Ex13_Introducao_Derivadas

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CÁLCULO DIFERENCIAL 
PROFESSORES: Paloma de Oliveira Campos e André Felipe de Almeida Xavier 
LISTA 13 – INTRODUÇÃO A DERIVADAS 
 
COEFICIENTE ANGULARE E RETA TANGENTE 
01) Determine a equação da reta tangente às curvas a seguir no ponto dado. Em seguida, esboce a curva e a 
tangente em um único gráfico. 
 
a) 𝑦 = 4 − 𝑥², no ponto (−1,3) 
b) 𝑦 = 2 𝑥, no ponto (1,2) 
c) 𝑦 = 𝑥³ no ponto (−2, −8) 
 
02) Determine o coeficiente angular do Gráfico de cada função a seguir no ponto dado. Em seguida determine a 
equação da reta tangente no ponto dado. 
 
a) 𝑓 𝑥 = 𝑥² + 1, no ponto (2,5) 
b) 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 2𝑥², no ponto (1, −1) 
c) 𝑔 𝑥 =
𝑥
𝑥−2
, no ponto (3,3) 
d) 𝑔 𝑥 =
8
𝑥2
, no ponto (2,2) 
e) 𝑕 𝑡 = 𝑡³, no ponto (2,8) 
f) 𝑕 𝑡 = 𝑡³ + 3𝑡, no ponto (1,4) 
g) 𝑓 𝑥 = 𝑥, no ponto (4,2) 
h) 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1, no ponto (8,3) 
 
03) Determine o coeficiente angular da reta tangente a curva nos pontos indicados. 
a) 𝑦 = 5𝑥², 𝑥 = −1. b) 𝑦 =
1
𝑥−1
, 𝑥 = 3. 
 
04) Em que pontos os gráficos das funções a seguir tem retas tangentes horizontais? 
a) 𝑓 𝑥 = 𝑥² + 4𝑥 − 1 b) 𝑔 𝑥 = 𝑥³ − 3𝑥 
 
 
TAXAS DE VARIAÇÃO 
 
05) OBJETO SOLTO DE CIMA DE UMA TORRE – Um objeto foi derrubado do topo de uma torre de 100 𝑚. Sua altura 
acima do solo após 𝑡 segundos é de 100 − 4,9𝑡² 𝑚. Qual a velocidade da queda 2 segundos depois do objeto 
ter sido largado? 
 
06) VELOCIDADE DE UM FOGUETE – Em 𝑡 segundos após a decolagem, um foguete se encontra a uma altura de 3𝑡² 
pés. Qual a velocidade de subida do foguete 10 segundos após a decolagem? 
 
07) VARIAÇÃO DA ÁREA DE UM CÍRCULO – Qual a taxa de variação da área de um círculo (𝐴 = 𝜋𝑟2) em relação ao 
raio quando este é de 𝑟 = 3? 
 
08) VARIAÇÃO DO VOLUME DA BOLA – Qual a taxa de variação do volume de uma bola 𝑉 =
4
3
𝜋𝑟³ em relação ao 
raio quando este for 𝑟 = 2? 
 
FUNÇÃO DERIVADA 
 
09) Use a definição para calcular as derivadas das funções. Depois determine os valores das derivadas, conforme 
especificado. 
a) 𝑓 𝑥 = 4 − 𝑥²; 𝑓 ′ −3 , 𝑓 ′ 0 , 𝑓 ′ (1). 
b) 𝑔 𝑡 =
1
𝑡2
 ; 𝑔′ −1 , 𝑔′ 2 , 𝑔′ 3 . 
c) 𝑝 𝜃 = 3𝜃; 𝑝′ 1 , 𝑝′ 3 , 𝑝′ 
2
3
 . 
 
10) Determine as derivadas indicadas. 
a) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 𝑠𝑒 𝑦 = 2𝑥³. b) 
𝑑𝑠
𝑑𝑡
 𝑠𝑒 𝑠 =
𝑡
2𝑡+1
. c) 
𝑑𝑝
𝑑𝑞
 𝑠𝑒 𝑝 =
1
 𝑞+1
 . 
 
11) Derive as funções a seguir e determine os coeficientes angulares das retas tangentes nos valores dados de 𝑥. 
a) 𝑓 𝑥 = 𝑥 +
9
𝑥
 , 𝑥 = −3. b) 𝑠 𝑡 = 𝑡³ − 𝑡² , 𝑡 = −1. 
 
12) Derive a função a seguir, em seguida determine a equação da reta tangente no ponto indicado do gráfico da 
função. 
a) 𝑦 = 𝑓 𝑥 =
8
 𝑥−2
 , 𝑥, 𝑦 = (6,4) 
 
13) Determine os valores das derivadas 
a) 
𝑑𝑠
𝑑𝑡
 
𝑡=−1
 𝑠𝑒 𝑠 = 1 − 3𝑡² b) 
𝑑𝑟
𝑑𝜃
 
𝜃=0
 𝑠𝑒 𝑟 =
2
 4−𝜃
 
GABARITO