Gabarito - Cálculo Diferencial e Integral I - Unidade 1 - Tópico 3

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES – UNIDADE 1 – TÓPICO 3 
 
QUESTÃO 01. Verifique se cada função a seguir é contínua nos pontos indicados e esboce 
os gráficos: 
a)𝑓(𝑥) = {
𝑥 + 3, 𝑥 ≤ 1
4, 𝑥 > 1
 em 𝑥 = 1 
Resolução: 
a)𝑓(𝑥) = {
𝑥 + 3, 𝑥 ≤ 1
4, 𝑥 > 1
 em x = 1 
∗ lim
𝑥→1+
4 = 4 
∗ lim
𝑥→1−
𝑥 + 3 = 1 + 3 = 4 
∗ f(1) = 1 + 3 = 4 
 
Como lim
𝑥→1+
 𝑓(𝑥) = lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) = 𝑓(1), logo é contínua 
 
 
b) 𝑓(𝑥) = {
𝑥² + 1, 𝑥 ≤ 3
2𝑥 + 4, 𝑥 > 3
 em 𝑥 = 3 
Resolução: 
b) 𝑓(𝑥) = {
𝑥² + 1, 𝑥 ≤ 3
2𝑥 + 4, 𝑥 > 3
 em x = 3 
∗ lim
𝑥→3+
2𝑥 + 4 = 2 ∙ 3 + 4 = 10 
∗ lim
𝑥→3−
𝑥2 + 1 = 3² + 1 = 10 
∗ 𝑓(3) = 32 + 1 = 10 
 
Como lim
𝑥→3+
 𝑓(𝑥) = lim
𝑥→3−
𝑓(𝑥) = 𝑓(3), logo é contínua. 
 
 
c) 𝑓(𝑥) = {
1, 𝑥 < 0
𝑥 − 1, 𝑥 ≥ 1
 em 𝑥 = 0 
Resolução: 
∗ lim
𝑥→0+
𝑥 − 1 = 0 − 1 = −1 
∗ lim
𝑥→0−
1 = 1 
 
Como lim
𝑥→0+
 𝑓(𝑥) ≠ lim
𝑥→0−
𝑓(𝑥), logo é descontínua. 
 
 
 
 
 
d) 𝑓(𝑥) = {
𝑥2 − 1
𝑥 + 1
, 𝑥 < −1
𝑥2 − 3, 𝑥 ≥ 1
 em 𝑥 = −1 
Resolução: 
∗ lim
𝑥→−1+
𝑥2 − 3 = (−1)2 − 3 = 1 − 3 = −2 
∗ lim
𝑥→−1−
𝑥2 − 1
𝑥 + 1
= lim
𝑥→−1−
(𝑥 − 1) ∙ (𝑥 + 1)
𝑥 + 1
= −1 − 1 = −2 
∗ 𝑓(−1) = (−1)2 − 3 = 1 − 3 = −2 
 
Como 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−1+
𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−1−
= 𝑓(−1), então contínua 
 
 
e) 𝑓(𝑥) = {
𝑥 − 1, se 𝑥 = 1
1, se 𝑥 < 1
1 − 𝑥, se 𝑥 > 1
 em 𝑥 = 1 
Resolução: 
∗ lim
𝑥→1+
1 − 𝑥 = 1 − 1 = 0 
∗ lim
𝑥→−1−
1 = 1 
 
Como lim
𝑥→1+
𝑓(𝑥) ≠ lim
𝑥→1−
𝑓(𝑥) a função é descontínua 
 
 
f) 𝑓(𝑥) = {
𝑥2 + 2𝑥 − 6
𝑥 − 2
, se 𝑥 ≠ 2
5, se 𝑥 = 1
 em 𝑥 = 2 
Resolução: 
Neste caso, não há a necessidade de realizar os limites laterais, pois a regra é a mesma para 
ambos os casos. 
∗ lim
𝑥→2
𝑥2 + 𝑥 − 6
𝑥 − 2
= lim
𝑥→2
(𝑥 + 3) ∙ (𝑥 − 2)
𝑥 − 2
= lim
𝑥→2
 𝑥 + 3 = 5, 𝑓(2) = 5 
Como lim
𝑥→2
 𝑓(𝑥) = 𝑓(2), a função é contínua 
 
 
 
QUESTÃO 02. Realize a análise das funções a seguir como um todo, utilizando-se das 
propriedades vistas neste tópico: 
𝑎) 𝑓(𝑥) = sec (𝑥) 
Resolução: 
Podemos escrever 
sec(𝑥) =
1
cos(𝑥)
, 𝑐𝑜𝑚 𝑥 ≠
𝜋
2
+ 𝑘𝜋 (𝑘 ∈ ℤ) 
Usando as propriedaddes 3 e 5d, ela é contínua para todos os pontos de seu domínio 
𝐷(𝑓) = {𝑥 ∈ ℝ ∕ 𝑥 ≠
𝜋
2
+ 𝑘𝜋, 𝑐𝑜𝑚 𝑘 ∈ ℤ} 
 
𝑏) 𝑓(𝑥) =
𝑥2 − 4
𝑥 − 2
 
Resolução: 
Trata-se de uma função composta pela divisão de polinômios. 
Como 
𝑥 − 2 ≠ 0 
𝑥 ≠ 2 
Então 
𝐷(𝑓) = {𝑥 ∈ ℝ 𝑥⁄ ≠ 2} 
 
𝑐) 𝑓(𝑥) = √𝑥2 − 𝑥 
Resolução: 
Função composta 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 e ℎ(𝑥) = √𝑥 
∗ 𝑔 é polinomial, então é contínua 
∗ ℎ é inversa de 𝑥2, então contínua 
Então contínua no domínio 
→ Perceba que 
𝑥2 − 1 ≥ 0 ⇒ 𝑥(𝑥 − 1) ≥ 0 ⇒ 
 
𝐷(𝑓) = {𝑥 ∈ ℝ 𝑥⁄ ≤ 0 𝑜𝑢 𝑥 ≥ 1} 
 
QUESTÃO 03. Verifique se a função 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 2𝑥3 − 2𝑥2 + 2𝑥 possui pelo menos uma raiz 
no intervalo (1,3). 
Resolução: 
Sabemos que é contínua por ser polinomial. Calculando 
∗ 𝑓(1) = 14 − 2 ∙ 13 − 2 ∙ 12 + 2 ∙ 1 ⇒ 𝑓(1) = −1 
∗ 𝑓(3) = 34 − 2 ∙ 33 − 2 ∙ 32 + 2 ∙ 3 ⇒ 𝑓(3) = 51 
Note que f(1) < 0 < f(3), logo pelo TVI existe c ∈ (1,3)tal que f(c) = 0, com c sendo raiz de f. 
 
 
QUESTÃO 04. Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que a função 
𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 7𝑥2 − 3𝑥 + 2𝑥 + 2 possui duas raízes reais distintas no intervalo (1,5). 
Resolução: 
Sabemos que é contínua por ser polinomial. Calculando 
∗ 𝑓(−1) = −9 
∗ 𝑓(0) = 2 
∗ 𝑓(1) = −1 
∗ 𝑓(2) = −12 
∗ 𝑓(3) = −25 
∗ 𝑓(4) = −34 
∗ 𝑓(5) = −33 
 
QUESTÃO 05. O conceito de função contínua é muito importante no estudo de funções, as 
funções contínuas em geral são as funções que apresentam mais propriedades, muitos 
teoremas importantes da matemática são válidos somente para funções contínuas. Em relação 
a funções contínuas, considere a função e avalie as afirmações abaixo. 
𝑓(𝑥) = {
𝑥2 + 𝑥 + 2
𝑥
, 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 0
0, 𝑠𝑒 𝑥 = 0
 
I. 𝑓 está definida no ponto 𝑥 = 0; 
II. lim
𝑥→0
𝑓(𝑥) 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒; 
III. lim
𝑥→0
𝑓(𝑥) = 𝑓(0). 
 
É correto o que se afirma em 
a) ( ) I, apenas. 
b) ( ) I e II, apenas. 
c) ( ) I e III, apenas. 
d) ( ) I, II e III. 
Resolução: 
𝑓(𝑥) = {
𝑥2 + 𝑥 + 2
𝑥
, 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 0 1ª 
0, 𝑠𝑒 𝑥 = 0 2ª
 
I. A função está definida para 𝑥 = 0 pela regra 2, 𝑓(0) = 0 
Como 𝑥 = 0 não pertence ao domínio de 𝑓na regra 1 temos que testar os limites lateiras 
II. lim
𝑥→0
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→0
𝑥2 + 𝑥 + 2
𝑥
 
lim
𝑥→0+
𝑥2 + 𝑥 + 2
𝑥
=
02 + 0 + 2
0+
= +∞ 
 ↳ 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 
lim
𝑥→0−
𝑥2 + 𝑥 + 2
𝑥
=
02 + 0 + 2
0−
= +∞ 
 ↳ 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑜 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 
Como lim
𝑥→0+
𝑓(𝑥) ≠ lim
𝑥→0−
 𝑓(𝑥), então lim
𝑥→0
𝑓(𝑥) = ∄. 
III. Como visto no item (II) o lim
𝑥→0
 𝑓(𝑥) = ∄, logo lim
𝑥→0+
 𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(0). 
 Resposta: LETRA A 
Utilizando 𝑇𝑉𝐼 
⇒ Note que 𝑓(−1) < 0 < 𝑓(0) e 𝑓(0) > 0 > 0 𝑓(1), 
logo existe 𝑐1 ∈ (−1,0) 𝑒 𝑐2 ∈ (0,1), com 𝑐 sendo raiz de 𝑓 
QUESTÃO 06. Um estacionamento cobra R$ 15,00 na primeira hora e, a cada hora que passa, 
mais R$ 5,00. Sabendo que o estacionamento funciona por 10 horas e que nenhum carro pode 
ficar no estacionamento quando ele está fechado, determine os pontos de descontinuidade da 
função que relaciona o tempo estacionado com o valor pago. 
Resolução: 
 
Perceba pela ilustração gráfica que a descontinuidade acontece em: 
1ℎ, 2ℎ, 3ℎ, … , 9ℎ. 
 
QUESTÃO 07. Situações que podem ser modeladas por funções contínuas estão muito 
presentes no cotidiano das pessoas. Avalie as situações a seguir se elas podem ser modeladas 
por uma função contínua ou não, se a situação pode ser modelada por uma função contínua, 
use C; caso contrário, use D (descontínua). 
a) ( ) A temperatura em um local específico como uma função do tempo. 
b) ( ) O custo de uma corrida de táxi como uma função da distância percorrida. 
c) ( ) A velocidade de um automóvel como uma função do tempo. 
d) ( ) O valor pago como uma função da quantidade das unidades compradas. 
Resolução: 
a) ( C ) Como a temperatura não varia com saltos, (10° agora 13°), ela é contínua. 
b) ( C ) Se levarmos em consideração que para cada movimento do taxi 
o custo modifica, então contínua. 
c) ( C ) Mesma ideia do item (a), contínua. 
d) ( D ) Como a função estaria definida nos naturais, será descontínua.