SÉRIES E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS - A4

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Um sistema de equações diferenciais pode ser escrito assim: 
 
… 
 
Nesse caso, ele é considerado um sistema homogêneo na forma normal, tanto que a formulação de matriz de tal sistema é , em
que A é a matriz dos coeficientes e x é o vetor-solução. 
 
Sabendo disso, assinale a alternativa que representa o seguinte sistema corretamente: 
 
 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois o sistema é: 
  
 
 
 
 
  
Então, para expressá-lo como uma equação matricial, basta expressar o lado direito como o produto escalar, 
. Assim, a forma matricial correta é: 
  
Resposta correta
 PRÓXIMA QUESTÃO 
Próximo 
 
?    Autovetor associado a
:
. 
Logo, a solução geral é dada por: 
  
.
.
.
Resposta correta
.
.
 PRÓXIMA QUESTÃO 
Próximo 
 
Leia o trecho a seguir. 
“Sejam soluções linearmente independentes do sistema homogêneo 
 no intervalo I, onde é uma função matricial contínua em I, então,
toda solução em pode ser expressa na forma ,
onde são constantes”. 
NAGLE, R. K.; SAFF, E. B.; SNIDER, A. D. Equações diferenciais. 8. ed. São Paulo: Pearson
Education do Brasil, 2012. p. 414. 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, se o sistema é
 
, os autovalores são
,
 e
, cujos autovetores associados estão expostos a seguir. 
?    Autovetor associado a
:
. 
?    Autovetor associado a
:
. 
? Autovetor associado a
 PRÓXIMA QUESTÃO 
Próximo 
 
Atividade 4
Diferentes modelos podem ser utilizados para representar a dinâmica de populações. Em ecologia, a equação é
utilizada para representar a taxa de crescimento populacional. No caso, é o tamanho da população, é o tempo e é a
taxa de crescimento per capita. 
CRESCIMENTO exponencial e logístico. Khan Academy, [2021]. Disponível em:
https://pt.khanacademy.org/science/biology/ecology/population-growth-and-regulation/a/exponential-logistic-growth. Acesso
em: 23 jun. 2021. 
 
Com base no apresentado, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas. 
 
I. É possível afirmar que r é somente função das taxas de natalidade e de mortalidade, se considerarmos que não há imi-
gração ou emigração de indivíduos. 
Pois: 
II Quando r assume valor positivo há crescimento exponencial independentemente do tamanho populacional
Resposta correta. A alternativa está correta, pois as asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é
justificativa da I. Em
, r é função das taxas de natalidade e mortalidade, se considerarmos que não há movimento de indivíduos para dentro ou
para fora da população. Além disso, sempre que r (taxa per capita de crescimento) assumir o mesmo valor positivo,
independentemente do tamanho populacional, há crescimento exponencial.
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
As asserções I e II são proposições falsas.
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
Resposta correta
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
 PRÓXIMA QUESTÃO 
Próximo 
  3        
 
Existe um passo a passo para reescrever uma equação diferencial de ordem como um sistema de equações diferenciais, com a
existência de uma única solução; isso quando tivermos condições iniciais conhecidas, ou seja, quando estivermos trabalhando
com um Problema de Valor Inicial (PVI). 
 
Nesse contexto, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F 
para a(s) falsa(s). 
 
I. ( ) A primeira etapa consiste em definir variáveis novas, usando o número da ordem da equação diferencial original: 
. 
II. ( ) A segunda etapa consiste em escrever no formato matricial . 
III. ( ) A terceira etapa consiste em definir variáveis novas, usando o número da ordem da equação diferencial original: 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, para a redução de uma equação diferencial de ordem n para um sistema de
equações, devem ser seguidos estes passos: 
                        I.reescrever a equação isolando
 ; 
           II. definir
 variáveis novas, usando o número da ordem da equação diferencial original:
; 
                    III.reescrever
 , aplicando as novas variáveis; 
          IV.escrever no formato matricial
; 
              V.aplicar os valores iniciais na forma matricial.
V, V, F, F.
F, V, F, V.
F, F, V, V.
V, V, V, F.
F, F, F, V.
Resposta correta
 PRÓXIMA QUESTÃO 
Próximo 
   4       
 
Para os valores de que satisfazem à equação , damos o nome de autovalores da matriz A. Para encontrar os
autovalores da matriz A, basta encontrar as raízes do polinômio característico, as quais podem ser raízes reais distintas, comple-
xas conjugadas ou repetidas. 
 
No que se refere à matriz , analise as afirmativas a seguir. 
 
I. . 
II. Os autovalores são: e . 
III. O autovetor associado a é dado por . 
IV. O autovetor associado a é dado por . 
 
Está correto o que se afirma em:
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, se a matriz é
, então,
, cujas raízes (autovalores) são:
 e
. 
O autovetor associado a
 é dado por
. 
  
 
  
O autovetor associado a
 é dado por
. 
  
I, III e IV, apenas.
Resposta correta PRÓXIMA QUESTÃO 
Próximo 
 
, então,
, cujas raízes (autovalores) são:
 e
. 
O autovetor associado a
 é dado por
. 
  
 
  
O autovetor associado a
 é dado por
. 
  
I, III e IV, apenas.
Resposta correta
I e II, apenas.
I, II, III e IV. 
 
I e III, apenas.
II e IV, apenas.
 PRÓXIMA QUESTÃO 
Próximo 
 
Os sistemas homogêneos com coeficientes constantes são da forma , que é igual a . Tal estrutura
vem da forma dos sistemas de equações , em que ; por isso, o sistema é considerado homogê-
neo. 
Nesse contexto, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a solução geral do sistema .
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, se o sistema é
, então,
, cujas raízes (autovalores) são:
 e
. Para
, temos: 
  
 
  
Para
, temos: 
  
 
  
Logo, as soluções do sistema são dadas por: 
  
 
e .
Resposta correta
. 
 
.
 PRÓXIMA QUESTÃO 
Próximo 
 
Atividade 4
Leia o trecho a seguir: 
“Se as funções e forem contínuas em um intervalo aberto , então, existirá uma única solução do sistema de equa-
ções que também satisfaz às condições iniciais , em que é qualquer ponto em e são números dados. Além disso, a solução existe em todo o intervalo ”. 
BOYCE, W. E.; DIPRIMA, R. C.; MEADE, D. B. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno. 10. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2017. 
 
Considerando o sistema de equações diferenciais lineares de primeira ordem , e sabendo que , assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a solu-
ção do Problema de Valor Inicial (PVI).
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, se o sistema de equações diferenciais lineares de primeira ordem é
, então: 
  
  
Logo:
,
 e
. 
Considerando
, então:
. Isso significa que
,
 e
. Portanto, a solução do PVI é:
.
.
.
.
.
Resposta correta
.
 PRÓXIMA QUESTÃO 
Próximo 
      7    
 
Leia o trecho a seguir. 
“As funções vetoriais são ditas linearmente dependentes em um intervalo I, se existirem constantes , não
todas zero, tais que , para todo em I. Se os vetores não forem linearmente dependentes, eles são
considerados linearmente independentes em I”. 
NAGLE, R. K.; SAFF, E. B.; SNIDER, A. D. Equações diferenciais. 8. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2012. p. 413. 
 
Com base no apresentado, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas. 
 
I. As funções vetoriais , e são LD (Linearmente Dependentes) em . 
Pois: 
II. é 3 vezes , portanto, para todo . 
 
A seguir assinale a alternativa correta
Resposta correta. A alternativa está correta, pois as duas asserções estão corretas, e a II éuma justificativa da I. As funções
vetoriais
,
 e
 são LD (Linearmente Dependentes) em
, porque
 é 3 vezes
, portanto,
 para todo
.
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
As asserções I e II são proposições falsas. 
 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
Resposta correta
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
 PRÓXIMA QUESTÃO 
Próximo 
 
Atividade 4
Considerando um sistema da forma , para achar a sua solução, é preciso encontrar o autovalor e o autovetor associado. Segundo Oliveira (2019), existem
três possibilidades de autovalores: todos os autovalores são reais e distintos entre si, alguns são conjugados e alguns são repetidos. 
 
OLIVEIRA, R. L. Equações diferenciais ordinárias: métodos de resolução e aplicações. Curitiba: InterSaberes, 2019. 
 
Considerando o sistema dado por , assinale a alternativa que apresenta a solução correta. 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, se o sistema é dado por
, então, precisamos calcular
. Nesse caso, verificamos que existe apenas um autovalor, o qual tem multiplicidade algébrica dois. O autovetor associado é dado por:
. Logo, a solução é:
.
.
. 
 
.
.
.
Resposta correta
 PRÓXIMA QUESTÃO 
Próximo 
        9  
 
As equações diferenciais podem apresentar diversas aplicações, em várias áreas do conhecimento. Sabendo disso, vamos considerar um
oscilador do tipo massa-mola acoplado, representado na figura a seguir, que é governado pelo seguinte sistema: 
Figura 1 - Oscilador do tipo massa-mola acoplado 
Fonte: NAGLE, R. K.; SAFF, E. B.; SNIDER, A. D. Equações diferenciais. 8. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2012. p. 110. 
PraCegoVer: a figura ilustra um oscilador do tipo massa-mola acoplado, situado no primeiro quadrante do plano cartesiano. 
 
Sabendo disso, assinale a alternativa que representa, corretamente, o sistema na forma matricial.
Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta, pois o oscilador pode ser governado pelo seguinte sistema: 
  
 
 
  
Então: 
 
 
 
 
  
Logo: 
 
 
  
A forma normal é: 
 FINALIZAR 
Próximo 
 
  
A forma normal é: 
  
Na notação de matriz, temos: 
Sua resposta (incorreta)
 FINALIZAR 
Próximo 
