foi exposto no referencial históricosobre a dimensão que hoje admite as ideias de 
Probabilidade e Combinatória. Ainda, expõe-se imprescindível a compreensão dessas 
ciências para a interdisciplinaridade entre as faces do conhecimento. No final, atenta-
se para o cuidado de abordar tais conceitos para o desenvolvimento do aluno. 
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Para o ensino fundamental, em outro documento, também é possível ver a 
preocupação com o Ensino da Combinatória ainda nos anos iniciais incorporado ao 
item Tratamento de Informação: 
"Relativamente à combinatória, o objetivo é levar o aluno a lidar com 
situações-problema que envolvam combinações, arranjos, permutações e, 
especialmente, o princípio multiplicativo da contagem."(BRASIL, 1997, p. 40) 
 
Se de um lado os parâmetros apresentados dizem o que deve ser feito, por 
outro, o como ser feito geralmente figura um obstáculo para professores. No estudo 
dessas competências, alunos do Ensino Médio e também do Superior apresentam 
muitas dificuldades; tomam a Análise Combinatória um dos temas mais difíceis da 
Matemática, e mesmo professores evitam a todo custo lecionar o conteúdo. Se o 
fazem, muitos agem com insegurança e não conseguem com o aluno, uma 
aprendizagem significativa do assunto. 
Em uma matéria da revista Cálculo (setembro de 2013) sobre os tópicos de 
Matemática que não gostam de ensinar, professores experientes montaram uma 
espécie de ranking onde a Análise Combinatória ficava com a medalha de prata, abaixo 
do binômio de Newton e acima dos polinômios. 
". . .. Assim como o estudante não gosta de algumas disciplinas, ou de alguns 
assuntos de certa disciplina, muitos professores não gostam de ensinar certos 
tópicos. . .. Ao perguntar para três professores experientes quais tópicos não 
gostam de ensinar, surge uma lista com o binômio de Newton bem no topo, 
juntinho da análise combinatória."(VIANA, 2013) 
 
 Ainda, um dos professores ressalta: 
". . . (Eu) não gostava de ensinar análise combinatória, probabilidade e 
binômio de newton, porque, no ensino médio, os alunos têm dificuldade em 
acompanhar o conteúdo que vão acabar vendo de novo na faculdade, nas 
aulas de estatística." 
 
Ao que parece, a aversão em ensinar algum conteúdo, com foco na 
combinatória, constitui-se em proporção considerável com o despreparo e 
desconhecimento do professor. Seja esse na forma de transmitir o que sabe ou mesmo 
na falta de pré-requisitos para lecionar a disciplina. 
Nesse sentido, é de se levar em conta que em um curso de licenciatura de 
matemática, em geral, a Análise Combinatória e a Probabilidade têm um tímido espaço 
no currículo. Disciplinas que abordam tais tópicos costumam figurar entre uma ou duas 
que compõe a grade obrigatória em um curso de licenciatura e ainda nessa 
consistência, não se tem uma abordagem em como o raciocínio discreto deve ser 
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desenvolvido na prática com os alunos. Com isso, professores recorrem a livros de 
outros autores, cursos de aperfeiçoamento e oficinas específicas na área. 
Resultante ou não desse contexto, a metodologia que costuma ser utilizada na 
maioria das aulas e livros didáticos, acaba resumindo-se na aplicação de fórmulas, 
tentando "encaixar” os problemas, de modo que os alunos acabam por decorando 
alguns formatos e, na maioria dos casos, não conseguem entender o uso de tais e nem 
mesmo o porquê de as estarem utilizando. 
De acordo com Schliemann, Carraher e Carraher (2010), ao realizar 
observações não sistemáticas de aulas sobre análise combinatória, verifica-se que o 
ensino escolar se limita quase sempre ao treinamento no uso de fórmulas e algoritmos 
para encontrar o número de arranjo, combinações ou permutações sem proporcionar 
que os alunos derivem as referidas fórmulas pelo uso da manipulação dos elementos. 
Ainda mais, além dessa importância exagerada ao uso dessas fórmulas, os 
alunos pouco são apresentados a situações reais que motivem o estudo do assunto. 
Situações de aplicação na vida real, como exemplo, geração de placas de automóveis, 
números de telefones (celular e fixo), CPF, número de contas, etc. são algumas ideias 
que poderiam contextualizar problemas de combinatória. 
A importância da Combinatória, com aplicações crescentes, implica que seja 
repensado o seu lugar na escola. Com o quadro apresentado, justifica-se pensar em 
como amenizá-lo e contribuir para que a formação dos alunos se aproxime do que se 
espera com os Parâmetros Curriculares. Assim, a seguinte pesquisa sugere trabalhar 
a combinatória dando ênfase à resolução de problemas, assim como foi motivado a 
sua origem, com foco no raciocínio recursivo e espera-se que assim tais problemas 
sejam, no mínimo, atenuados. 
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Fonte:www.todamateria.com.br 
2 O ENSINO E A APRENDIZAGEM DE ANÁLISE COMBINATÓRIA 
Objetiva-se neste capítulo, entender um pouco como funciona o ensino e a 
aprendizagem da Análise Combinatória. Neste, são abordados os tipos comuns de 
problemas, procedimentos básicos de resolução, principais dificuldades encontradas 
por alunos e alternativas para favorecer um melhor ensino de combinatória. 
2.1 Tipos de problemas 
Segundo Batanero, Godino e Navarro-Pelayo (1997), problemas combinatórios 
simples podem ser divididos, sistematicamente, em três tipos: 
• De partição, 
• De colocação, 
• De seleção. 
 
Os problemas de partição envolvem dividir grupos em subgrupos, dentro das 
condições especificadas, verificando também a existência destes. Em Oliveira e 
Fernández (2010, p. 172), bom livro com diversos exercícios, encontramos: 
Exemplo: Em Maceió entraram em cartaz 4 filmes distintos e 2 peças de teatro. 
Se agora o Pedro Vítor tem dinheiro para assistir exatamente a um filme e uma peça 
de teatro, diga quantos são os possíveis programas que Pedro Vítor pode fazer. 
 
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A divisão dos grupos pode ser pensada da seguinte maneira: Do grupo dado, 
contendo 4 filmes e 2 peças de teatro, formaremos dois subgrupos. Um deles e 
composto de 1 filme e 1 peça de teatro, que ele possivelmente pode assistir, e outro 
grupo contendo 3 filmes e 1 peça de teatro que ele não assistir. 
Denotando por f1, f2, f3 e f4 os quatro filmes que estão em cartaz e por t1 e t2 
as peças de teatro, um aluno iniciante no curso de combinatória poderia listar as 
seguintes possibilidades (Tabela 1): 
 
 
Observe que ao escolher o grupo que contém o filme e a peça que ele assiste, 
automaticamente é determinado o subgrupo contendo as opções que ele não assiste. 
Os problemas de colocação trazem situações nas quais n elementos, diferentes 
ou não, devem ocupar m lugares. Para este tipo, devemos considerar as peculiaridades 
de cada problema que influenciarão no resultado final, como, por exemplo, se os 
elementos são iguais ou não, se os lugares possuem ordenação, se existe ordem para 
que os elementos sejam colocados ou mesmo se algum lugar fica vazio. 
Vejamos este outro problema na página seguinte do mesmo livro: 
Exemplo: De quantas maneiras 2 pessoas podem estacionar seus carros numa 
garagem de 10 vagas? 
Temos 2 elementos (carros) para 10 vagas (lugares). A primeira pessoa a entrar 
no estacionamento encontra 10 vagas vazias e estaciona em alguma delas (digamos 
na mais próxima da entrada), a segunda pessoa entra e se vê diante de 9 vagas. Para 
em alguma delas. Com o mesmo procedimento anterior, se o aluno pudesse chamar 
as vagas de v1, v2, v3, . . ., v10 e listasse todas as possibilidades, veria que 
independentemente da vaga que o primeiro carro estaciona, o segundo teria 9 opções 
de escolha. Com um pouco mais de atenção, veria que é diferente ter o primeiro carro 
próximo da entrada e o segundo na vaga do fundão e o contrário (primeiro carro na 
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vaga do fundão e o segundo próximo à entrada). Para a ilustração dos casos, pode-se 
imaginar o par ordenado (vi, vj) com {i,j} {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, de modo que a 
primeira coordenada representasse a vaga escolhida pelo primeiro carro e a segunda 
vaga pelo segundo. Assim, a tabela 2 mostra os possíveis casos: 
 
Concluiria, assim, que há 90 maneiras de se realizar a situação descrita. 
Por último, temos os problemas de seleção. Geralmente, no Ensino Médio, são 
os que mais se abordam. 
Os problemas de seleção estão relacionados à ideia de amostras que podem 
configurar agrupamentos ordenados ou não, com repetição ou não de elementos. 
Exemplo: Quer se eleger uma comissão formada por três membros: presidente, 
vice-presidente e secretário entre 8 pessoas que compõe o conselho pedagógico de 
uma escola. Quantos são os possíveis comitês que podem ser formados? 
Listar todos os possíveis casos neste problema pode ser uma alternativa, mas 
acontece que ao começar a desenvolver tal esquema, os alunos geralmente percebem 
o padrão que se apresenta. Ao dizer que Sílvio é o presidente, por exemplo, sabe que 
agora são sete as opções para vice, e escolhido o vice, são seis as opções para 
secretário. Para cada candidato selecionado como presidente dispomos de sete 
opções para vice, visto que o mesmo não poderá ocupar dois cargos distintos. Desta 
forma, temos 56 possibilidades de formação de um agrupamento contendo um 
presidente e um vice. Seguindo o mesmo raciocínio, para cada um destes 
agrupamentos, são seis as opções do secretário. Assim, temos 336 maneiras (8 · 7 · 
6) diferentes de formar a comissão. 
É preciso salientar que apesar de mencionar que os problemas podem ser 
divididos em tipos, não exatamente para cada tipo há uma forma, e somente uma, de 
resolução. A intenção de dividir os problemas se configura mais em uma estratégia de 
análise dos problemas, entendendo sua natureza, do que em uma estratégia de 
 
 
 
 
 
 
 
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resolução. Inclusive, há problemas que podem ser encaixados em mais de um tipo dos 
que foram listados, sem prejuízo na estratégia utilizada na sua resolução. 
Aos poucos, os próprios alunos, cada um a seu tempo, aprendendo com seus 
acertos e erros, começam a substituir a construção de tabelas e esquemas, 
completamente ou parcialmente, por soluções aritméticas. Todavia, esta prática deve 
partir do aluno. A transição entre essas fases possibilita que ele, em seguida, seja 
apresentado ao Princípio Multiplicativo de forma natural, compreendendo o sentido que 
o produto entre as opções representa. Adiante, permite pensar em problemas um 
pouco mais elaborados, empregando sentido aos métodos que deverá utilizar. 
2.2 Estratégias de Resolução 
Muitos são os procedimentos sugeridos por diversos autores como estratégia na 
resolução de problemas de Análise Combinatória. Não cabe aqui, portanto, 
procedimentos infalíveis que resolveriam qualquer problema. Em pesquisa, foram 
consultados dois textos que servem de base para discorrer sobre tais estratégias. 
Em sua pesquisa, Fernandes e Correia (2007), identificaram quatro tipos de 
estratégias utilizadas pelos alunos, em uma amostragem que fizeram, de forma isolada 
ou concomitantemente, para resolver os problemas de combinatória: 
• A enumeração, 
• O diagrama de árvore, 
• O uso de fórmulas, 
• “Operação” numérica 
 
A enumeração, como o próprio nome sugere, consiste em enumerar as 
possibilidades e os casos do que o problema refere, tentando contar todas os diferentes 
agrupamentos ou mesmo perceber um padrão entre os primeiros listados que ajude a 
resolver o problema. Penso que é o método ao qual o principiante recorre, sem culpa, 
tentando organizar o pensamento. 
O diagrama de árvore (ou de possibilidades) é a representação dos 
agrupamentos possíveis através de um esquema, que em geral, lembra galhos de 
árvore. É uma forma de enumeração com maior ganho pois os “riscos” que ligam os 
elementos mostram como estes podem se agrupar. Com melhor organização, a 
contagem é facilitada e também propicia o pensamento recorrente (recursivo) sem que 
seja preciso completar todo o diagrama. 
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Cabe nessa hora dizer que as duas estratégias são fundamentais e necessárias 
no desenvolvimento do raciocínio combinatório e que elas devem ser utilizadas por 
qualquer aluno que se inicia pelo estudo da Combinatória. A enumeração e o diagrama 
de possibilidades permitem ao aluno “enxergar” o que acontece na formação dos 
agrupamentos e também perceber algum tipo de regularidade (se for o caso). Porém, 
sabemos que nem sempre é possível listar todos os casos. Faz se, então, necessário 
evoluir de um esquema enumerativo à contagem dos casos por um raciocínio 
combinatório. 
O uso de fórmulas é um dos objetos de discussão deste trabalho. Muitos alunos, 
ao tentar resolver um problema de combinatória, recorrem à estas como ferramenta 
única e almejam, substituindo alguns valores, encontrar à solução. Não há problema 
nenhum com o uso de fórmulas pelos alunos, isso constitui-se em uma forma 
organizada e prática de resolução, mas se estes às usam desconhecendo seu 
significado, aplicando-as vagamente, a aprendizagem é lesada e o que fica é falsa 
impressão de que os problemas são resolvidos com uma receita que sempre funciona. 
Tal questão poderia ser estendida em outras várias áreas da Matemática, onde 
o professor mesmo às vezes sem querer, acaba reproduzindo no aluno só a aplicação 
de fórmulas. Nestes muitos casos, o aluno nem imagina por que as usa e muito menos 
por que funciona. Acontece, porém, que é preciso maturidade para enxergar o que 
esconde uma fórmula ou expressão matemática. O professor poderia argumentar 
então, que seus alunos não entenderiam tal demonstração ou mesmo não ser 
importante para o que ele objetiva, mas certamente o aluno que compreende o 
significado de uma fórmula e consegue compreender por que ela tem êxito, se enche 
de uma aprendizagem muito mais significativa e percebe na Matemática muito mais do 
que um jogo de fórmulas complicadas. 
No âmbito da Combinatória, as tais fórmulas usadas nem seriam tão difíceis de 
perceber. É possível que consigamos chegar nestas sem esforço algum, partindo da 
resolução de problemas, e esse é o objetivo central do trabalho. No capítulo seguinte 
é visto como é possível. 
Por último, a estratégia “operação” numérica compreende um raciocínio direto 
que envolve operações aritméticas básicas, envolvendo os dados fornecidos pelo 
problema. Penso eu que este seria o passo intermediário entre as estratégias iniciais 
de enumeração e construção do diagrama de árvore e da aplicação de fórmulas. Eu 
poderia ilustrar com um exemplo: 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
18 
Novamente, em Oliveira e Fernández (2010, p. 172) encontramos o problema: 
Exemplo: Se numa loja de doces existem 9 tipos distintos de balas e 5 tipos de 
chiclete, diga quantas escolhas podemos fazer para comprar somente uma bala e um 
chiclete. 
O aluno iniciante poderia começar organizando seu pensamento enumerando 
quais escolhas poderia fazer. Denotando por b1, b2, b3, b4, b5, b6, b7, b8 e b9 os 
noves tipos distintos de balas e por c1, c2, c3, c4 e c5 os cinco tipos distintos de 
chicletes, o aluno poderia pensar: 
A bala b1 poderia ser escolhida junto o chiclete c1, ou com o chiclete c2, ainda 
com c3, c4 ou c5. Por sua vez a bala b2 também poderia com cada um dos chicletes. 
E assim com cada uma das outras balas. A enumeração poderia evoluir para um 
diagrama de possibilidades (Figura 7): 
 
 
Fonte: www.uenf.br 
 
Não seria preciso completar o diagrama para que o aluno percebesse o que 
acontece. Talvez só nas primeiras vezes. Com pouco tempo perceberia que se para 
cada bala tem-se um chiclete como escolha, logo basta fazer 9 · 5. Em um próximo 
problema semelhante, esse recorreria à operação numérica da multiplicação e talvez 
substituísse seu diagrama, uma vez que compreendeu como estes grupos se formam. 
Aliás, quantomais problemas os alunos resolvem, cada problema com sua dificuldade, 
melhor é para que estes façam conexão entre os diferentes tipos de problemas. 
O livro Lima et al. (2010, p. 90) traz alguns princípios básicos que servem como 
estratégia para resolver problemas de combinatória. Tais recomendações são 
conhecidas carinhosamente como “axiomas de Morgado2”. 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
19 
 
Postura: Devemos sempre nos colocar no papel da pessoa que deve fazer a 
ação solicitada pelo problema e ver que decisões devemos tomar 
A intenção deste comportamento é que a pessoa trate tal problema como se 
fosse seu e se imagine no lugar de quem resolve o problema. Tal medida ajuda a 
compreender e tomar os melhores caminhos para atacar o problema. 
 
Divisão: Devemos sempre que possível, dividir as decisões a serem tomadas 
em decisões mais simples. 
Deste modo, podemos enxergar melhor o problema caminhando em passos. Se 
a questão é formar um casal, uma boa divisão seria em escolher o homem e depois a 
mulher. Se o problema é de quantos modos pode se colorir uma bandeira, é razoável 
pensarmos em como colorir cada listra, e assim em diante. 
 
Não adiar dificuldades: Pequenas dificuldades adiadas costumam se 
transformar em imensas dificuldades. Se uma das decisões a serem tomadas for mais 
restrita que as demais, essa é a decisão que deve ser tomada em primeiro lugar. 
É comum em problemas de combinatória haver restrições sobre os grupos ou 
subgrupos formados. Este princípio nos diz que tais decisões devem ser primeiramente 
observadas. 
2.3 O Raciocínio Combinatório e a Resolução de problemas 
O raciocínio combinatório pode ser entendido como um tipo de pensamento 
ligado à contagem que segue além da enumeração de elementos de um conjunto e se 
estende à contagem de grupos de objetos, ou seja, de subconjuntos, tendo o raciocínio 
multiplicativo como base. 
Para distanciarmos da prática do ensino da Combinatória através de fórmulas 
sem sentido e aplicadas de forma mecânica, é necessária uma abordagem que 
proporcione ao aluno entender os procedimentos adotados, tendo estes significados, 
partindo de conhecimentos prévios tantos inerentes à escola ou não. 
A pesquisa sugere que através da resolução de problemas, o conhecimento 
matemático ganha sentido quando os alunos se deparam com situações desafiadoras 
e são motivados para encontrar diferentes estratégias de resolução, produzindo 
conhecimentos e desenvolvendo habilidades. O foco dado à resolução de Problemas 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
20 
de contagem, de modo específico, pode levar ao aluno a uma abordagem que priorize 
o desenvolvimento do pensamento combinatório, ao contrário da ênfase dada nas 
fórmulas para resolução, proporcionando que os conteúdos sejam aprendidos de forma 
natural à medida que este resolve exercícios. 
Segundo encontrado em Morgado et al. (2006): 
. . . “à solução de um problema combinatório exige a quase que sempre a 
engenhosidade e a compreensão plena da situação descrita, sendo esses um 
dos encantos dessa parte da Matemática, em que problemas fáceis de 
enunciar revela-se por vezes difíceis, exigindo uma alta dose de criatividade 
e compreensão para sua solução” 
 
A resolução de um problema não pode limitar-se ao simples encontro de sua 
solução. Não há segurança de que o conhecimento envolvido seja absorvido. É 
necessário desenvolver habilidades que permitam estudar resultados e comparar 
diferentes soluções. 
A prática voltada à resolução de problemas, quando de forma investigativa, 
ajuda a proporcionar que estas habilidades sejam melhores desenvolvidas. Estimular 
o aluno a questionar e analisar o problema e sua resposta, a formular novo problema 
a partir de determinadas informações, propicia o desenvolvimento do ensino-
aprendizagem para a construção do conhecimento significativo. 
2.4 Os principais obstáculos 
Muitos são as dúvidas e os problemas encontrados quando se trabalha a Análise 
Combinatória com os alunos. É comum vê-los perguntando sobre o tipo de 
agrupamento envolvido em cada situação ou mesmo com dificuldades de estabelecer 
padrões e generalizar soluções em problemas onde a contagem direta é muito 
trabalhosa. Têm se ainda, a dificuldade em estar certo sobre a solução encontrada, ou 
mesmo de desconfiar se esta está incorreta. 
Feito a pesquisa, verifica-se que em Batanero, Godino e Navarro-Pelayo (1997) 
e Fernandes e Correia (2007) é possível encontrar, de acordo com os autores, os 
principais deslizes apresentados pelos alunos ao resolver questões envolvendo o 
raciocínio combinatório: 
 
 • Interpretação incorreta do enunciado 
A má interpretação do enunciado faz com que o aluno não resolva a questão proposta 
como deveria, principalmente em questões de combinatória. Entender o problema, 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
21 
compreender as restrições, conscientizar sobre as decisões que podem ou não ser 
tomadas, é de fundamental importância para o desenvolvimento da questão. Talvez 
seja o erro mais frequente cometido pelos alunos. 
 
• Cálculo aritmético incorreto 
Entender o enunciado, montar a expressão que calcula o problema e fazer um cálculo 
aritmético errado, seja usando fórmula ou não, é também um deslize que os alunos 
cometem. Certamente menor do que não compreender o enunciado. Tal questão deve 
ser observada com cuidado pelo professor e pelo aluno. 
 
• Utilização incorreta da estratégia escolhida 
Utilizar-se de estratégias de forma incorreta é um problema. Se o aluno, por exemplo, 
ignora uma restrição de um problema e a deixa pra depois, certamente está se tornará 
um problema mais tarde. Em cima é visto, nas recomendações do Mestre Morgado, 
para não adiar dificuldades. 
 
Um obstáculo comum em um problema de Combinatória é quando ao contar o 
número de maneiras de se fazer algo depara-se com um “depende”. Esse impasse 
acontece porque possivelmente o problema é atacado com a estratégia errada. 
Vejamos um exemplo: 
 
Exemplo: Quantos são os números pares de dois dígitos distintos? 
Um aluno poderia pensar: Um número é par quando termina com 0, 2, 4, 6 ou 8. 
Sendo assim, há 5 escolhas possíveis para os algarismos das unidades. Para as 
dezenas, o número de possibilidade de escolha fica em “depende”. Observando bem, 
o número de maneiras de se escolher os algarismos das dezenas está totalmente 
dependendo de qual número foi escolhido para as unidades, pois o primeiro algarismo 
não pode ser zero. 
Se 2, 4, 6, ou 8, figuram a última casa, uma vez que não se pode repetir os 
dígitos, tem-se 8 possibilidades de números para as dezenas (Todos de 1 até 9, menos 
aquele que será usado nas unidades). Contudo, se 0 figura a última casa, 9 é o número 
de possibilidades para as dezenas. 
 Problemas assim, precisam ser divididos em casos ou mesmo serem atacados 
de outra maneira. Quando se percebe um bom número de “dependes” nas decisões a 
serem tomadas, és uma boa hora para tentar trocar a estratégia. Quanto mais 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
22 
problemas o aluno resolver, mais se arma de diferentes ferramentas para solucionar 
um problema. 
 
• Escolha de uma estratégia pouco eficaz ou ineficaz Os mesmos 
comentários anteriores são válidos. 
• Deixar de considerar alguns agrupamentos possíveis 
Deixar de perceber alguns agrupamentos levará a contagem incompleta de todos os 
casos. 
• Não ser capaz de observar padrões e generalizar soluções 
 Quase sempre não será possível ao aluno que resolve problemas de combinatória 
listar todos os casos para poder contá-los. Se ele não for capaz de observar padrões 
e generalizar soluções através de um diagrama ou esquema, pouco produzirá com a 
maioria dos problemas que incorporam essas habilidades. 
 
Faz-se necessário aos professores compreender e estar cientes de como 
acontecem os erros mais frequentes dos alunos, a fim de buscarem melhores 
estratégias para tentar minimizá-losou mesmo evitá-los. 
2.5 Alternativas para o ensino da Análise Combinatória 
Para que a aprendizagem ocorra de forma significativa, é preciso que o aluno 
construa sentido entre os objetos de estudo. Batanero, Godino e Navarro-Pelayo 
(1997) afirmam, que para ensinar Análise Combinatória, deve-se levar em conta o 
raciocínio recursivo e os procedimentos sistemáticos de enumeração, ao invés de focar 
em aspectos algorítmicos e em definições combinatórias. 
Como alternativas para o ensino da Análise Combinatória, tomando como base 
os principais obstáculos citados na seção anterior, podem-se citar: 
• Tomar o problema como ponto de partida, único, como objeto de indagação 
desafiante. 
O problema deve ser o início. Ler e refletir o questionamento buscando sua 
solução, faz com que o aluno crie hipóteses, formule conjecturas, e estabeleça 
resultados de acordo com seu conhecimento prévio. A resolução de problemas motivou 
o desenvolvimento de quase todas as áreas da Matemática, dentro do seu contexto. O 
aluno precisa se sentir desafiado a resolver a questão. 
• Incentivar a investigação e a estruturação do pensamento 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
23 
Dentro de sua curiosidade e interesse, o professor deve aguçar no aluno o 
desejo de investigação e de buscar alternativas para a solução de problemas. Ainda, o 
aluno precisa aprender a organizar este raciocínio. Problemas de combinatória, no 
geral, são tidos como difíceis, pois requerem do aluno a capacidade de pensar e fazer 
suposições, ao contrário de reproduzir passos “ensaiados”. 
• Utilização de materiais manipulativos 
Grande é o ganho que o discente pode ter, se aliado à teoria que estuda, puder 
ter o contato com um objeto concreto, tocável, onde ele possa fazer uma associação 
com o modelo estudado. No capítulo seguinte, a utilização de tais materiais para o 
ensino da Análise Combinatória é melhor discutido. 
• Valorização das diferentes estratégias e formas de registro 
Com o acerto e o erro, o aluno aprende a melhor forma de resolver os problemas. 
Assim, é preciso que o professor valorize todo o tipo de estratégia que o aluno utiliza e 
as pondere de modo a orientar por que uma funcionou e a outra não, dentro do contexto 
de cada problema. Dizer ao aluno que deste ou outro jeito de resolver está errado e 
que o modo certo é outro, exclui a possibilidade de discutir o porquê de uma maneira 
funcionar e a outra não, deixando de lado maior ganho com o debate coletivo. 
• Formação de um ambiente propício à aprendizagem 
A importância da formação de um ambiente propício à aprendizagem é uma das 
peças fundamentais para uma aprendizagem significativa. Os alunos precisam estar 
motivados e comprometidos com a atividade, para que alcance seu objetivo. Para isso, 
o professor precisa se certificar que o ambiente colabora, não apresentando distrações 
ou empecilhos para a aplicação do plano de aula. 
• Atividades que tragam questões envolvendo situações com as quais o 
aluno está familiarizado. 
Trazer questões com os quais o aluno está familiarizado ajuda a despertar o 
interesse pela resolução do problema. A contextualização de um problema que usa 
situações que o aluno vivencia, permite mostrá-lo a relação estreita que há entre o que 
se estuda e o que se vive, e isso ajuda no despertar do seu interesse. O professor pode 
utilizarse de situações de aplicação na vida real, como exemplo, geração de placas de 
automóveis, números de telefones (celular e fixo), CPF, número de contas, etc. 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
24 
3 COMBINAÇÕES E PERMUTAÇÕES: DA PRÁTICA AOS CONCEITOS2 
Se existe um conteúdo da Matemática que precisa ser reformulado na Educação 
Básica é o relacionado a “análise combinatória” (combinações e permutações), 
a começar pelo próprio nome, pela abordagem de ensino e pelo timing. 
A análise combinatória é parte um grupo de competências que inclui, mas não 
se limita a lógica, teoria de conjuntos, funções, relações, métodos de contagem, 
sequências, teoria de números, probabilidade, grafos e criptologia. Matemática 
Discreta ou Matemática Finita seriam denominações mais apropriadas para esse 
conjunto de conteúdo. 
Não obstante o invólucro da disciplina, a abordagem de parte dos livros 
didáticos, em especial dos mais antigos, é intimidadora e confusa, tanto para o 
professor que tem a imposição de tentar ensinar sob o programa vigente, quanto para 
o aluno que termina por tentar a memorização de fórmulas e padrões sem, contudo, 
compreender a razão da aplicação dessas fórmulas. 
Não é incomum livros ou capítulos sobre esse tema iniciarem secamente pelas 
definições e receitas dos casos concretos: para filas, aplique a fórmula A, para pódios, 
use o caso B, e assim sucessivamente. Seria muito mais didático se colocássemos de 
lado um pouco os conceitos e focássemos no ensino da Matemática e nos mecanismos 
cognitivos que devemos desenvolver para resolução dos problemas em sala de aula e 
para vida. 
Para agravar esse cenário, o ensino dessas competências é apresentado 
tardiamente somente aos alunos do ensino médio. Em se tratando dos princípios 
aditivo e multiplicativo, o aluno deveria ter contado com eles durante o ensino 
fundamental para desmistificar sua complexidade e aumentar a familiaridade com a 
natureza dos problemas e das soluções. 
3.1 Permutações 
Em permutações a ordem importa, o que significa que os arranjamentos 1-2-3 e 
3-2-1 são diferentes ainda que contenham os mesmos elementos. Essa é a noção mais 
 
2 Texto extraído: https://conrado.mat.br/metodos-de-contagem/combinacoes-e-permutacoes-parte-i/ 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
25 
importante que você precisa ter em mente quando o assunto é permutação. A seguir 
analisaremos algumas situações. 
Exemplo 1. O cadeado abaixo abre com três combinações de números variando 
de 0 a 39. O primeiro número à direita, o segundo girando à esquerda e o terceiro à 
direita novamente. Quantos segredos possíveis esse cadeado possui? 
 
 
 
Primeiramente, vamos assumir “segredos” como permutações com repetição*. 
Nesse caso teremos 40 possibilidades para o primeiro giro, 40 para o segundo, e 40 
para o último giro. Portanto, há 40 × 40 × 40 = 403 = 64.000 possibilidades. 
Essa solução considera que não exista nenhuma restrição quanto à escolha dos 
números, mas pode haver restrição de um fabricante para outro. Há modelos que não 
suportam combinações de números repetidos (por exemplo, 10-21-10 seria uma 
combinação válida, mas 10–10-21 não). Nesse caso teríamos 40 × 39 × 39 
possibilidades. 
 Alguns autores denominam esse caso particular como arranjo. 
 
Exemplo 2. No padrão de cores RGB uma cor é representada por meio de 
notação hexadecimal, indo de 00 (mais escuro) até FF (mais claro) para o valor de 
cada uma das cores. Esse código tem seis caracteres e cada caractere pode ser uma 
letra de A F ou um número de 0 a 9. Quantos códigos de cores hexadecimais são 
possíveis? 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
26 
Muito provavelmente você já viu na web um código com esse aspecto: 
#FF99CC. Esse é o código hexadecimal de uma cor, onde o tom de vermelho (Red) é 
FF, o de verde (Green) 99 e o de azul (Blue) CC. Como cada caractere assume os 
valores A. F e 0.9, há 16 possibilidades. Portanto, como são 6 caracteres e cada um 
assume até 16 valores, teremos 16 × 16 × 16 × 16 × 16 × 16 = 166 = 16.777.216 cores 
hexadecimais. 
 
Exemplo 3. Paula e Henrique cuidam dos gatos Brutus, Zaratustra, Zoroastra e 
Zuleica. De quantos modos diferentes eles podem organizá-los em quatro comedores? 
Paula pode iniciar pegando qualquer um dos quatro gatos para colocar no 
primeiro comedor. Depois disso pode pegar qualquer um dos três gatos restantes para 
colocar no próximo comedor, e assim pegar um dos outros dois gatos para colocar no 
terceiro comedor. Por fim, resta ao último gato o quarto comedor. Portanto, há4 × 3 × 
2 × 1 = 4! Modos diferentes de organizar os quatro gatos nos comedores, isto é, 24 
modos. 
Repare que a descrição acima refere-se aos modos possíveis para arranjar os 
quatro gatos e que a ordem deles não importa. Por exemplo, o arranjo BrutusZaratustra 
– Zoroastra - Zuleica é diferente de Zaratustra – Zoroastra – Zuleica Brutus. 
 
Mediante isso podemos definir uma permutação de uma lista como qualquer 
rearranjo dessa lista. As palavras-chave para entender a permutação são 
arranjamentos, arranjo, reorganização. 
 
O exemplo 3 ilustra bem o que o denominamos Princípio Multiplicativo, que 
pode ser enunciado basicamente como: se existem x maneiras de fazer algo e y 
maneiras de fazer outra coisa, então existem x × y maneiras diferentes de realizar 
ambas as ações. 
Exemplo 4. Nádia possui seis livros: um de Sociologia, Fisiologia Humana, 
Físicoquímica, Anatomia Humana e dois de Farmacologia. Quantas são as maneiras 
de arranjar esses livros por disciplina em um aparador de livros? 
Essa situação é diferente do exemplo 3, pois há dois livros da mesma disciplina 
e permutações desses livros são equivalentes (redundantes). Se todos os seis livros 
fossem de disciplinas distintas, teríamos 6! Modos de arranjá-los, mas como dois são 
da mesma disciplina, existe uma permutação 2! Causando uma multiplicidade 
indesejável. Para sanar essa situação, precisamos eliminar essa multiplicidade 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
27 
dividindo 6! Por 2! Portanto, a número de maneiras de arranjar os livros por disciplina 
é 6! /2! = 360. 
Exemplo 5. Quantos são os anagramas da palavra BRASIL? 
Os anagramas dessa palavra nada mais são que as reordenações de B-R-A-S-
I-L. 
Desse modo o número de anagramas de BRASIL é 6! = 720. 
Exemplo 6. Quantos são os anagramas da palavra BRASIL que iniciam por 
vogal? 
Nesse caso os anagramas devem iniciar por A ou I, duas possibilidades. Os 
demais caracteres podem assumir 5! Possibilidades. Portanto, 2 × 5! = 240 é o número 
de anagramas de BRASIL que iniciam por vogal. 
Exemplo 7. Na Ginástica, 8 finalistas alternam intensamente suas colocações 
ponto a ponto a cada apresentação. Nesse contexto, quantos arranjamentos ou 
permutações são possíveis? Quantos pódios diferentes podem existir nessa situação? 
 
A resposta à primeira questão é muito parecida com o exemplo 3, mas ao invés 
de comedores, temos colocações. A quantidade de permutações é dada pelo produto 
8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 40.320. 
Por outro lado, a segunda questão é uma restrição da primeira. Como apenas 3 
ginastas sobem ao pódio, teremos 8 × 7 × 6 = 336 possibilidades. 
Comparando as duas respostas perceba que a segunda é um caso especial da 
primeira. A primeira dispunha de 8 objetos (ginastas) para arranjá-los em 8 posições 
(8 escolhe 8), enquanto a segunda dispunha dos mesmos 8 objetos, mas para 
arranjálos em 3 posições (8 escolhe 3). 
Repare também que 8 × 7 × 6 = 8 × 7 × 6 × 5! /5! = 8! / (8-3)! Isso não é uma 
coincidência, como veremos mais adiante. 
 
Exemplo 8. Quantas equipes de 4 pessoas podem ser formadas por um grupo 
de 23 pessoas? 
Uma permutação de 4 pessoas escolhidas em 23 é igual a 23! / (23-4)! = 
212.520, porém é preciso observar um ponto. A equipe Cadu-Ana-Bi-Na é equivalente 
a equipe Ana-Cadu-Bi-Na? Sim, a ordem não importa. Entretanto a repetição importa, 
não podemos escolher a mesma pessoa múltiplas vezes para a mesma equipe. 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
28 
Para resolvermos essa questão precisamos retirar as pessoas contadas devido 
a ordem, ou seja, dividir a contagem por 4! Desse modo, a quantidade de equipes de 
4 pessoas tomadas em 23 é igual a 23! / (23-4)!4! = 8.855. 
 
Resumo 
 
 
 
Onde: 
 Uma permutação é uma lista ordenada de itens; 
 Repetição refere-se a um item da lista pode se repetir ou não; 
 n é o número possível de itens selecionáveis; 
 k é o número de itens selecionados; 
 
 
Fonte:www.descomplica.com.br 
 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
29 
4 PRINCÍPIO DE INCLUSÃO-EXCLUSÃO 
Apresentamos aqui o Princípio de Inclusão-Exclusão, que é uma generalização 
da Regra da Soma, usado para contagem via separação em casos não disjuntos. 
Comecemos com um caso simples. 
Proposição 3.1.1. Sejam A e B conjuntos finitos, não necessariamente disjuntos. 
Então |A B| = |A| + |B| − |A ∩ B|. 
 A intuição é a seguinte: quando fazemos |A| + |B|, estamos contando os 
elementos da intersecção duas vezes. Logo, precisamos retirá-los uma vez para obter 
|A B|, veja a Figura 3.1. Uma demonstração seria: 
Demonstração. 
Temos que |A B| = |A (B − A) | = |A| + |B − A|, (3.1) 
Onde na última igualdade usamos a Regra da Soma, pois A e B − A são 
disjuntos. 
Novamente pela Regra da Soma, |B − A| = |B| − |B ∩ A|. Substituindo isto na 
igualdade (3.1), concluímos que |A B| = |A| + |B| − |A ∩ B|. 
 
 
Para três conjuntos, a intuição é parecida: queremos calcular |A B C|. Na 
soma |A|+|B|+|C| as interseções dois a dois aparecem repetidas, então bastaria subtraí-
las? Quase isso. Em |A|+|B|+|C|−|A∩B|−|A∩C|−|B∩C| a intersecção |A ∩ B ∩ C| dos 
três conjuntos foi somada três vezes e subtraída três vezes. Logo, ainda falta adicioná-
la, veja a fórmula (3.2). 
 
Proposição 3.1.2. Sejam A, B e C conjuntos finitos, não necessariamente 
disjuntos. 
Então |A B C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|. (3.2) 
 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
30 
Demonstração. Decompondo cada um dos conjuntos A B e C nas regiões 
hachuradas/pintadas da Figura 3.2, a verificação da igualdade (3.2) se torna fácil. 
Deixamos isso a cargo do leitor. 
 
Exemplo 3.1.3. Quantos são os números entre 1 e 1000 (incluindo 1 e 1000) 
que são múltiplos de 2, 5 ou 7? 
 
Sejam A = {2, 4, 6, . . . , 1000} o conjunto dos múltiplos de 2 menores ou iguais a 
1000, B = {5, 10, 15, . . . , 1000} o conjunto dos múltiplos de 5 menores ou iguais a 
1000, e C = {7, 14, 21, . . . , 994} o conjunto dos múltiplos de 7 menores ou iguais a 
1000. Nosso objetivo é calcular |A B C|. Como os conjuntos A B e C não são 
disjuntos, não podemos usar a Regra da Soma. Usaremos, portanto, a Proposição 
3.1.2. 
Começamos afirmando que o número de múltiplos de um número k de 1 a 1000 
é igual a b 1000 k c, onde b·c é a função piso, ou seja, bxc é o maior inteiro menor 
 
 
 
 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
31 
 
A seguir, o caso geral: 
Proposição 3.1.4. Sejam A1, . . . , An conjuntos finitos. Então 
 
 
 
Demonstração. Indução no número de conjuntos. 
Uma forma muito elegante e sucinta de se escrever a fórmula de Inclusão 
Exclusão é dada por: 
 
Verifique que a expressão acima coincide com a fórmula (3.3). A seguir, veremos 
algumas aplicações do Princípio de Inclusão-Exclusão. Outras aplicações, também 
clássicas, serão deixadas para os exercícios. 
Uma permutação dos números {1, . . ., n} é dita caótica se todos os números 
estão fora de suas posições originais. Por exemplo, para n = 4, a permutação 2413 é 
caótica, mas a permutação 2431 não é, pois, o número 3 está na terceira posição. 
 
Proposição 3.1.5. O número de permutações caóticas dos números {1, . . ., n} é 
dado por 
 
 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
32 
Demonstração. Seja Ai o número de permutações que têm o número i em sua 
posição original e note que estes conjuntos não são disjuntos. Usando o Princípio de 
Inclusão-Exclusão, contaremos que é o número de permutações não 
caóticas. Depois calcularemos o número de permutações caóticas subtraindo este 
número do total de permutações. 
 
Se uma permutação está em Ai, então o i-ésimo número está em sua posição 
original. Para os demais, temos (n − 1)! escolhas. Logo, |Aí | = (n − 1)! 
 
Sejam Se uma permutação está em Ai ∩ Aj , então os números i e j 
estão em suas posições originais, e os demais em quaisquer posições. Logo, |Ai ∩ Aj 
| = (n − 2)! e assim pordiante. 
 
Calculemos cada um dos somatórios que aparecem na fórmula (3.3). 
O primeiro é: 
 
 
 
Aplicando o Princípio de Inclusão-Exclusão (Proposição 3.1.4), temos que 
 
 
Como o total de permutações é n! Temos que o número de permutações 
caóticas é dado por 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
33 
 
 
Concluindo a demonstração: 
 
 
 
Os Números de Stirling de segunda ordem, denotados por S (n, k), são definidos 
como o número de maneiras de distribuir n objetos distinguíveis (numerados, por 
exemplo, ou pessoas) em k urnas indistinguíveis de tal modo que não haja urnas 
vazias. Note que S (n, k) = 0 para k > n, pois, ao distribuir os objetos, necessariamente 
alguma urna ficaria vazia. 
 
Proposição 3.1.6. O Números de Stirling de segunda ordem são dados por 
 
 
 
Demonstração. Sejam A e B conjuntos tais que |A| = n e |B| = k. Afirmamos que 
o número de funções sobrejetoras f: A → B é igual a 
 
 
Denote por Ei o conjunto de todas as funções que não têm o i-ésimo elemento 
de B em sua imagem. Logo, |Ei | = (k − 1) n, |Ei ∩ Ej | = (k − 2) n para i 6= j, e assim 
por diante. Pelo Princípio de Inclusão-Exclusão, temos que 
 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
34 
 
 
Que nos leva a concluir que 
 
 
 
Terminando a prova da afirmação. O Número de Stirling de segunda ordem é o 
número de maneiras para distribuir n objetos distinguíveis em k urnas indistinguíveis, 
de maneira que nenhuma urna esteja vazia. Bem, se a urnas fossem numeradas 
(distinguíveis), o número de maneiras seria exatamente o número de funções 
sobretivas f : A → B, onde |A| = n e |B| = k. Para ver isto, basta pensar que cada objeto 
a é um elemento do conjunto A, e f(a) nos diz para qual urna este objeto deve ir, ou 
seja, B é o conjunto das urnas (numeradas). Entretanto, as urnas são indistinguíveis. 
O que fazer? Usaremos a técnica de relação de equivalência, que já foi aplicada 
repetidas vezes no Capítulo 2. 
 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
35 
 
 
Consideremos, por enquanto, que as urnas sejam numeradas. Seja X o 
conjunto das maneiras de se distribuir os n objetos nas k urnas numeradas. Neste 
caso, temos que: 
 
Pela afirmação anterior. Definamos agora uma relação de equivalência em X. 
Dois elementos em X, ou seja, uas distribuições de objetos nas urnas, serão ditos 
equivalentes se for possível obter uma configuração a partir da outra trocando-se os 
números das urnas. Por exemplo, considere 4 bolas e 3 urnas. A Figura 3.3 mostra três 
configurações. A primeira é equivalente à segunda, mas não à terceira. 
Considerando esta relação de equivalência, cada classe de equivalência em X 
corresponde a uma maneira de distribuir os n objetos distinguíveis nas k urnas 
indistinguíveis. 
De maneiras de permutar as urnas, ou seja, k! Assim, o número de classes de 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
36 
 
 
Os Números de Bell, denotados por Bn, são definidos como o número de 
maneiras de particionar um conjunto com n elementos em subconjuntos não vazios. 
Por exemplo, o conjunto {1, 2, 3} pode ser particionado das seguintes maneiras: 
 
 
Portanto, B3 = 5. Como corolário do resultado anterior, temos que Corolário 
3.1.7. Os Números de Stirling de segunda ordem e os Números de Bell são 
relacionados por 
 
 
Demonstração. Basta notar que o número de urnas k no Número de Stirling de 
segunda ordem corresponde à cardinalidade da partição. Uma partição de um conjunto 
com n elementos pode ter cardinalidade de 1 até n., ou seja, 
 
 
equivalência será dado por , que é igual a 
 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
37 
Observação: Alguns livros escrevem 𝐵𝑛 = ∑ 𝑆(𝑛, 𝑘)
𝑛
𝑘=0 o que não muda nada, 
pois S (n; 0) = 0 para n > 1. Começar de k = 0 no somatório se deve à convenção 
(útil para certos fins) que S (0; 0) = 1 e B0 = 1. 
 
Princípio das Casas dos Pombos 
Nesta seção estudaremos o Princípio das Casas dos Pombos (PCP), também 
chamado de Princípio das Gavetas ou Princípio de Dirichlet.3 
 
Teorema 4.1.1 (PCP). Se n + 1 pombos estão em n casas, então há pelo menos 
uma casa com pelo menos dois pombos. 
Note que o enunciado acima é simplesmente a versão intuitiva de “Sejam A e B 
conjuntos finitos tais que IAI > IBI. Então não existe nenhuma função injetiva 
 
Apesar de um tanto informal, o enunciado do Teorema é mais fácil de memorizar 
e ajuda muito a organizar as ideias na resolução de problemas, e por isso é 
apresentado desta maneira. A seguir, vejamos o chamado Princípio das Casas dos 
Pombos Generalizado. 
 
Teorema 4.1.2 (PCP Generalizado). Sejam 
pombos estão em n casas, então há pelo menos uma casa com pelo menos k + 1 
pombos. 
Note que o PCP generalizado acima implica o Princípio das Casas dos Pombos 
anterior: basta escolher k = r = 1. 
Demonstração. Suponha que o enunciado fosse falso, isto é, para algum n e 
algum k > 1, pudéssemos distribuir kn + r pombos em n casas sem que nenhuma casa 
tivesse mais do que k pombos. Neste caso, como são n casas, cada uma contendo no 
máximo k pombos, pela Regra da Soma teríamos no máximo nk pombos, contradição. 
 
 
Problema 4.1.3. Escolhem-se cinco pontos quaisquer dentro de um 
quadrado de lado 2. Mostre que dentre estes cinco pontos, há dois pontos cuja 
distância entre eles é menor ou igual a 
 
3 Texto extraído de: http://w3.impa.br/~tertu/archives/Princ_Comb_Prob.pdf 
 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
38 
 
Solução: A maior distância em um quadrado é a sua diagonal. Pelo Teorema 
de Pitágoras, para um quadrado de lado 2, a sua diagonal é veja a 
Figura 4.1. 
 
 
 
Como são cinco pontos e quatro subquadrados de lado 1, pelo Princípio das 
Casas dos Pombos, em algum dos subquadrados haverá pelo menos dois pontos. 
Como a diagonal de um subquadrado é distância entre estes dois pontos que 
estão num mesmo subquadrado será menor ou igual a concluindo a solução. 
 
Um roteiro que clarifica bastante os passos a serem feitos é o seguinte: 
 
 
 
 
Por exemplo, no problema anterior, os pombos eram os pontos. Como eram 
cinco “pombos”, o número de casas deveria ser no máximo quatro. Por fim, cada 
subquadrado correspondeu a uma “casa de pombo”. Note que a segunda pergunta do 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
39 
roteiro se refere à quantidade de casas! Apenas no final nos perguntamos quem são 
as casas. Este último passo é o que geralmente demanda um pouco de criatividade. 
É bom enfatizar que o roteiro acima é apenas um método para organizar as 
ideias, não um método de prova. Na hora de escrever a solução, tal roteiro não deve 
ser incluído. 
Vejamos mais um problema com sua respectiva solução. 
 
Problema 4.1.4. Prove que em qualquer conjunto R de 17 inteiros há um 
subconjunto S de 5 elementos com a seguinte propriedade: para qualquer par de 
elementos em S, a soma ou diferença deles é divisível por 7. 
Primeiro vamos seguir o roteiro apresentado para organizar os passos, e só 
depois escreveremos a prova. 
A primeira pergunta do roteiro é “Quem são os pombos? ”. Os pombos serão os 
17 números inteiros do conjunto R, que queremos mostrar quem satisfazem a uma certa 
propriedade. 
A segunda pergunta do roteiro é “Quantas são as casas? ”. Bem, se queremos 
mostrar que 5 elementos de R satisfazem a uma certa propriedade, precisamos que 
sempre haja pelo menos 5 pombos em uma mesma casa. Para que isso aconteça, 
quantas devem ser as casas? Para calcular o número de casas, fazemos a divisão de 
17 por 5, que nos dá 17 = 5 _ 3 + 2. O número de casas deve ter então o quociente 
mais um, que é 3 + 1 = 4. 
A terceira pergunta do roteiro é “Quem são as casas? ”. Esta é a parte que 
envolve imaginação, arte, engenhosidade. É necessário definir as casas de modo que, 
se 5 pombos caiam numa mesma casa, então a propriedade pedida no enunciado 
acontecerá. A propriedade que deveacontecer é “a soma ou diferença deles é divisível 
por 7”. Pensemos nos restos na divisão por 7, os quais são 0, 1, 2, 3, 4,5 e 6. Sejam x 
e y dois números inteiros quaisquer e estudemos o é necessário para que sua soma 
ou diferença seja divisível por 7. Olhemos para a divisão de x e y por 7. Temos que 
 
Como o leitor pode checar, para que diferença X - Y seja divisível por 7, é 
preciso que os restos sejam iguais, e para que a soma X + Y seja divisível por 7, é 
preciso que os restos somem 7 ou sejam ambos iguais a 0. Isso nos sugere criar as 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
40 
casas de pombo de acordo com o resto na divisão por 7. As casas estão ilustradas de 
maneira pitoresca na Figura 4.2. 
 
 
 
Vejamos: quando dois números x e y caem na mesma casa, sua soma ou 
diferença será divisível por 7. De fato, se os dois números caem na casa de resto zero, 
ambos são divisíveis por 7, e tanto X-Y quanto X+Y serão divisíveis por 7. Se os dois 
números caem na casa de restos 1 ou 6, então há três possibilidades. Se os dois 
deixam resto 1, então 7 X-Y. Se os dois deixam resto 6, então 7 X-Y. se um tem deixa 
resto 1, e o outro deixa resto 6, então 7jx+y. A análise das demais casas é a mesma. 
Note que todo número inteiro necessariamente cairá em alguma caixa, pois os restos 
na divisão por 7 são 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6. 
Estamos prontos para escrever uma solução do problema. Para facilitar, 
usaremos a notação x r mod 7 para dizer que x deixa resto r na divisão por 7. 
Solução do Problema 4.1.4: Considere os conjuntos 
 
 
 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
41 
 
 
Como são 4 conjuntos, S tem 17 inteiros que pertencem à união destes 
conjuntos, e 17 = 4 x 4 + 1, pelo Princípio das Casas do Pombos Generalizado, há pelo 
menos 5 inteiros de S num mesmo conjunto Ri. Ou seja, há pelo menos 5 elementos 
de S tais que qualquer dois deles têm a soma ou diferença divisíveis por 7. 
Para finalizar a seção, uma curiosidade a respeito da origem do nome “Princípio 
das Casas dos Pombos”. Este vem de “Pigeonhole Principle” no inglês britânico, onde 
“pigeonhole” é comumente usado para designar um pequeno compartimento ou 
cubículo (apesar de sua tradução literal ser “caixa de pombo” ou “buraco de pombo”). 
Ou seja, o nome original é mais próximo de “Princípio das Gavetas” ou “Princípio 
das Caixas”, e foi criado com referência a distribuir objetos em caixas. E faz até mais 
sentido do que pombos, os quais têm vontades próprias. 
Entretanto, nos Estados Unidos, o termo “pigeonhole” é pouco usado no sentido 
britânico, e remete de fato a pombos. Esta ambiguidade na tradução fez com que o 
nome “Princípio das Casas do Pombos” se mantivesse ao longo do tempo. 
5 BINÔMIO DE NEWTON 
O Binômio de Newton refere-se a potência na forma (x + y) n , onde x e y são 
números reais e n é um número natural.4 
O desenvolvimento do binômio de Newton em alguns casos é bastante simples. 
Podendo ser feita multiplicando-se diretamente todos os termos. 
Contudo, nem sempre é conveniente utilizar esse método, pois de acordo com 
o expoente, os cálculos ficarão extremamente trabalhosos. 
 
 
4 Texto extraído: https://www.todamateria.com.br/binomio-de-newton/ 
 
 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
42 
Exemplo 
Represente a forma expandida do binômio (4 + y)3: 
Como o expoente do binômio é 3, vamos multiplicar os termos da seguinte forma: 
(4 + y). (4 + y). (4 + y) = (16 + 8y + y2). (4 + y) = 64 + 48y + 12y2 + y3 
 
 
Fonte: www.brasilescola.uol.com.br 
5.1 Fórmula do Binômio de Newton 
O binômio de Newton é um método simples que permite determinar a enésima 
potência de um binômio. 
 Esse método foi desenvolvido pelo inglês Isaac Newton (1643-1727) e é 
aplicado em cálculos de probabilidades e estatísticas. 
 A fórmula do binômio de Newton podendo ser escrita como: 
(x + y)n = Cn0 y0 xn + Cn1 y1 xn - 1+ Cn2 y2 xn - 2 +... + Cnn yn x0 
Ou 
 
 
Sendo, 
Cnp : número de combinações de n elementos tomados p a p. 
 
 
 
n!: fatorial de n. É calculado como n = n (n - 1)(n - 2) . ... . 3 . 2 . 1 p!: 
fatorial de p 
(n - p)!: fatorial de (n - p) 
 
Exemplo 
Primeiro escrevemos a fórmula do binômio de Newton 
 
https://www.todamateria.com.br/isaac-newton/
https://www.todamateria.com.br/isaac-newton/
https://www.todamateria.com.br/isaac-newton/
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
43 
 
 
Agora, devemos calcular os números binomiais para encontrar o coeficiente de 
todos os termos. 
Considera-se que 0! = 1 
 
 
Assim, o desenvolvimento do binômio é dado por: 
(x + y)5 = x5 + 5x4y + 10 x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5 
5.2 Termo Geral do Binômio de Newton 
O termo geral do binômio de Newton é dado por: 
 
 
 
Exemplo: 
Qual é o 5º termo do desenvolvimento de (x + 2)5, de acordo com as potências 
decrescentes de x? 
Como queremos T5 (5º termo), então 5 = k +1 k = 4. 
Substituindo os valores no temos geral, temos: 
 
 
 
 
 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
44 
5.3 Binômio de Newton e Triângulo de Pascal 
O triângulo de Pascal é um triângulo numérico infinito, formado por números 
binomiais. 
O triângulo é construído colocando-se 1 nos lados. Os demais números são 
encontrados somando os dois números imediatamente acima deles. 
 
 
 Os coeficientes do desenvolvimento de um binômio de Newton podem ser 
definidos utilizando o triângulo de Pascal. 
 Desta maneira evita-se os cálculos repetitivos dos números binomiais. 
 
Exemplo: 
Determine o desenvolvimento do binômio (x + 2)6. 
Primeiro é necessário identificar qual linha iremos usar para o binômio dado. 
A primeira linha corresponde ao binômio do tipo (x + y)0, desta forma, usaremos 
a 7ª linha do triângulo de Pascal para o binômio de expoente 6. 
(x + 2)6 = 1x6 + 6x5.21 + 15x4.22 + 20x3.23 + 15x2.24 + 6x1.25 + 1x0.26 
 
Assim, o desenvolvimento do binômio ficará: 
(x + 2)6= x6 + 12x5 + 60x4 + 160x3 + 240x2 + 192x + 64 
 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
45 
6 NOÇÕES DE PROBABILIDADE: ESPAÇO AMOSTRAL E EVENTO 
O estudo da probabilidade começou na Itália, quando o matemático e médico 
Giloramo Cordano (1501 – 1576) relacionou noções elementares de probabilidade com 
jogos de azar. 5 
Atualmente, grande quantidade de jogos são oferecidos, entre os quais citamos, 
por exemplo: a loteria federal, a sena, a megasena, a loteca. É natural que se pense 
nas chances de ganhar um prêmio antes de decidir em qual deles jogar. 
Muitas vezes, ao acordarmos, perguntamos para nós mesmos: será que vai 
chover? De um modo ou de outro atribuímos um valor à chance de chover, e, então, 
decidimos o tipo de roupa que usaremos e se levaremos ou não o guarda-chuva. 
Sendo assim, as probabilidades estão associadas a eventos. 
 
 
Fonte:www.portaleducacao.com.br 
 
 
Experimento Aleatório 
São experimentos cujos resultados ocorrem ao acaso. Mesmo que repetidos 
várias vezes sob condições semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis. 
 
5 Texto extraído: https://www.portaleducacao.com.br/conteudo/artigos/administracao/nocoes-
deprobabilidade-espaco-amostral-e-evento/30550 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
46 
 
Exemplo: a afirmação “é provável que eu vença o jogo de xadrez hoje” pode 
resultar: 
a) Que, apesar do favoritismo, eu perca; 
b) Que, como pensei, eu vença; 
c) Que haja um empate. 
 
Como vimos, o resultado final depende do acaso (acontecimento imprevisto, fato 
repentino, sorte). 
6.1 Espaço Amostral (S) 
Cada experimento corresponde, em geral, a vários resultados possíveis. Assim, 
ao lançarmos uma moeda, há dois resultados possíveis: ocorrer cara ou ocorrer coroa. 
Já ao lançarmos um dado há seis resultados possíveis: 1; 2; 3; 4; 5 ou 6. Ou 
seja: 
a) Lançamos a moeda e observamos o resultado da face superior: S = 
{cara, coroa} 
 
b) Ao lançarmos um dado vamos observar o resultadona face superior: S = 
{1; 2; 3; 4; 5; 6} 
 
c) Lançamos duas moedas diferentes e observamos o resultado na face de 
cada moeda: 
d) S = {(cara, cara); (cara, coroa); (coroa, cara); (coroa, coroa)} 
 
Exemplo: No lançamento de um dado onde S = {1; 2; 3; 4; 5; 6}, temos: 
A = {2; 4; 6} está contido em S; logo, A é um evento de S. 
G = {1; 2; 3; 4; 5; 6} está contido em S; logo, G é um evento de S. 
L = 7 está contido em S; logo, L é um evento impossível de S. 
 
Um evento é sempre definido por uma sentença. Assim, os eventos acima 
podem ser definidos pelas sentenças: 
 “Obter um número par na face superior” 
 “Obter um número menor ou igual a 6 na face superior” 
 “Obter um número maior que 6 na face superior” 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
47 
7 PROBABILIDADE CONDICIONAL 
Probabilidade condicional refere-se à probabilidade de um evento ocorrer com 
base em um evento anterior. Evidentemente, esses dois eventos precisam ser 
conjuntos não vazios pertencentes a um espaço amostral finito. 
Em um lançamento simultâneo de dois dados, por exemplo, obtêm-se números 
em suas faces superiores. Qual é a probabilidade de que a soma desses números seja 
8, desde que ambos os resultados sejam ímpares? 
Veja que a probabilidade de a soma desses números ser 8 está condicionada a 
resultados ímpares nos dois dados. Logo, lançamentos que apresentam um ou dois 
números pares na face superior podem ser descartados e, por isso, há uma redução 
no espaço amostral. 
 
 
 Fonte: www.mundoeducacao.bol.uol.com.br 
 
O novo espaço amostral é composto pelos pares:6 
{1,1}; {1,3}; {1,5}; {3,1}; {3,3}; {3,5}; {5,1}; {5,3} e {5,5} 
Desses, apenas {3,5} e {5,3} possuem soma 8. Logo, a probabilidade de que se 
obtenha soma 8 no lançamento de dois dados, dado que os resultados obtidos são 
ambos ímpares, é de: 
 
6 Texto extraído de: https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/probabilidade-condicional.htm 
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/uniao-dois-eventos.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/uniao-dois-eventos.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/uniao-dois-eventos.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/experimento-aleatorio-espaco-amostral.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/experimento-aleatorio-espaco-amostral.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/experimento-aleatorio-espaco-amostral.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/experimento-aleatorio-espaco-amostral.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/experimento-aleatorio-espaco-amostral.htm
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
48 
8 FÓRMULA DA PROBABILIDADE CONDICIONAL 
Seja K um espaço amostral que contém os eventos A e B não vazios. 
A probabilidade de A acontecer, dado que B já aconteceu, é representada por 
P(A|B) e é calculada pela seguinte expressão: 
 
 
 Caso seja necessário calcular a probabilidade da intersecção entre dois 
eventos, pode-se utilizar a seguinte expressão: 
 
 
Exemplos 
Calcule a probabilidade de obter soma 8 no lançamento de dois dados em que 
o resultado do lançamento foi dois números ímpares. 
 
Solução: 
Seja A = Obter soma 8 e B = Obter dois números ímpares. 
 
P (A∩B) é a probabilidade de se obter apenas números ímpares que 
somam 8 no lançamento de dois dados. As únicas combinações das 36 
possíveis são: 
 
Já P (B) é a probabilidade de obter somente números ímpares no lançamento 
de dois dados. As únicas combinações dentro das 36 possíveis são: {1,1}; {1,3}; {1,5}; 
{3,1}; {3,3}; {3,5}; {5,1}; {5,3} e {5,5} 
 
Logo, 
 
 
Utilizando a fórmula para probabilidade condicional, teremos: 
 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
49 
 
 
Qual é a probabilidade de extrair uma carta de um baralho comum de 52 cartas 
e obter um Ás, sabendo que ela é uma carta de copas? 
 
Solução: 
A = Obter um Ás 
B = Obter uma carta de copas 
Como só existe um ás de copas no baralho: 
 
P(A∩B) = 1 
 52 
 
A probabilidade de se obter uma carta de copas é: 
 
P(B) = 13 
 52 
 
Então, a probabilidade de se obter um às de copas é: 
 
P(A|B) = P(A∩B) 
 P(B) 
 1 
P(A|B) = 52 
13 
 52 
P(A|B) = 1 · 52 
 52 13 
P(A|B) = 1 
 13 
 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
50 
9 DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL7 
A cada lançamento a probabilidade de cair o número 4 é de 1 possibilidade em 
6, ou seja, 1/6 é a probabilidade de obtermos o número 4 em cada lançamento. 
Quando lançamos o dado e obtemos um 4, temos um sucesso no lançamento, 
pois este é o resultado que pretendemos obter, no entanto quando obtemos um outro 
resultado qualquer, estamos diante de um fracasso. Note que só há duas 
possibilidades: Sucesso quando dá o número 4, ou fracasso quando dá qualquer 
outro. 
Observe que cada lançamento não interfere na probabilidade de qualquer outro 
lançamento, eles são independentes. 
Note também que a probabilidade de sucesso ou fracasso é sempre a 
mesma em cada lançamento. 
Nestas condições a probabilidade de obtermos k sucessos e n - k fracassos 
em n tentativas, é obtida pelo termo geral do Binômio de Newton: 
𝑃 = (
𝑛
𝑘
) 𝑝𝑘 ∙ 𝑔(𝑛−𝑘) 
 
 
Lê-se (𝑛
𝑘
) como número binomial de numerador n e denominador k, ou então 
como número binomial n sobre k. 
Na equação acima P representa a probabilidade procurada. n o total de 
tentativas, k o número de tentativas que resultam em sucesso, p a probabilidade de 
obtermos um sucesso e q representa a probabilidade de obtermos um fracasso. 
Note que n - k representa o número de tentativas que resultam em fracasso, 
assim como q é igual a 1 - p, ou seja, sendo p a probabilidade de sucesso, q é a 
probabilidade de fracasso que a complementa, pois só podemos obter um sucesso ou 
um fracasso, não há uma outra possibilidade. 
Sendo n ≥ k, o número binomial é dado por: 
(
𝑛
𝑘
) = 𝑐𝑛,𝑘 → (
𝑛
𝑘
) =
𝑛!
𝑘! (𝑚 − 𝑘)!
 
 
 
7 Texto extraído de: http://www.matematicadidatica.com.br/ProbabilidadeDistribuicaoBinomial.aspx 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
51 
 Para vermos a utilização da fórmula, vamos resolver o problema do início deste 
tópico. 
 
Exemplo: 
Qual é a probabilidade de obtermos 4 vezes o número 3 ao lançarmos um dado 
7 vezes? 
O espaço amostral do lançamento de um dado é: 
 
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } 
Como estamos interessados apenas nos resultados iguais a 3, representamos 
tal evento por: 
E = { 3 } 
 
Em relação ao número de elementos temos que n(E) = 1 e n(S) = 6, portanto a 
probabilidade da ocorrência de um 3 em um lançamento é: 
 
 
 
p é a probabilidade de sucesso em um lançamento, a probabilidade de fracasso 
é dada por q = 1 - p, portanto q = 5/6. n é o número total lançamentos, então n = 
7. k é o número de sucessos, logo k = 4. 
Antes de utilizarmos a fórmula , vamos calcular o 
número binomial : 
 
 
 
Agora sim temos todos os dados para podermos aplicar na fórmula. Vejamos: 
 
 
 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
52 
A probabilidade 4375/279936 também pode ser representada na sua forma decimal, 
bastando realizarmos a divisão de 4375por 279936, que resulta em aproximadamente 
0,0156 e também na forma de porcentagem, bastando multiplicarmos 0,0156por 100% 
que dá 1,56%. 
Portanto: 
A probabilidade é 4375/279936, ou aproximadamente 0,0156, ou ainda 1,56%. 
 
10 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 
Definição e Exemplos 
De maneira intuitiva, podemos descrever uma variável aleatória (v.a.) como 
uma função cujo domínio é o espaço amostral de algum espaço de 
probabilidade. Em palavras, uma variável aleatória é um número real associado ao 
resultado (aleatório). Vejamos sua definição rigorosa: seja um 
 espaço de probabilidade.