MATERIAL 01 - Polinomios - Fatoração

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Material 01 – Polinômios - Fatoração Complementos de Matemática I 
MATERIAL 01 – FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS 
______________________________________________________________________ Caro aluno 
Saber fatorar polinômios, é muito útil para os nossos Cursos de Cálculo. 
Só para lembrar: um polinômio com coeficientes reais, na variável , é uma expressão do tipo: , onde e . 
Assim como operamos com os números, podemos também, operar com os polinômios. É importante praticar a divisão entre polinômios. 
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Nos resultados a seguir, você encontrará expressões como: 
fatores lineares, fatores quadráticos, fatorar um polinômio, decompor em fatores lineares e ou fatores quadráticos irredutíveis. 
Vamos explicar o que essas expressões significam. 
Fatores lineares: são polinômios de grau 1, da forma , . Fatores quadráticos: são polinômios de grau 2, da forma , . 
Fatorar um polinômio: é uma forma resumida de dizer "escrever o polinômio como produto de fatores lineares e/ou fatores quadráticos irredutíveis". 
Decompor em fatores lineares e ou fatores quadráticos irredutíveis: significa fatorar o polinômio, ou seja, escrever o polinômio como produto de fatores lineares e/ou fatores quadráticos irredutíveis. 
Exemplos de polinômios fatorados: 
 
 
 
 , onde é irredutível. 
Como estamos interessados em fatorar polinômios, vamos lembrar alguns resultados importantes que nos permitirá encontrar a fatoração de polinômios. 
Resultado 1: 
"Seja um polinômio na variável , onde e . Dizemos que um número real αé uma raiz do polinômio p( x )se, e somente se, p(α ) = 0". 
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Resultado 2: 
"Todo polinômio, , onde e , se decompõe em fatores lineares e ou fatores quadráticos irredutíveis". 
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Resultado 3: 
Em especial, vamos trabalhar com a fatoração do polinômio quadrático, polinômio de grau 2, 2 
( )onde, a, b, c ∈ IR, coma ≠ 0 . 
p x =a x + b x+ c 
a x + b x+ c =onde, a, b, c ∈ IR, coma ≠ 0 . 
2 
Vamos, inicialmente, resolver a equação 0 
2 
As possíveis soluções dessa equação são raízes do polinômio p x =a x + b x+ c ( ) . 
Multiplicaremos os dois membros da equação por a: 
2 2 
2 2 
a x + ab x+ ac =, que é o mesmo que 0 
0 
Completando o quadrado na variável x: 
a x + ba x+ ac = . 
 
 
Atenção: Caso você não lembre como se completa o quadrado, veja o texto "Completando o Quadrado", disponível na plataforma. 
Da igualdade segue que: 
b − ac <a equação dada não tem solução, pois, 
2 
I) Se 4 0 , 
e, portanto, nunca será igual a um número negativo. 
( )é irredutível em IR, não pode ser escrito 
2 
Neste caso o polinômio p x =a x + b x+ c 
como produto de dois polinômios de grau 1, com coeficientes reais. 
b − ac =então , donde 0 
b 
a xe, portantoab 
2 
II) Se4 0 , Neste caso ab 
+ = 2 
= − . x2 
2 
= − é a solução da equação dada e o polinômio p x =a x + b x+ c 
x2 
duas raízes reais iguais, e se fatora da seguinte forma: 2 
III) Se4 0 , 
b − ac >então: 
 
 
( )tem 
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Neste caso, a equação dada tem duas soluções reais distintas: 
2 
x24 
− − − 
b b ac 
2 
x24 
− + − 
b b ac 
=ea 
1 
a 
2 
= . 2 
O polinômio p x =a x + b x+ c 
( )têm duas raízes reais distintas e se fatora da seguinte 
forma: 
2 
p x =a x + b x+ c = a x−x x−x . 
( ) ( )( ) 1 2 
______________________________________________________________________ 
Resultado 4: 
"Todo polinômio onde , n ímpar e , tem pelo menos uma raiz real". 
______________________________________________________________________ 
Resultado 5: 
"Se αé uma raiz inteira do polinômio, , onde e então αé um divisor do termo independente 0 a". ______________________________________________________________________ 
Resultado 6: 
"Se qp, onde peqsão números inteiros, q ≠0 , peqprimos entre si, é uma raiz do 
n 
n 
− 
1 
− onde n∈Ν , n≥1 , ainúmeros inteiros, 
1 p( x) a x a x ..... a x a 
=n + + + + 
polinômio 1 0 
n 
i= 0, 1,2,3,...,n, então pé um divisor do termo independente 0 ae qé um divisor do coeficiente n a". 
______________________________________________________________________ 
Resultado 7: 
"O resto da divisão de um polinômio p( x )por x−aé p(a)". 
______________________________________________________________________ 
Resultado 8: 
"Um polinômio p( x )é divisível por x−ase, e somente se, p(a) =0". 
______________________________________________________________________ 
Resultado 9: 
x , x ,......., x 1 2são raízes de um polinômio de grau n , 
"Se n 
n 
n 
− 
1 
1 p( x ) a x a x ... a x a 
=n + + + + 
−, então ( ) ( )( )....( ) 
n 
1 0 
n 1 2 n p x =a x−x x−x x−x". 
______________________________________________________________________ Resultado 10:
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"Um polinômio p( x ), com gr( p( x)) ≥ né divisível pelos binômios ( ), ( ),.....,( ) 
x− x x− x x− x, onde n 
1 2 n 
x , x ,...., x 1 2são todos distintos entre si, se, e somente se, 
p( x )é divisível pelo produto ( )( )....( ) 
x− x x− x x− x". 
1 2 n 
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Vamos fatorar, em IR , alguns polinômios! 
Exemplo 1 Fatore, em IR , o polinômio ( ) 4 3 4 3 
3 2 
p x = x + x − x − . 
Solução: 
Para fatorar p( x )precisamos conhecer as suas raízes. 
As possíveis raízes inteiras de p( x )são os divisores do termo independente 3, que são: −1,+1,−3,+3 . 
Note que p(−1)=0 ; p(1)=0 ; p(−3)= −72; p(3)= 120 . 
Portanto,p( x )tem somente duas raízes inteiras, que sãox = −1ex = 1 
Se x = −1é uma raiz de p( x)então p( x )é divisível por x−(−1) = x+1 . Se x = 1é uma raiz de p( x )então p( x )é divisível por x −1 . 
Logo, p( x )é divisível por( 1)( 1) 1 
2 
x− x+ = x − . 
Dividindo p( x )por 1 
x − , obtemos ( ) ( 1)(4 3) 
2 
2 
p x = x − x + . 
Assim a fatoração procurada é p( x)=( x+ 1)( x− 1)(4x +3) . 
______________________________________________________________________ Exemplo 2 Fatore, em IR , o polinômio( ) 2 3 8 3 
3 2 
p x = x + x − x + . 
Solução: 
O polinômio desse exemplo 2, tal qual o polinômio do exemplo 1, também não é um polinômio mônico, isto é, o coeficiente do seu termo de mais alto grau não é 1. Portanto esse polinômio pode admitir raízes racionais, do tipo, , com inteiros, primos entre si, e . 
Ao invés de começarmos a pesquisar as raízes inteiras de polinômio , podemos já pesquisar suas raízes racionais. Neste caso, as possíveis raízes racionais desse polinômio são os divisores do termo independente3, que são: −1,+1, −3, +3, divididos pelos divisores do coeficiente do termo de maior grau, que são −1,+1,−2,+2 . 
Assim, as possíveis raízes racionais desse polinômio são: 
1 
1 
3 
3 
−1, +1, −3, +3, − − . Observe que aqui também estão incluídas as possíveis 
2 
, 
2 
, 
2 
, 
2 
raízes inteiras, que também são racionais. ∙ Uma forma de encontrar a fatoração é:
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Calcular o valor de p( x )nessas possíveis raízes: 
p(1) = 0 , p(−1) = 12 , p(3) = 60 , p(−3) = 0 , , , e . 
Como é um polinômio de grau 3, então já encontramos todas as suas raízes e assim, pelo Resultado 9, 
 . 
∙ Outra forma de encontrar a fatoração é: 
 é divisível por . 
Dividindo por , 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, ; 
Agora podemos fatorar o trinômio de segundo grau . 
 , donde a equação possui duas raízes reais distintas, , logo, 
 , . 
Fatorando, . 
Portanto, . 
______________________________________________________________________ 
Exemplo 3 O livro do matemático árabe al-Khwarizmi, que morreu antes de 850, contém uma extensa discussão sobre problemas de herança. Como escreveC. Boyer no livro História da Matemática, as complicadas leis árabes que regiam a divisão de heranças parecem ter encorajado o estudo da álgebra na Arábia. Dentro deste tema, está o seguinte problema: 
Um pai deixa a seus filhos uma herança de R$ 1 200 000,00. Três deles, renunciando a suas partes, fazem com que cada um dos demais receba, além do que receberia normalmente, um adicional de R$ 90 000,00. Quantos filhos tinha, no total, este pai? 
Solução:
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Considerando xo número de filhos, temos que cada um deles deveria receber: 
R$1 200 000,00. Como três dos seus filhos renunciaram suas partes, cada um dos demais x 
recebeu: 
R+ 
$90000,00 $1 200 000,00 R 
x 
Pensando de outra forma, como três dos seus filhos renunciaram suas partes, a herança foi dividida entre x−3filhos e cada um recebeu: 
R. 
$1 200 000,00 
x − 
3 
Portanto, o número de filhos é a solução da equação: 
R 
$1 200 000,00 $90000,00 $1 200 000,00− 
R 
+ =x 
x 
R 
3 
Dividindo cada membro da equação por 30000,00temos: 
40 
40 3 
x x. 
+ = 
− 
3 
4 0 
4 0 3 
4 0 3 4 0 
4 0 3 4 0 
+ 
x 
+ 
x 
Mas, = ⇒ + = 0 
x x 
− 
3 
⇒ 
= 
x x 
⇒ 
− 
3 
− 
x x 
− 
3 
(4 0 3 )( 3) 4 0x x x + − −0 (4 0 3 )( 3) 4 0 0 
x x x x x 
( 3) 
− 
= ⇒ + − − = ⇒ 
2 2 2 
x − ⋅ + x − ⋅ x − x = ⇒ x − x − = ⇒ x − x − = . 40 40 3 3 3 3 40 0 3 9 120 0 3 40 0 
As raízes dessa equação são: 
3 ( 3) 4 1 ( 4 0) 
2 
± − ⋅ ⋅ − 
3 169 ± 
3 1 3 ± 
x = x o u x 
2 1 ⋅ 
= 
2 
= 
⇒ = = − 
8 5 
2 
Portanto, o número de filhos é 8 . 
E agora, aos exercícios: 
______________________________________________________________________ 
Exercício 1: O livro "Al-Jabr Wa’l mugãbalah" escrito pelo matemático árabe al-Khwarizmi, que morreu antes de 850, tem grande importância na história da Matemática. O nome deste autor originou a palavra algarismo e a primeira palavra do título do livro, cujo significado, não se sabe ao certo, originou o termo álgebra, pois foi por esse livro que mais tarde a Europa aprendeu o 
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ramo da Matemática que hoje tem esse nome. Um dos vários problemas que ilustram tal livro pede que se divida o número 10em duas partes de modo que "a soma dos produtos obtidos, multiplicando cada parte por si mesma, seja igual a 58". Resolva-o. 
______________________________________________________________________ Exercício 2: Uma fatia com 3cm de espessura é cortada paralelamente a uma das faces de um cubo, deixando um volume de 3 
196 cm. Encontre o comprimento do lado do cubo original. 
______________________________________________________________________ Exercício 3: Diga quais das expressões abaixo são polinômios: 
1 
1 
1 
p x = x + x − x +b)t( x )=5c)( ) 3 5 
( ) 25 3 
3 
2 
a)2 2 
− − − 
4 3 1 
d)( ) 2 3 
q x = x + x − 
5 2 
=xx x 
4 3 
− − 
s x x x xe)5 
= + − + 
r x . 
( )3 
− 
______________________________________________________________________ 
Exercício 4: Determine os valores de a,b,c, números reais, que tornam os polinômios p( x )e q( x)iguais: 
p( x)=a x( x+1)+b x( x−1)+c( x−1)( x+1)e( ) 3 5 
2 
q x = x − . 
______________________________________________________________________ 
Exercício 5: Faça as operações indicadas: 
a)3 2 
−(4x+1) −2(4 x+1)b)4 4 
( x+h) − x . 
______________________________________________________________________ 
Exercício 6: Determine o quociente e o resto da divisão dos polinômios p( x )eq( x)nos seguintes casos: 
5 4 3 
3 
a)( ) 3 2 4 3 
p x = x − x + x + x− ( ) 2 1 q x = x − x+ 
b)( ) 3 4 11 12 5 4 3 2 
2 2 
p x = x + x − x − x + x+ ( ) ( 4 5) q x = x x + x+ . 
______________________________________________________________________ 
Exercício 7: Determinea , a ∈ IR , de modo que o polinômio 
3 2 
= + − + − +seja divisível por q( x)= x−1e em seguida, 
p( x) a x (2a 1) x (3a 2) x 4a 
obtenha o quociente da divisão. 
______________________________________________________________________ Exercício 8: Fatore os seguintes polinômios: 
2 
3 2 
p x = x + x− b)( ) 2 5 3 
a)( ) 2 5 3 4 
p x = x + x + x− 4 3 2 
p x = x − d)( ) 2 9 6 11 6 
c)( ) 1 
p x = x − x + x + x−
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e)( ) 8 15 4 2 
4 3 2 
p x = x − x +f)( ) 2 7 4 4 
p x = x + x + x + x− 
4 
g)( ) 1 
p x = x + . 
______________________________________________________________________ Exercício 9: Seráx+3um fator do polinômio ( ) 2187 7 
p x = x +? Justifique sua resposta. 
______________________________________________________________________ Exercício 10: Considerando o que você aprendeu sobre polinômios, responda: existe algum número racional que seja igual ao seu cubo mais um? 
______________________________________________________________________ Bom trabalho!
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