PE P1 H

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Probabilidade e Estatística: 00001 2
1. Questão
Um piloto de Fórmula 1 tem 81% de probabilidade de vencer determinada corrida quando
esta se realiza sob chuva. Caso não chova durante a corrida, sua probabilidade de vitória é
de 48%. O serviço de Meteorologia estima em 26% a probabilidade de que chova durante a
corrida. Dado que este piloto ganhou a corrida, qual a probabilidade de que tenha chovido?
(a) 0.372
(b) 0.566
(c) 0.434
(d) 0.818
(e) 0.628
Solução
Defina os eventos
C = “Choveu durante a corrida.”
G = “O piloto ganhou a corrida.”
Pelo Teorema de Bayes, a probabilidade desejada é dada por
P(C|G) =
P(C ∩ G)
P(G)
=
P(C) × P(G|C)
P(C) × P(G|C) + P(Cc) × P(G|Cc)
=
0.26 × 0.81
0.26 × 0.81 + 0.74 × 0.48
= 0.372.
(a) Verdadeiro
(b) Falso
(c) Falso
(d) Falso
(e) Falso
2. Questão
Em 2018, um corretor imobiliário estima que a probabilidade de não vender um aparta-
mento em Brasília é de 0.59. Se ele já mostrou um apartamento para 4 clientes e não teve
sucesso de venda, qual é a probabilidade de precisar mostrar o apartamento a mais de 6
clientes para conseguir vendê-lo?
(a) 0.348
(b) 0.242
(c) 0.099
(d) 0.143
(e) 0.205
Solução
Uma v.a. X ∼ Geo(0.41) representa o número de vezes que o corretor deve mostrar o
apartamento até conseguir vendê-lo. Então, usando a propriedade da perda da memória,
tem-se:
P(X > 6|X > 4) = P(X > 2) = (1 − 0.41)2 = 0.348.
Probabilidade e Estatística: 00001 3
(a) Verdadeiro
(b) Falso
(c) Falso
(d) Falso
(e) Falso
3. Questão
Numa certa população, 9% das pessoas estão infectadas por um determinado vírus. Um
teste para detecção do vírus detecta corretamente 92% dos casos nos quais os indivíduos
estão infectados, mas, equivocadamente, atribui 3% de resultados positivos para os não
infectados (falso positivos). Qual a probabilidade de que o teste de uma pessoa dessa
população dê resultado positivo?
(a) 0.090
(b) 0.110
(c) 0.088
(d) 0.180
(e) 0.083
Solução
Considere os eventos
A = “o resultado do teste é positivo”,
B = “a pessoa está infectada”.
Por hipótese temos que P(B) = 9%, P(A|B) = 92% e P(A|B) = 3%. Desejamos calcular
P(A). Para isso, note que {B, B} forma uma partição do espaço amostral. Logo, pelo
Teorema da probabilidade total tem-se
P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|B)P(B)
= 0.92 × 0.09 + 0.03 × 0.91 = 0.11
(a) Falso
(b) Verdadeiro
(c) Falso
(d) Falso
(e) Falso
4. Questão
Uma empresa de construção civil comprou 2000000 tijolos para construção de um prédio.
O fornecedor afirma que a proporção de defeitos no seu produto é de 0.2 por lote de
100 mil unidades. Utilizando a aproximação de poisson da distribuição binomial, calcule a
probabilidade de observarmos exatamente 6 tijolos defeituosos nessa compra?
(a) 0.113
(b) 0.896
(c) 0.879
(d) 0.104
(e) 0.121
Probabilidade e Estatística: 00001 4
Solução
O número de defeitos tem distribuição binomial com parâmetros
X ∼ Bin(2e + 06, 0.2/100000).
Utilizando a aproximação de Poisson para a Binomial, tem-se, aproximadamente, que
X ∼ Pois(np = λ = 4).
Portanto, a probabilidade de observarmos exatamente 6, é
P(6) = exp (−λ) × λ6/6! = 0.104
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Verdadeiro
(e) Falso
5. Questão
Seja X uma variável aleatória discreta com a seguinte distribuição de probabilidades:
P(X = x) =
k
x
, onde X assume os valores 3, 4, 6 e 7.
Assinale a alternativa correspondente à variância de X .
(a) 112/5
(b) 28/25
(c) 26544/625
(d) 1456/625
(e) 112/25
Solução
Primeiramente devemos determinar o valor de k . Uma vez que a soma das probabilidades
deve ser um, basta resolver a equação
k
3
+
k
4
+
k
6
+
k
7
= 1,
resultando em k = 28/25. Para o cálculo da variância precisamos, antes, calcular os
valores de E(X ) e E(X 2):
E(X ) = 3 × P(X = 3) + 4 × P(X = 4) + 6 × P(X = 6) + 7 × P(X = 7) = 112/25,
E(X 2) = 32 × P(X = 3) + 42 × P(X = 4) + 62 × P(X = 6) + 72 × P(X = 7) = 112/5.
De modo que VAR(X ) = E(X 2) − {E(X )}
2
= 1456/625.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Verdadeiro
(e) Falso
Probabilidade e Estatística: 00001 5
6. Questão
Uma rede de distribuição de energia é alimentada por duas usinas hidrelétricas (A e B) e
uma eólica. A hidrelétrica B funciona como back-up, e só entra na rede caso nenhuma outra
usina esteja funcionando. A probabilidade de a usina eólica não estar em funcionamento é
0.62, e da hidrelétrica A é 0.66. Sabendo que a hidrelétrica A e a eólica fornecem energia
simultaneamente com probabilidade de 0.1, qual é a probabilidade da usina back-up B ser
acionada?
(a) 0.49
(b) 0.28
(c) 0.41
(d) 0.55
(e) 0.38
Solução
Considere os seguintes eventos:
A: Usina hidrelétrica A operando
B: Usina hidrelétrica B operando
C: Usina eólica C operando
Então,
P(B) = 1 − P(A
⋃
C) = 1 − P(A) − P(C) + P(A
⋂
C)
P(B) = 1 − (1 − 0.66) − (1 − 0.62) + 0.1 = 0.38.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Falso
(e) Verdadeiro
7. Questão
O SAC de uma empresa recebe, em média, 86 ligações por dia em horário comercial. A fim
de estimar o número adequado de atendentes para trabalhar nesses horários, a empresa
deseja estimar a probabilidade de receber mais do que 122 ligações em um único dia
no horário comercial. Seja X o número de ligações em um determinado dia, qual das
distribuições de probabilidade seria adequada para modelar a variável aleatória X?
(a) Binomial(0.5, 86)
(b) Binomial(0.5, 122)
(c) Poisson(122)
(d) Poisson(86)
(e) Geométrica(86/122)
Solução
Como a probabilidade de sucesso (receber uma ligação de uma dado cliente) é pequena
e há muitas chances de sucesso (número de clientes que potencialmente ligarão), a dis-
tribuição de probabilidade adequada para descrever o comportamento da variável aleatória
X é Poisson(86).
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
Probabilidade e Estatística: 00001 6
(d) Verdadeiro
(e) Falso
8. Questão
Suponha que você esteja formando uma equipe de 5 executivos, de diferentes departa-
mentos de sua empresa. Sua empresa tem um total 21 de executivos, e 10 deles são do
departamento financeiro. Se os membros da equipe forem selecionados ao acaso, sem
reposição, qual é probabilidade de que a equipe conterá 2 executivos do departamento
financeiro?
(a) 0.348
(b) 0.635
(c) 0.365
(d) 0.376
(e) 0.190
Solução
P(X = 2) =
(
10
2
)(
21−10
5−2
)
(
21
5
) = 0.365.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Verdadeiro
(d) Falso
(e) Falso
9. Questão
Marque a alternativa correta:
(a) Um espaço amostral infinito discreto pode ser equiprovável (os elementos do espaço
amostral possuem mesma probabilidade).
(b) Se A e B são eventos independentes, então Ac e B também são independentes.
(c) Se A está contido em B, então P(A) é diferente de P(B).
(d) Um evento A jamais será independente de si mesmo.
(e) A probabilidade da intersecção de eventos é o produto das probabilidades dos even-
tos.
Solução
(a) Falso. Caso os elementos de um espaço amostral infinito tenham mesma probabili-
dade, a soma das probabilidades será infinita.
(b) Verdadeiro. Se dois eventos são independentes, os originais e complementares são
todos independentes entre si.
(c) Falso. Não necessariamente. Se P(B − A) = 0, então P(A) = P(B).
(d) Falso. Um evento A pode ser independente de si mesmo caso P(A) seja 0 ou 1.
(e) Falso. Esta propriedade é válida apenas se os eventos forem independentes entre si.
Probabilidade e Estatística: 00001 7
10. Questão
Uma certa fábrica de canetas esferográficas tem encontrado defeito em 3% de sua pro-
dução. Assumindo independência entre as falhas, a probabilidade de, entre 115 canetas,
pelo menos uma ser defeituosa é:
(a) 0.970
(b) 0.161
(c) 0.020
(d) 0.573
(e) 0.980
Solução
Seja X o número de canetas defeituosas na amostra, sabe-se que X ∼ Binomial(115, 0.03).
Portanto,
P(X > 0) = 1 − P(X = 0) = 1 − 0.03 = 0.970.
(a) Verdadeiro
(b) Falso
(c) Falso
(d) Falso
(e) Falso