mma10_5_recdom (2)

Prévia do material em texto

Teste de avaliação 5 (90 min)
1. Indique, justificando, quais das correspondências não representam funções.
(I) 						(II)
				
(III) 						(IV)
				
2. Considere a função g definida pelo diagrama de setas da figura.
 2.1. Indique o domínio e o contradomínio da função g.
 2.2. Calcule .
 2.3. Indique x, tal que .
3. Considere os pares ordenados , onde a, b .
 Determine o valor real de a e de b de modo que os pares ordenados sejam iguais.
Nome da Escola
Ano letivo 20 /20
Matemática A | 10.º ano
Nome do Aluno
Turma
N.º
Data
Professor
 / /20
Ficha de revisão 5
4. Considere a função de A em B, sendo .
 O gráfico da função f é .
 4.1. Represente a função f por um diagrama de setas.
 4.2. Represente a função f por um gráfico cartesiano.
5. Considere a função h tal que:
		
		 
 sendo .
 5.1. Determine o contradomínio da função h.
 5.2. Represente a função h por um gráfico.
6. Considere, definidas em , as funções afins f , g, h e j, tais que:
	● 		● 	● 		● 
 6.1. Identifique as funções constantes e as funções lineares.
 6.2. Admita que os gráficos cartesianos das funções g e j estão representados no mesmo referencial cartesiano. Determine o valor de x tal que e interprete geometricamente o valor obtido.
7. Indique, justificando, o valor lógico de cada uma das proposições.
 7.1. p : A função f definida por é uma função de proporcionalidade direta.
 7.2. q : Numa função, objetos diferentes podem corresponder à mesma imagem.
 7.3. r : A função g definida por é uma função de proporcionalidade inversa cuja constante de proporcionalidade é .
 7.4. , sendo .
Ficha de revisão 5
 Teste ∙ 90 minutos										P
Ficha de revisão 5
1. Considere os conjuntos .
 1.1. O par ordenado pertence a Justifique.
 1.2. Represente em extensão .
 1.3. Indique um elemento de e determine o cardinal de .
2. Considere as funções reais de variável real f e g, definidas por e .
 Caracterize cada uma das funções.
Questão-aula 1
Nome da Escola
Ano letivo 20 /20
Matemática A | 10.º ano
Nome do Aluno
Turma
N.º
Data
Professor
 / /20
Item de seleção
1. Na figura está representada, num referencial ortonormado, parte do gráfico de uma função g definida em . Em qual das figuras seguintes poderá estar parte da representação gráfica da função ?
	(A) 			(B)			(C)	 		(D)
				
Item de construção
2. Considere as funções reais de variável real, f e g, definidas por:
 2.1. Determine o domínio de cada uma das funções f e g.
 2.2. Mostre que a função f é injetiva.
 2.3. Calcule .
		 Apresente o valor pedido com denominador racional.
Miniteste 1 (20 min)
Nome da Escola
Ano letivo 20 /20
Matemática A | 10.º ano
Nome do Aluno
Turma
N.º
Data
Professor
 / /20
 Teste ∙ 90 minutos										P
Teste de avaliação 1 
1. Considere a função definida, em , por e o respetivo gráfico representado num plano munido de um referencial cartesiano.
 1.1. Mostre que f é uma função ímpar.
 1.2. Mostre que os pontos do gráfico de f de abcissas respetivamente iguais a e a são simétricos relativamente à origem do referencial.
 1.3. Seja um ponto do gráfico de f .
	 1.3.1. Indique as coordenadas do ponto Q do gráfico de f de abcissa –a.
 1.3.2. Prove que o ponto médio do segmento de reta [PQ] é o ponto O, origem do referencial.
	 1.3.3. Admita que .
		 Determine o valor de .
2. Considere uma função g definida em .
 Na figura está representado, num plano munido de um referencial cartesiano, parte do gráfico da função g.
 Complete o gráfico sabendo que g é uma função par.
Miniteste 2 (20 min)
Nome da Escola
Ano letivo 20 /20
Matemática A | 10.º ano
Nome do Aluno
Turma
N.º
Data
Professor
 / /20
Item de seleção
1. Seja f uma função real de variável real, tal que:
	● f é uma função injetiva;		● ;
	● é a função inversa de f;	● f é uma função ímpar.
 O valor de é:
		(A) 		(B) 		(C) 		(D) 
Item de construção
2. Na figura está representado, num plano munido de um referencial cartesiano, o gráfico da função f definida em onde foram assinalados os pontos A e B pertencentes ao gráfico de f.
 2.1. Indique o contradomínio da função f.
 2.2. Defina analiticamente o segmento de reta [AB].
 2.3. A função f tem exatamente dois zeros, um negativo e outro positivo.
		 Indique o zero positivo e determine o zero negativo.
 2.4. Considere a função g tal que, para todo o .
		 2.4.1. Explique como pode obter o gráfico da função g a partir do gráfico da função f.
		 2.4.2. Seja o contradomínio da função g.
			 Determine o valor real de a e de b.
	2.5. Considere a função h, tal que, para todo o .
		 Indique os valores reais de b de modo que a função h não tenha zeros.
Questão-aula 2
Nome da Escola
Ano letivo 20 /20
Matemática A | 10.º ano
Nome do Aluno
Turma
N.º
Data
Professor
 / /20
Questão-aula 1.7. 
Soluções
Questão-aula 2
Nome da Escola
Ano letivo 20 /20
Matemática A | 10.º ano
Nome do Aluno
Turma
N.º
Data
Professor
 / /20
1. Na figura está representado, num referencial ortonormado, o gráfico da função f.
 1.1. Indique o domínio e o contradomínio da função f.
 1.2. Determine, analiticamente, o zero da função f.
 1.3. Indique um intervalo onde a função f seja injetiva.
 1.4. Construa uma tabela de variação para a função f.
 1.5. Estude a função f quanto à monotonia.
 1.6. Indique, se existirem, os extremos absolutos, os extremos relativos, os maximizantes e os minimizantes da função g.Nome da Escola
Ano letivo 20 /20
Matemática A | 10.º ano
Nome do Aluno
Turma
N.º
Data
Professor
 / /20
Questão-aula 3
Item de seleção
1. Relativamente a uma função real de variável real f, sabe-se que não é o mínimo, nem relativo nem absoluto.
Qual dos gráficos seguintes poderá ser o da função f?
	(A) 			(B)			(C)			(D)
			
Itens de construção
2. Considere a função real de variável real, definida em , por .
 Prove, recorrendo a processos exclusivamente analíticos, que a função f é decrescente.
3. Esboce o gráfico de uma função f tal que:
	● tenha domínio ;		● o contradomínio seja ;
	● seja estritamente crescente em .
Miniteste 3 (20 min)
Nome da Escola
Ano letivo 20 /20
Matemática A | 10.º ano
Nome do Aluno
Turma
N.º
Data
Professor
 / /20
 Teste ∙ 90 minutos										P
Teste de avaliação 1 
1. Considere a função f, de domínio , definida por .
 1.1. Escreva na forma , onde e .
 1.2. Indique:
	 ● as coordenadas do vértice da parábola que define o gráfico da função f;
	 ● uma equação do eixo de simetria do gráfico da função f;
	 ● o contradomínio da função f.
 1.3. Resolva, em , a condição .
	Apresente o conjunto-solução usando a notação de intervalos de números reais.
 1.4. Relativamente ao gráfico de f sabe-se que A e B são os pontos onde o gráfico interseta o eixo das abcissas (a abcissa de A é menor que a abcissa de B) e C é o ponto de interseção do gráfico com o eixo das ordenadas.
	 Determine a área do triângulo [ABC].
2. Considere a função g, de domínio , definida por . Considere, ainda, a função h, também de domínio , definida por . Determine o valor real de a e de b de modo que o gráfico da função h e tenha o vértice na origem do referencial quando representado num plano munido de um referencial cartesiano.
Nome da Escola
Ano letivo 20 /20
Matemática A | 10.º ano
Nome do Aluno
Turma
N.º
Data
Professor
 / /20
Questão-aula 4
Item de seleção
1. Seja f uma função quadrática, definida em , e cujo contradomínio é .
 Seja g a função definida em por . Qual é o contradomínio da função g?
	(A) 		(B) 		(C) 		(D)Item de construção
2. Para cada valor de c a expressão define uma função f.
 2.1. Determine para que valores reais de c:
	 2.1.1. a equação é impossível em ;
	 2.1.2. o gráfico de f passa no ponto de coordenadas .
 2.2. Indique, justificando, o valor lógico de cada uma das proposições.
	 2.2.1. 		2.2.2. Se , então .
	 2.2.3. Se , o contradomínio de f é .	
Miniteste 4 (20 min)
Nome da Escola
Ano letivo 20 /20
Matemática A | 10.º ano
Nome do Aluno
Turma
N.º
Data
Professor
 / /20
 Teste ∙ 90 minutos										P
Teste de avaliação 1 
1. De uma função quadrática f, de domínio , sabe-se que .
 1.1. Indique o contradomínio de cada uma das funções.
	 1.1.1. 
	 1.1.2. 
 1.2. Determine os valores reais para os quais a função j, definida por , não tem zeros.
2. Considere a função f, definida em , por .
 2.1. Determine os valores de x para os quais .
 2.2. Determine os intervalos em que f é positiva e os intervalos em que f é não positiva.
Nome da Escola
Ano letivo 20 /20
Matemática A | 10.º ano
Nome do Aluno
Turma
N.º
Data
Professor
 / /20
Questão-aula 5
Item de seleção
1. Considere a função g, de domínio , definida por .
 Qual é o contradomínio da função g?
	(A) 		(B) 		(C) 		(D) 
Item de construção
2. Considere a função f, de domínio , definida por .
 2.1. Mostre que 
 2.2. Escreva na forma , onde e .
 2.3. Estude a função f quanto ao sinal.
Miniteste 5 (20 min)
Nome da Escola
Ano letivo 20 /20
Matemática A | 10.º ano
Nome do Aluno
Turma
N.º
Data
Professor
 / /20
1. Considere a função h definida em por 
 1.1. Esboce o gráfico da função h.
 1.2. Calcule o valor exato de .
 1.3. Resolva, em , a condição .
	 Apresente o conjunto-solução usando a notação de intervalos de números reais.
2. Represente sob a forma de intervalos ou uniões de intervalos os conjuntos-solução das condições seguintes:
 2.1. 		2.2. 		2.3. 
Nome da Escola
Ano letivo 20 /20
Matemática A | 10.º ano
Nome do Aluno
Turma
N.º
Data
Professor
 / /20
Questão-aula 6
Item de seleção
1. Considere uma função f de domínio e contradomínio . Seja h a função de domínio definida por . Qual é o contradomínio da função h?
	 (A) 	(B) 		(C) 		(D) 
Item de construção
2. Considere a função g definida em por .
 2.1. Defina, analiticamente, a função g, sem utilizar módulos.
 2.2. Represente sob a forma de intervalos ou uniões de intervalos os conjuntos-solução das seguintes condições em :
	 2.2.1. 			2.2.2. 
 2.3. Determine, analiticamente, os zeros da função g.
 2.4. Indique o contradomínio da função g.
Miniteste 6 (20 min)
Nome da Escola
Ano letivo 20 /20
Matemática A | 10.º ano
Nome do Aluno
Turma
N.º
Data
Professor
 / /20
 Teste ∙ 90 minutos										P
Teste de avaliação 1 
1. Sejam f e g duas funções definidas em por e .
 1.1. Seja h a função de domínio definida por .
	 Determine .
 1.2. Resolva, em , a condição .
2. Represente sob a forma de intervalos ou uniões de intervalos os conjunto-solução das seguintes condições em .
 2.1. 			2.2. Nome da Escola
Ano letivo 20 /20
Matemática A | 10.º ano
Nome do Aluno
Turma
N.º
Data
Professor
 / /20
Questão-aula 7
Item de seleção
1. Na figura está representada, num plano munido de um referencial 
ortonormado, parte do gráfico da fnção f de domínio .
 Considere, ainda, a função h, definida em por .
 Qual das seguintes equações tem exatamente três soluções?
	(A) 		(B) 		(C) 		(D) 
Item de construção
2. Na figura está representada, num plano munido de um referencial ortonormado, parte do gráfico de uma função f de domínio .
 Considere, ainda, a função g, definida em por .
 2.1. Mostre que a função f pode ser definida por .
 2.2. Resolva a condição .
 2.3. Mostre que .
Miniteste 7 (20 min)
Nome da Escola
Ano letivo 20 /20
Matemática A | 10.º ano
Nome do Aluno
Turma
N.º
Data
Professor
 / /20
1. Considere as funções f e g definidas, respetivamente, por em e em .
 1.1. Esboce o gráfico das funções f e g.
 1.2. Determine os zeros de f.
1.3. Utilizando a calculadora gráfica, determine valores aproximados às décimas das soluções da equação .
2. Resolva as seguintes equações, simplificando tanto quanto possível as expressões que representam as respetivas soluções.
 2.1. 		2.2. 			2.3. 
Nome da Escola
Ano letivo 20 /20
Matemática A | 10.º ano
Nome do Aluno
Turma
N.º
Data
Professor
 / /20
Questão-aula 8
Item de seleção
1. Considere a função real de variável real g, definida em por .
 Qual é o contradomínio da função g?
	(A) 		(B) 	 (C) 		(D) 
Item de construção
2. Considere as funções f e g definidas por .
 2.1. Determine o domínio de cada uma das funções f e g.
 2.2. Determine o domínio da função e determine os zeros de h.
 2.3. Determine . Apresente o resultado com denominador racional.
Miniteste 8 (20 min)
Nome da Escola
Ano letivo 20 /20
Matemática A | 10.º ano
Nome do Aluno
Turma
N.º
Data
Professor
 / /20
1. Considere a função h de domínio definida por , sendo b é uma constante real.
 1.1. Justifique que a função h é bijetiva.
 1.2. Caracterize a função , inversa da função h.
2. Na figura está representada, num referencial ortonormado, parte do gráfico de uma função f.
 Seja a função inversa de f.
 2.1. Calcule o valor exato de .
 Apresente o valor pedido com denominador racional.
 2.2. Esboce o gráfico da função .
3. Na figura está representada num plano munido de um referencial cartesiano a função g definida em .
 3.1. Esboce o gráfico da função h definida por .
 3.2. Considere a função f tal que, para todo o , .
 Indique os valores reais de a e de b, tais que:
	 3.2.1. a função f tenha exatamente um zero;
	 3.2.2. o contradomínio da função f seja, ;
	 3.2.3. a função f seja par.
4. O gráfico de uma função afim f interseta o eixo Ox em e o eixo Oy no ponto de ordenada –4.
 4.1. Determine:
	 4.1.1. a forma canónica de f;
	 4.1.2. os zeros da função g definida por ;
 4.1.3. a ordenada do ponto de interseção do eixo Oy com o gráfico da função h definida por .
 4.2. Esboce o gráfico da função j definida por .
5. Relativamente a uma função f, de domínio , sabe-se que:
	● 
	● f é estritamente crescente em ;
	● f é par.
 5.1. Faça um esboço de uma função f compatível com as informações dadas.
 5.2. Relativamente à função f, qual das seguintes afirmações é verdadeira?
	 (A) O contradomínio de f é .	(B) f é estritamente crescente em .
	 (C) f é injetiva.				(D) f não tem zeros.
6. Considere uma função h definida em , tal que a sua tabela de variação é:
	
	–5
	
	–1
	
	
	
	
	
	
	
	
	2
	
	0
	
	4
	
 6.1. Esboce o gráfico de uma função h que seja compatível com as informações contidas na tabela.
 6.2. Indique o conjunto-solução de cada uma das condições.
	 6.2.1. 			 6.2.2. 
7. Represente sob a forma de intervalos ou uniões de intervalos os conjuntos-solução das seguintes condições em :
 7.1. 				 7.2. 
 7.3. 			 7.4. 
 7.5. 			 7.6. 
8. Considere a função g tal que:
		
			 
 8.1. Defina, analiticamente, a função g sem utilizar módulos.
 8.2. Indique, justificando, o valor lógico de cada uma das proposições.
 	 8.2.1. A função g tem dois zeros reais distintos.
	 8.2.2. O contradomínio da função g é .
	 8.2.3. A função g tem três extremos.
 8.3. Resolva a condição .
	 Apresente o conjunto-solução usando a notação de intervalos de números reais.
9. Na figura está representado um retângulo[ABCD].
Este retângulo é o esboço de um azulejo de 30 cm de comprimento por 18 cm de largura eque será constituído por uma parte colorida e por uma parte branca.
A parte colorida é formada por quatro quadrados iguais e um retângulo, tal como a figura sugere.
Cada quadrado tem um vértice num vértice do retângulo [ABCD].
Seja x o lado de cada um destes quadrados, medido em cm .
9.1. Mostre que a área, em cm2, da parte colorida do azulejo é dada, em função de x, por:
 9.2. Determine o valor de x para o qual a área da parte colorida do azulejo é mínima e calcule essa área.
 9.3. Determine os valores de x para os quais a área da parte colorida do azulejo é inferior à área da parte branca do azulejo.
10. Considere as funções f e g definidas por:
 10.1. Determine o domínio de cada uma das funções f e g.
 10.2. Determine o domínio da função e determine os zeros de h.
 10.3. Mostre que .
11. Na figuras estão representadas duas funções f e g.
		
 11.1. Indique o domínio e o contradomínio de cada uma das funções.
 11.2. Indique o domínio da função e calcule .
 11.3. Defina analiticamente cada uma das funções.
 11.4. Indique o domínio de e calcule .
12. Considere a função real de variável real f, definida em , por:
 ( é a função inversa da função f .)
 12.1. Calcule .
 12.2. Caracterize a função .
Ficha de preparação para o teste de avaliação 5
Nome da Escola
Ano letivo 20 /20
Matemática A | 10.º ano
Nome do Aluno
Turma
N.º
Data
Professor
 / /20
 Teste ∙ 90 minutos										P
Ficha de preparação para o teste de avaliação 5
1. Seja f a função, de domínio , definida por .
 Qual é o valor de ( é a função inversa de f )?
 (A) 18		(B) 2		 (C) 16		(D) 4
2. Seja h a função, de domínio , definida por . Seja g a função de domínio definida por . Para um certo número real a, tem-se que .
Qual é o valor de a?
(A) 	(B) 	 (C) 		(D) 
3. Dado um plano munido de referencial ortogonal, a translação do plano que ao ponto associa o ponto designa-se por:
 (A) contração vertical de coeficiente a se ;
 (B) dilatação vertical de coeficiente a se ;
 (C) contração horizontal de coeficiente a se ;
 (D) dilatação horizontal de coeficiente a se .
4. Na figura está representado, num plano munido de um referencial cartesiano, o gráfico da função afim f.
Considere a função h, tal que, para todo , .
O conjunto-solução da condição é:
(A) 	(B) 	 (C) 	(D) 
5. Considere a função j definida por:	
							 
 Qual das seguintes afirmações é verdadeira?
 (A) O contradomínio da função j é .
 (B) A função j é par.
 (C) A função j tem um mínimo absoluto para .
 (D) A função j não é par nem ímpar.
Teste de avaliação 5 (90 min)
Nome da Escola
Ano letivo 20 /20
Matemática A | 10.º ano
Nome do Aluno
Turma
N.º
Data
Professor
 / /20
 Teste ∙ 90 minutos										P
Teste de avaliação 5 (90 min)
6. De uma função quadrática f, de domínio , sabe-se que 2 e 6 são os seus zeros.
 Qual dos seguintes pontos não pode pertencer ao gráfico da função f ?
 (A) 			(B) 		(C) 		(D) 
7. Na figura está representada, num plano munido de um referencial ortonormado, parte do gráfico da função f de domínio , definida por .
 Qual das seguintes afirmações é verdadeira?
 (A) 			(B) 
 (C) 			(D) 
8. Considere as funções h e j definidas, respetivamente, por em e .
 Admita que .
 Qual é o valor de ?
 (A)		(B)		(C) 		(D) 
9. Considere a função afim f que, para dados valores reais e b, é definida por .
Sabe-se, fixado um referencial ortonormado do plano, que:
● o ponto pertence ao gráfico de f;
● o ponto pertence ao gráfico de f.
Caracterize a função , função inversa de f.
10. Considere a função f definida em por .
 Estude a função f quanto à paridade.
11. Na figura está representado, num referencial ortonormado, o gráfico da função g.
 11.1. Indique o domínio e o contradomínio da função g.
 11.2. Construa uma tabela de variação para a função g.
 11.3. Considere a função f definida por .
	 11.3.1. Esboce o gráfico da função f.
	 11.3.2. Estude a função f quanto à monotonia.
12. Considere a função h definida em por .
 12.1. Determine o contradomínio da função h.
 12.2. Determine os zeros da função h.
 12.3. Resolva, em , a condição .
	 Apresente o conjunto-solução usando a notação de intervalos de números reais.
13. Resolva as seguintes equações, simplificando tanto quanto possível as expressões que representam as respetivas soluções.
 13.1. 		13.2. 
14. Na figura está representada, num referencial ortonormado, 
parte do gráfico da função polinomial, do terceiro grau, g, definida em .
 14.1. Determine o domínio da função h tal que .
 14.2. Prove que a função g pode ser definida por:
2
a
b
=
(
)
(
)
2
fafb
-+
g
D
Ì
¡
(
)
25
f
-=
1
f
-
(
)
1
5
f
-
-
2
2
-
2
5
52
-
[
]
3,4
-
(
)
(
)
,21
g
xDgxfx
Î=--
[
]
,1
g
Dab
¢
=-+
(
)
(
)
32
gg
---
(
)
(
)
,2
h
xDhxfxb
Î=+
(
)
fa
¡
(
)
36
fxx
=-
¡
]
[
1,3
-
(
)
2
gx
=
¡
¡
(
)
2
2810
fxxx
=-++
(
)
fx
(
)
2
axhk
-+
{
}
\0
a
Î
¡
,
hk
Î
¡
¡
(
)
10
fx
£
(
)
æö
--
ç÷
èø
1
3,e6,18
3
ab
¡
(
)
2
1
3
2
gxxx
=-+-
¡
(
)
(
)
hxgxab
=+-
¡
]
]
,4
-¥
¡
(
)
(
)
2
gxfx
=--
[
[
6,
-+¥
[
[
6,
+¥
Î
¡
[
[
2,
-+¥
[
[
2,
+¥
(
)
2
23
fxxxc
=-++
(
)
0
fx
=
¡
(
)
2,1
-
(
)
3
5
4
ff
æö
<
ç÷
èø
3
4
x
>
(
)
3
4
fxf
æö
>
ç÷
èø
1
4
c
=
]
]
,1
-¥
¡
]
]
,2
f
D
¢
=-¥
{
}
{
}
2,1,1,3e1,4,9
AB
=--=
(
)
(
)
3
gxfx
=+
(
)
(
)
1
hxfx
=--
(
)
(
)
jxfxa
=+
¡
(
)
2
43
fxxx
=++
(
)
(
)
32
fxf
=-
¡
(
)
2
241
gxxx
=+-
]
]
-¥-
,3
[
[
-+¥
1,
(
)
(
)
(
)
(
)
{
}
=--
2,4,1,1,1,1,3,9
f
G
[
[
-+¥
3,
]
]
-¥-
,1
¡
(
)
=-+
2
62425
fxxx
(
)
(
)
22,
fxfxx
-=+"Î
¡
(
)
fx
(
)
2
axhk
-+
{
}
\0
a
Î
¡
,
hk
Î
¡
¡
:
hAB
®
(
)
2
3se 2
1se 2
xx
hx
xx
-³
ì
=
í
-<
î
(
)
(
)
(
)
2222
hhh
+-
]
[
,2
-¥
(
)
8
hx
<
132
x
--<-
342
x
+³
2
10212
xx
-+>
¡
2,33
éù
-
ëû
¡
-+
1
2
2
xx
1
(
)
(
)
=-
3
hxfx
0,23
éù
+
ëû
0,23
éù
ëû
0,243
éù
+
ëû
0,43
éù
ëû
¡
(
)
12242
gxx
=--
¡
(
)
8
gx
=-
(
)
2
gx
<
35
,1,,3
22
A
ìü
=--
íý
îþ
¡
(
)
423
fxx
=--
(
)
313
gxx
=--
¡
(
)
2
x
hxf
æö
=
ç÷
èø
(
)
1
4
2
hh
æö
+
ç÷
èø
¡
(
)
(
)
fxgx
=
¡
¡
2
43
xx
+>
2
3
1
2
xx
+£
¡
(
)
(
)
hxfx
=
(
)
3
fx
=
(
)
0
fx
=
(
)
2
fx
=
(
)
1
fx
=-
(
)
3
x
fx
=
¡
(
)
(
)
3
gxfx
=-
(
)
2
68
fxxx
=-+
(
)
0
gx
£
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
23214
ggf
éù
-+=-
ëû
(
)
23
fxx
=-+
[
[
3,
-+¥
(
)
2
3
gxxx
=-
¡
(
)
3
2
x
gx
=+
(
)
(
)
fxgx
=
8123
xx
+=+
362
xx
-=-
3
343
x
+=
éé
+¥
ëë
3,
(
)
33
gxx
=---
ùù
-¥
ûû
,3
éé
-+¥
ëë
3,
ùù
-¥-
ûû
,3
éé
+¥
ëë
3,
(
)
2
hx
=
(
)
(
)
12e1
fxxgxx
=+=+
hfg
=-
(
)
(
)
(
)
1
12
3
f
f
gg
æö
+
ç÷
èø
¡
(
)
1
2
hxxb
=+
1
h
-
1
f
-
(
)
(
)
1
1
2
33
f
f
-
-
--
1
f
-
(
)
2
jxx
=-
¡
(
)
(
)
21
hxgx
=---
f
xD
Î
(
)
(
)
fxgxab
=-+-
ùù
¢
=-¥
ûû
,3
f
D
3
x
=
(
)
(
)
2
gxfx
=-+
(
)
(
)
3
hxfx
=--+
(
)
(
)
24
jxfx
=-+
(
)
(
)
gxjx
=
¡
(
)
02
f
=
[
[
+¥
0,
[
[
+¥
0,
¡
[
[
5,
-+¥
x
5
2
22
+¥
(
)
3
fxx
=
(
)
hx
2
-
Z
]
Z
®
(
)
4
hx
>
(
)
0
hx
£
¡
2
26
xx
-£
(
)
2
gx
x
=
2
43
xx
>+
(
)
(
)
226
xxx
+³-
(
)
2
22
x
-<-
212
xx
+³+
2
24
xx
-++£
[
]
:3,4
g
-®
¡
 3212
xx
--
1
[
[
-+¥
12,
(
)
3
gx
>-
]
[
(
)
0,9
x
Î
1
2
(
)
2
896540
Axxx
=-+
(
)
(
)
=-=-
2
44e1
fxxgxx
hfg
=+
(
)
1
3
2
fg
æö
=
ç÷
èø
o
fg
+
(
)
(
)
0
fg
+
fg
´
(
)
(
)
3
fg
´
]
]
,1
-¥
(
)
::2
txfx
+
$Î=-
¡
(
)
41
fxx
=--
1
f
-
(
)
(
)
11
12
ff
--
+
1
f
-
[
[
+¥
2,
(
)
=-
2
fxx
(
)
1
4
f
-
1
f
-
(
)
3
fxx
=
¡
(
)
3
hxx
=+
{
}
¡
\1
(
)
1
1
gx
x
=
-
(
)
(
)
-
=
o
22
2
gha
22
+
22
2
222
+
f
(
)
,
Pxy
(
)
,
Pxay
¢
1
a
>
1
a
>
01
a
<<
1
a
>
h
xD
Î
(
)
(
)
hxfx
=-
(
)
(
)
fxhx
>
]
[
,0
-¥
]
[
+¥
2,
]
[
-¥-
,2
]
[
+¥
0,
[
]
:2,5
j
-®
¡
2
2
xx
1
{
}
{
}
1,2e2,3,5
AB
==
[
]
8,50
2
x
=-
¡
(
)
0,4
(
)
4,0
(
)
4,1
(
)
1,4
¡
(
)
2,1
(
)
(
)
=-+Î
¡
 ,
fxxabab
00
ab
>Ù>
00
ab
<Ù>
00
ab
>Ù<
00
ab
<Ù<
(
)
4
2
hx
x
=
-
{
}
\2
¡
(
)
3
2em
jxx
=+
¡
(
)
(
)
(
)
1
10e1ahjbj
-
=-=-
o
ab
´
?
AB
´
224
-+
4212
-
224
-
4212
-+
0
m
¹
(
)
fxmxb
=+
(
)
1,2
A
(
)
2,3
B
1
f
-
¡
AB
´
(
)
2
2
fxxx
=+
(
)
(
)
11
fxgx
=--
¡
(
)
622
hxx
=-+
¡
(
)
4
hx
£-
221
xx
-+=
33
xx
+=-
¡
23
AB
´
(
)
(
)
hxgx
=
(
)
32
46
22
xx
gxx
=+--
23
AB
´
(
)
2
1
x
fx
xx
+
=
-
(
)
2
x
gx
x
+
=
-
¡
1
g
-
(
)
(
)
=-=
+
2
1
3e
3
fxxgx
x
(
)
(
)
3
gf
o
¡
(
)
3
2
fxxx
=-
2
2
-
(
)
(
)
Î
e,
f
aDPafa