Exercícios resolvidos - área 1

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PROF. GUSTAVO VIEGAS 
MATEMÁTICA 
 
CÁLCULO 2 
 
Exercícios – Área 1 
 
1) Considere a reta (t) = (1 – t, 2 + 3t, 2 + t). 
 
a) Justificando, decida se o ponto (3, – 4, 1) está ou não 
na reta . 
b) Dê uma equação do plano que passa por (3, – 4, 1) e 
é perpendicular à reta . 
c) A reta r encontra o plano de equação 2x + y – z = 6? Se 
não encontrar, justifique sua resposta. Se encontrar, 
apresente o ponto de intersecção da reta com esse plano. 
 
Resolução: 
a) Se o ponto está na reta r, então existe  R tal que 
3 = 1 – 
– 4 = 2 + 3 
1 = 2 + 
 
Todavia, 
3 = 1 – implica = – 2 
– 4 = 2 + 3 implica = – 2 
1 = 2 + implica = – 1 (absurdo!) 
 
Logo, não está na reta. 
 
b) Sabemos que equação de um plano é 
 
 
em que = (a, b, c) é um vetor normal ao plano e 
( ) é um ponto do plano. No caso, está no plano 
e o vetor diretor da reta (–1, 3, 1) é o vetor normal. 
Assim, 
 
 
 
c) Se a reta intersecta o plano 2x + y – z = 6, então isso 
ocorre para certo valor de t  R. 
2x + y – z = 6 
2(1 – t) + (2 + 3t) – (2 + t) = 6 
2 –2t + 2 + 3t – 2 – t = 6 
2 = 6, absurdo! 
 
Logo, a reta não encontra o plano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Sejam z = – ytan(x) com x = 
 
 
 e y = . Determine 
 
 
 e 
 
 
. 
 
Resolução: 
Pela regra da cadeia, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 = [2x – y 
 
 
 – tan(x).2u 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 – tan 
 
 
 2u 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pela regra da cadeia, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 = [2x – y 
 
 
 – tan(x).2v 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 – tan 
 
 
 2v 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Encontre a derivada de f(x, y) = em 
P( – 2, 0) na direção de = + . 
 
Resolução: 
Queremos calcular 
 
 
 
 
Como 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e 
 = = (2x – 3y) + (– 3x + 12 
 ) 
 
 (– 2 , 0) = – 4 + 6 
Logo, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4) Considere a função definida por f(x, y) = 
 
. 
 
a) Calcule as derivadas parciais (x, y) e (x, y) de f num 
ponto (x, y). 
b) Obtenha o vetor gradiente f( ) de f no ponto (2,0) 
e calcule a menor e a maior taxa de variação de f nesse 
ponto. 
c) Calcule a taxa de variação de f no ponto (2,0) na 
direção e sentido do vetor = (1, ) e verifique que essa 
taxa realmente é um número entre a menor e a maior taxa 
de variação possível de f em . 
 
Resolução: 
a) Seja f(x, y) 
 
. 
Para calcular (x, y) , consideramos y constante em f: 
 (x, y) = 
 
 
 . 
 
Para calcular (x, y), consideramos x constante em f. 
 (x, y) = 
 
 
 
 
b) f( ) = ( (2, 0), (2, 0)) 
 = ( 
 
 + 2 
 
 ,2. 
 
) 
 = (1, 0) 
 
A maior taxa de variação de f em ocorre na direção e 
sentido de f( ) e vale || f( ) || = 
 = 1. 
A menor taxa de variação de f em ocorre na direção de 
 f( ), mas no sentido contrário e vale –|| f( ) | = 
 = – 1. 
 
c) Lembrando que a derivada direcional de f na direção do 
vetor unitário é 
 
 
 
temos, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Note que essa taxa fica entre a menor e a maior taxa de 
variação: – 1 < 
 
 
 < 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Encontre uma equação para o plano tangente à 
f(x, y) = 
 
 
 em P(2, 4, 4). 
 
Resolução: 
A equação do plano tangente é 
 
 
Assim, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e 
 f(2, 4) = 
 
 
 = 4 
 
a equação fica: 14(x – 2) – 2(y – 4) – (z – 4) = 0 
 
6) Considere a função dada por 
 f(x, y, z) = 3 . 
 
a) Calcule o vetor gradiente f(x, y, z) de f em (x, y, z). 
b) Calcule a taxa de variação de f no ponto (2, 1, – 1) na 
direção desse ponto para a origem. 
c) Obtenha uma equação do plano que é tangente no 
ponto (2, 1, – 1) à superfície de nível de f que passa por 
esse ponto. 
 
Resolução: 
a) Queremos calcular f(x, y, z) = ( , , ) 
 
No cálculo de (x, y) , y e z são constantes 
 (x, y) = 
 
No cálculo de (x, y) , x e z são constantes 
 (x, y) = 3 
 
 
 
 
 
No cálculo de (x, y) , x e y são constantes 
 (x, y) = 
 
 
Assim, 
 f(x, y, z) = 
 
 
 
 
b) A derivada direcional de f na direção do vetor unitário 
é 
 
 
 
Como 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e 
 
 
 
 
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 f(2, 1, – 1 ) = 
 = 
 
 
 
= (12, 10, 3) 
 
Portanto, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) A equação do plano tangente à superfície de nível é 
 
 
12(x – 2) +10(y – 1) + 3(z + 1) = 0 
 
12x + 10y + 3z = 31 
 
7) Localize todos os máximos e mínimos e os pontos de 
sela, se houver, de f(x, y) = . 
 
Resolução: 
Pelo teste da derivada segunda, se P um ponto crítico de f 
( e ), consideramos 
 
 D = 
 
 
 = 
 (P) 
 
Se D > 0 e > 0, então f tem mínimo relativo em P. 
Se D > 0 e < 0, então f tem máximo relativo em P. 
Se D < 0, então f tem um ponto de sela em P. 
Se D = 0, nada se conclui. 
 
Procurando os pontos críticos de f, 
 
 
 
 
Logo, x = 2y e 
 y – 3 = 0 
 
 y – 12 = 0 
 
 y(1 – 12y) = 0 
 
 y = 0 ou y = 
 
 
 
 
Assim, os pontos críticos são (0, 0) e 
 
 
 
 
 
 . 
 
Como = – 6x, = 1, = – 2 
 
(0, 0) é ponto de sela, pois 
 D = 
 
 
 = – 1 < 0 
 
 
 
 
 
 
 
 ponto de máximo relativo 
D = 
 
 
 
 
 
 = 1 > 0 e 
 
 
 
 
 
 = – 6
 
 
 = – 1 < 0 
8) Pretende-se construir um galpão com volume de 180 
 numa quadra de esportes abandonada. O preparo do 
chão retangular do galpão custa R$ 100 por , o custo da 
construção de cada uma das quatro paredes retangulares é 
R$ 300 por e o do teto retangular é R$ 400 por . 
Determine as dimensões (comprimento, largura e altura) 
do galpão mais barato que pode ser construído nessas 
condições. 
 
Resolução: 
 
Queremos minimizar 
f(x, y, z) = 100xy + 2.300.xz + 2.300yz + 400xy 
= 500xy + 600xz + 600yz 
 
Sabendo que g(x, y,z) = xyz – 180 
 
Por multiplicadores de Lagrange, f =  g. Como 
 f = (500y + 600z, 500x + 600z, 600x + 600x) 
 g = (yz, xz, xy) 
 
 
  
  
 
 
 
Multiplicando (1) por x, (2) por y e (3) por z, 
 
  
  
  
 
 
 
Igualando (1.1) com (2.1) 
500xy + 600xz = 500xy + 600yz 
x = y (5) 
 
Igualando (2.1) com (3.1) 
500xy + 600yz = 600yz + 600xz 
 
 
 
y = z (6) 
 
Substituindo (5) e (6) em (4) 
 xyz = 180 
 y.y. 
 
 
y = 180 
 
 = 216 
 
Portanto, x = y = 6 e z = 
 
 
.6 = 5 e temos: comprimento = 
6m, largura = 6m e altura z = 5m. 
 
 
 
 
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9) Determine o máximo e mínimo de f(x, y) = 
sujeito à restrição = 25. 
 
Definindo g(x, y) = – 25, por multiplicadores de 
Lagrange, f =  g 
 
 
  
  
 
 
 
Por (1), se x  0, então  = 1. Logo, por (2), y = 0 e (3) 
implica: 
 
 x =  5 
 
Encontramos dois extremos relativos 
 (5, 0) e ( 5, 0). 
 
Se x = 0, por (3), 
 
 y =  5 
 
Encontramos mais dois extremos relativos 
 (0, 5) e (0, 5). 
 
Calculando, 
 f(5, 0) = = 25 
 f( 5, 0) = = 25 
 f(0,5) = = – 25 
 f(0, 5) = = – 25 
 
Máximo 25 em ( 5, 0) 
Mínimo – 25 em (0,  5)