Folha 3 mdc e eqs Diofantinas MD_22_23 (1)

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Matemática Discreta 22/23 Folha 3
LEI mdc, mmc, equações Diofantinas lineares
17. Determine:
(a) mdc(33 × 52 × 77, 22 × 133) e mmc(33 × 52 × 77, 22 × 133).
(b) mdc(22 × 33 × 5× 11, 23 × 3× 7× 11) e mmc(22 × 33 × 5× 11, 23 × 3× 7× 11).
(c) mdc(600, 196) e mmc(600, 196).
(d) mdc(5320, 2604) e mmc(5320, 2604).
18. Determine todos os números naturais x e y com x ⩽ y e tais que:
(a) x× y = 1080 e mmc(x, y) = 180.
(b) x+ y = 60 e mdc(x, y) = 12.
(c) x e 14 são primos entre si e mmc(x, y) = 504.
19. Escreva mdc(x, y) como combinação linear de x e de y para:
(a) x = 144 e y = 68.
(b) x = 189 e y = 108.
(c) x = 252 e y = 198.
(d) x = 218 e y = 88.
(e) x = 345 e y = 215.
20. Diga, justificando, se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:
(a) mdc(n, n+ 1) = 1, ∀n ∈ N.
(b) mdc(n, 5n+ 1) = 1, ∀n ∈ N.
(c) Sejam a, b ∈ N. Existem α, β ∈ Z tais que 1 = αa+ βb se e só se mdc(a, b) = 1.
(d) Sejam a, b, d ∈ N. Existem α, β ∈ Z tais que d = αa+ βb se e só se mdc(a, b) = d.
(e) Sejam a, b, d ∈ N. Se existem α, β ∈ Z tais que d = αa+ βb, então mdc(a, b) | d.
21. Encontre uma solução particular e escreva a solução geral para as seguintes equações Diofantinas
que admitem soluções inteiras:
(a) 252x+ 198y = 48.
(b) 218x+ 118y = 10.
(c) 188x+ 24y = 36.
(d) 37x+ 44y = 21.
(e) 143x+ 495y = 221.
(f) 345x+ 215y = 5.
22. Uma escola decide sensibilizar os alunos para a fome e empenha-se numa campanha que irá oferecer
leite e bolachas às famı́lias mais necessitadas. O João dirige-se a uma loja onde um litro de leite custa
65 cêntimos e um pacote de bolachas custa 1 euro e 20 cêntimos. Com 10 euros, que quantidade de
leite e bolachas é que o João pode oferecer?
23. Pretende-se guardar caixas de material A e B numa área de armazenamento com 3, 30m de com-
primento e 1m de largura. Esta área só pode armazenar uma fila de caixas, i.e. não se pode colocar
caixas sobre caixas. As caixas A têm medidas 1m× 0, 12m; as caixas B têm medidas 1m× 1, 05m.
É posśıvel armazenar caixas A e B de modo a não sobrar espaços vazios nesta área? Em caso
afirmativo, indique quantas caixas de cada.