Prova 1 - Cálculo Avançado - Números Complexos e Equações Diferenciais

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1O limite de uma função complexa é calculado de maneira análoga ao feito para funções reais já que uma função complexa pode ser reescrita como a soma de duas funções reais, essas duas funções são chamadas de parte real e imaginária. Sejam
A
Somente a opção I está correta.
B
Somente a opção III está correta.
C
Somente a opção IV está correta.
D
Somente a opção II está correta.
2Quando trabalhamos com números reais sabemos que qualquer número real elevado ao quadrado sempre será positivo, já para números complexos esta propriedade não é mais válida já que i² = - 1. Utilizando as propriedades de operações de números complexos, determine o valor de z na figura anexa e assinale a alternativa CORRETA:
A
- 3 + 3i.
B
- 3 + i.
C
- 1 + 3i.
D
- 1 + i.
3Utilizando as propriedades de limite de funções complexas, temos que o limite
A
Somente a opção III está correta.
B
Somente a opção IV está correta.
C
Somente a opção II está correta.
D
Somente a opção I está correta.
4Sabendo a forma algébrica de um número complexo, podemos reescrevê-lo também na forma trigonométrica. A forma trigonométrica do número complexos
A
Somente a opção I está correta.
B
Somente a opção III está correta.
C
Somente a opção IV está correta.
D
Somente a opção II está correta.
5Usando a fórmula de Euler, podemos reescrever as funções trigonométricas e trigonométricas hiperbólicas utilizando a função exponencial. Com relação às funções e a sua representação exponencial, associe os itens, utilizando o código a seguir.
A
I - II - IV - III.
B
I - IV - II - III.
C
II - III - I - IV.
D
IV - III - I - II.
6Existe algumas maneiras de representarmos os números complexos, a mais usual é a forma algébrica que está associado ao plano cartesiano, outra maneira também muito utilizada é a representação na forma trigonométrica. Determine a forma algébrica do número complexo z que está escrito na forma trigonométrica na figura anexa e assinale a alternativa CORRETA:
A
- 2 + 2i.
B
- 1 + i.
C
1 - i.
D
2 - 2i.
7O maior conjunto que conhecemos é o conjunto dos números complexos, cuja forma algébrica é dada por z = x + iy, na qual x é a parte real e y é a parte imaginária, podendo x e y serem iguais a zero; se x = 0, dizemos que z = iy é imaginário, e se y = 0 temos z = x um número real. Com base no exposto, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: ( ) O conjugado de um número complexo nunca é igual a ele mesmo. ( ) Um número real pode ser imaginário. ( ) Um número complexo pode ser real. ( ) O conjugado de um número complexo não altera o módulo. ( ) Se um número complexo não é real, então ele é imaginário. ( ) Se um número é imaginário puro, sua parte imaginária é igual a zero. Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A
V - V - F - F - F - V.
B
F - V - V - F - V - F.
C
V - F - V - F - V - F.
D
F - F - V - V - V - F.
8O número complexo i é definido como sendo a raiz quadrada de - 1, sabemos que no conjunto dos números reais essa raiz quadrada não tem solução, por isso a necessidade de aumentarmos o conjunto dos números reais. Determine as raízes da equação do segundo grau x² - 4x + 5 = 0 e assinale a alternativa CORRETA:
A
As raízes são 1 e 3.
B
As raízes são 2 + i e 2 - i.
C
As raízes são - 2 + i e - 2 - i.
D
As raízes são - 1 e - 3.
9As funções trigonométricas, mesmo avaliadas a números complexos, preservam as propriedades conhecidas, por exemplo, ser periódica. Com relação às propriedades das funções trigonométricas, podemos afirmar que
A
Somente a opção I está correta.
B
Somente a opção IV está correta.
C
Somente a opção II está correta.
D
Somente a opção III está correta.
10O conjugado de um número complexo é o número complexo cuja parte imaginaria tem sinal oposto. Utilizando as propriedades de operação de números complexos, determine o conjugado do número complexo dado por z = (- 2 - 3i)(2 + i) e assinale a alternativa CORRETA:
A
1 + 8i.
B
- 7 - 8i.
C
- 1 + 8i.
D
7 + 8i.