Testes de vida acelerados II

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CONFIABILIDADE 
DE SISTEMAS
Abel José Vilseke
Testes de vida acelerados II
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
  Definir modelos físicos e modelos paramétricos.
  Aplicar os modelos de aceleração para cálculo de vida.
  Descrever os modelos de garantia.
Introdução
Os testes acelerados de vida são ensaios que se destinam a elevar a taxa de 
degradação ou provocar a falência de um item em um período reduzido, 
a fim de fornecer dados para análises de confiabilidade. São aplicados 
quando a obtenção das informações é inviabilizada em condições normais 
de uso, seja porque o tempo até se verificar a falha é muito grande, seja 
porque a detecção e a análise são necessárias na fase de desenvolvimento 
do produto, por exemplo.
Para avaliar o efeito da aceleração das solicitações sobre os produtos, 
empregam-se os modelos de aceleração, que podem ser físicos ou para-
métricos. Os modelos físicos permitem modelar a confiabilidade dos itens 
quando as relações entre tempo de falha e os fatores de aceleração têm 
comportamentos não lineares, como em processos físicos e químicos. 
Já os modelos paramétricos descrevem comportamentos lineares da 
relação entre os fatores de aceleração e os tempos para falha. De acordo 
com as informações de confiabilidade resultantes de testes acelerados 
e dados de campo, pode-se determinar a melhor forma de garantia de 
um produto, de acordo com os modelos apropriados, de modo a definir 
um bom posicionamento no mercado.
Neste capítulo, você vai diferenciar modelos físicos e modelos pa-
ramétricos, verificando suas características. Você também vai analisar a 
aplicação dos modelos de aceleração para cálculo de vida e vai identificar 
os modelos de garantia.
Modelos de dados acelerados
Os modelos de dados acelerados são admitidos como de extrema importância 
para as análises de confi abilidade. Eles relacionam os dados coletados em 
testes de vida com o comportamento estimado para as condições normais 
de uso de componentes, produtos ou sistemas. Esses modelos são abordados 
neste capítulo em duas categorias principais: os modelos físicos e os modelos 
paramétricos.
Modelos físicos
Os modelos físicos se baseiam nos efeitos das solicitações em testes acelerados 
sobre a taxa de falha dos itens testados, determinando o valor da aceleração 
dos tempos para falha e permitindo descrever as funções de confi abilidade. De 
acordo com Fogliatto e Ribeiro (2009), as relações entre os tempos observados 
para falhas em testes acelerados e em condições de vida útil normal são não 
lineares, sendo descritas nos modelos físicos.
Modelo físico de aceleração de Arrhenius
O físico-químico sueco Svante August Arrhenius (1859–1927) desenvolveu a 
conhecida equação de Arrhenius, que descreve o comportamento da veloci-
dade com que uma reação química aumenta com o aumento da temperatura. 
Essa velocidade é dada por:
onde r é a velocidade da reação, A é um fator constante característico da 
reação e não térmico, Ea é a energia de ativação da reação, k é a constante de 
Boltzmann (8,623 × 10-5 eV/K) e T é a temperatura em Kelvin.
Testes de vida acelerados II2
Neste capítulo, a constante de Boltzmann k é dada em função da medida de energia 
eletrovolt (eV). Você também pode encontrar a constante de Boltzmann expressa em 
outras unidades; veja alguns exemplos no Quadro 1.
Quadro 1. Constante de Boltzmann expressa em outras unidades
Valor Unidade Valor Unidade
1,3806 × 10−23 J/K 1,3806 × 10−16 erg/K
2,0836 × 10−10 Hz/K 3,2976 × 10
−24 cal/K
3,1668 × 10−6 EH/K 1,8320 × 10
−24 cal/°R
Assumindo que os tempos até a falha de um componente sejam inversa-
mente proporcionais à taxa de reação do mecanismo de falha, o modelo de 
Arrhenius descreverá:
A variável L denota o tempo de vida do item, e a constante A se refere a 
uma estimativa baseada em dados do componente, como geometria, tamanho, 
condições ambientais de teste, etc. Considere Lo e Ls como conotações para 
a expectativa de vida útil em condições normais e em condições de testes 
acelerados, respectivamente. Então, temos:
3Testes de vida acelerados II
de modo que:
Com To e Ts sendo as respectivas temperaturas de operação normal e de 
teste. Assim, o fator de aceleração térmica do teste será dado por:
Segundo Fogliatto e Ribeiro (2009), a linearização da equação 
pela transformação logarítmica serve como base para a verificação gráfica 
da validação do uso do modelo de Arrhenius em testes acelerados. Sendo a 
equação linearizada , lnA e podem ser estimados por 
regressão linear simples, com dados de tempo de falha com dois ou mais níveis 
de estresse testados.
Modelo físico de aceleração de Eyring
Segundo Oliveira (2012), esse modelo foi desenvolvido com base na teoria da 
mecânica quântica para descrever o comportamento de reações de degradação 
química. Para a aceleração por temperatura, o tempo para a falha é dado, no 
modelo de Eyring, por:
onde α e β são constantes estimadas a partir dos dados acelerados. Essas 
estimativas podem ser obtidas por regressão linear simples após a linearização 
da equação ou por estimadores de verossimilhança.
Quando se utiliza a temperatura como variável de aceleração segundo 
uma distribuição exponencial, o parâmetro de localização γ assume o valor 
zero, inferindo-se a possibilidade de a falha ocorrer logo no início do teste. 
Caso o parâmetro de localização assumisse um valor maior do que zero, 
significaria que só depois desse momento é que se poderia verificar a falha 
Testes de vida acelerados II4
do componente. No modelo de aceleração de Eyring, o fator de aceleração 
é dado por:
Modelo da lei da potência inversa
Segundo Fogliatto e Ribeiro (2009), o modelo da lei da potência inversa tem 
seu número de aplicações em confi abilidade equiparável com o modelo de 
Arrhenius. Esse modelo descreve o tempo para falha com base em um único 
fator de estresse. Oliveira (2012) afi rma que esse modelo pode ser aplicado em 
testes em que o fator de estresse não seja a temperatura, como tensão elétrica, 
solicitações mecânicas, etc. 
A relação entre o tempo para falha e o fator de estresse no teste é dada por:
onde Vs é o fator de estresse positivo aplicado às unidades testadas, Ls é um 
percentil na distribuição dos tempos obtidos no ensaio, e C e n são constantes 
características do item e da modalidade de teste. C e n podem ser obtidos por 
regressão linear simples, com a linearização da equação.
Modelo físico de aceleração combinado
O modelo combinado também é chamado de modelo de Bazovsky, ou mo-
delo térmico/não térmico. Denomina-se modelo combinado por associar os 
modelos de Arrhenius e da potência inversa, sendo aplicado exclusivamente 
a componentes eletroeletrônicos, de acordo com Fogliatto e Ribeiro (2009).
O modelo combinado de aceleração é dado por:
5Testes de vida acelerados II
Assim, a relação entre Lo e Ls será expressa por:
O fator de aceleração para a relação do modelo combinado é dado a partir 
da relação entre Lo e Ls:
Também, nesse modelo acelerado, a linearização da equação permite a 
estimação dos coeficientes n, Ea e k por regressão múltipla, já que existem 
duas variáveis independentes.
Modelos paramétricos
Quando a relação entre os fatores de estresse, aos quais a amostra é submetida, 
e o tempo até a falha não pode ser descrita conforme princípios físico-químicos, 
são empregados modelos paramétricos, com a suposição de um comportamento 
linear dessas relações. Para caracterizar os modelos paramétricos, são descritas 
no Quadro 2 as relações entre as condições normais e as condições de teste.
Fonte: Adaptado de Fogliatto e Ribeiro (2009).
Relação Expressão
Tempos até a falha
Funções de distribuição
Densidades de probabilidade
Funções de risco
Quadro 2. Relações entre condições operacionais e de estresse
Testes de vida acelerados II6
Modelo de aceleração da distribuição exponencial
Sendo considerado matematicamente simples, com um único parâmetro λ, o 
modeloexponencial é apontado como um dos modelos paramétricos de maior 
importância em estudos confi abilísticos, conforme leciona Santos (2016).
Considere que a distribuição de tempos de falha em testes acelerados é des-
crita exponencialmente; com o parâmetro λs, a função distribuição é dada por:
Como:
é possível estimar as taxas de falha para conjuntos de dados tanto completos 
como censurados, utilizando os estimadores de verossimilhança do parâmetro 
λ pelas respectivas equações:
Sendo que n denota o tamanho da amostra, enquanto r expressa o número de 
unidades falhadas. A notação ti indica o i-ésimo tempo para a falha conhecido, 
enquanto ti
+ indica o i-ésimo tempo para a falha censurado.
Assim, o tempo médio para falha (MTTF, do inglês mean time to failure) 
do item com solicitações normais é dado por:
Modelo de aceleração da distribuição de Weibull
A distribuição de Weibull, signifi cativamente presente em modelos de dados de 
confi abilidade, caracteriza-se pela versatilidade na análise de dados simétricos 
7Testes de vida acelerados II
e assimétricos à direita ou à esquerda. A descrição da função distribuição para 
dados de tempo em ensaios acelerados é feita pela equação:
Quanto aos parâmetros de forma e de escala, respectivamente γ e θ, na 
distribuição de dados de testes acelerados, devem assumir as seguintes con-
dições para distribuições supostamente lineares.
  γs = γo: o parâmetro de forma deve apresentar-se praticamente igual 
para qualquer nível de carga, podendo ser designado apenas como γ.
  θo = θs × AF: o parâmetro de escala deve variar linearmente com o fator 
de aceleração.
Sendo:
a distribuição em condições normais de estresse é dada por:
e a função densidade, por:
Para o tempo médio para falha, emprega-se a equação:
Sendo que Γ é dada por uma integral definida, designada função gama.
Testes de vida acelerados II8
A função gama, baseada em pesquisas da forma de interpolação do fatorial de um 
número, é considerada uma das funções mais importantes na matemática, tendo 
sido descrita inicialmente por Euler no século XVIII. Outros matemáticos estudaram a 
função, sendo que Legendre a denominou função gama, definida, segundo Spiegel 
et al. (2012), por:
Fogliatto e Ribeiro (2009) propõem o emprego de ferramentas computa-
cionais, como o Proacel®, para análises de dados de testes acelerados, devido 
à complexidade da estimação matemática dos parâmetros para a distribuição 
de Weibull.
Modelo de aceleração da distribuição gama
O modelo acelerado da distribuição gama permite obter a função densidade 
para os tempos de falha, com aplicação de estresse acelerado, por meio da 
equação:
Sendo que o parâmetro de escala é e o parâmetro de forma é γs, o 
qual deve ser constante em todos os níveis de solicitação (γs = γo), para validar 
a suposição de linearidade.
O parâmetro θs se relaciona com as condições de operação normal pelo 
fator de aceleração:
θo = θsAF
O modelo de aceleração da distribuição gama apresenta grande simila-
ridade com o modelo de Weibull, essencialmente pela função densidade; 
no entanto, a taxa de risco se diferencia consideravelmente. Contudo, a 
reciprocidade entre os modelos gera complexidade matemática para se de-
9Testes de vida acelerados II
terminar a maioria das funções de confiabilidade, o que requer tratamento 
computacional dos dados.
Modelo de aceleração da distribuição lognormal
A função densidade de tempos para falha verifi cados sob condições de 
estresse acelerado conforme uma distribuição lognormal é descrita pela 
equação:
Os parâmetros da distribuição lognormal sob condições de estresse ace-
lerado se relacionam, na suposição de aceleração linear, da seguinte forma:
  σs = σo = σ: equivalente ao parâmetro de forma da distribuição de 
Weibull (γ); deve demonstrar-se aproximadamente igual para todos os 
níveis de solicitação;
  μo = μs + lnAF: designa o fator de aceleração.
Pode-se obter o tempo médio para falha nas condições de operação normal 
pela equação:
Aplicação dos modelos de aceleração
Aplicação do modelo físico de aceleração de Arrhenius
O modelo de aceleração Arrhenius é empregado quando a temperatura é fator 
de estresse. Por meio desse modelo, é possível estimar a vida útil média do 
item analisado, assumindo-se os dados obtidos de tempo de falha em teste 
de temperatura elevada.
Testes de vida acelerados II10
Um determinado componente eletrônico é destinado a constituir um circuito que opera 
a 40°C. O teste acelerado realizado em um lote desses componentes eletrônicos a 120°C 
apresentou tempo médio para falha de 4.000 horas, com fator de estresse Ea de 0,162 
eV/K. Podemos, assim, determinar o tempo de vida útil esperado em condições normais.
Dessa forma, concluiu-se que o tempo de vida útil estimado dos componentes é 
de aproximadamente 13.573 horas.
Aplicação do modelo físico de Eyring
Alternativamente ao modelo de Arrhenius, o modelo de Eyring também é 
utilizado quando a variável de aceleração do teste é a temperatura. O mo-
delo de Eyring pode ser empregado para outros fatores de estresse além da 
temperatura, como tensão elétrica.
Aplicação do modelo físico da lei da potência inversa
O modelo da lei da potência inversa é amplamente utilizado não só em testes 
acelerados, podendo descrever inclusive comportamentos antropológicos e 
eventos naturais, como a intensidade de terremotos. As distribuições associadas 
ao modelo da lei da potência inversa dependem frequentemente do tipo de 
fator de estresse, por exemplo, distribuição lognormal para tensão elétrica e 
Weibull para solicitações mecânicas.
Aplicação do modelo físico combinado
Esse modelo é aplicado quando os testes acelerados empregam dois fatores 
de estresse simultaneamente, em geral, um térmico e outro não térmico, que 
normalmente é a tensão elétrica. Tipicamente, pode-se aplicar esse modelo 
em componentes elétricos e eletrônicos, devido aos tipos de solicitações a 
que estes estão sujeitos.
11Testes de vida acelerados II
Um determinado componente eletrônico que opera à temperatura normal de 35ºC e 
em uma tensão de 28V é testado com energia de ativação de Ea de 0,3 eV/K em mais 
de um nível de estresse e temperatura. Obteve-se o comportamento apresentado 
no Quadro 3.
Quadro 3. Tensão elétrica de acordo com a temperatura
Temperatura
Tensão elétrica
60V 120V
50°C 2.000 hs 1.700 hs
60°C 1.700 hs 1.400 hs
Como é necessário, inicialmente, encontrar o valor do coeficiente n, aplicou-se a 
equação do modelo combinado com dados do teste — optou-se por valores das 
condições mais próximas das condições normais: temperatura de 50°C e tensão de 60V.
Para o cálculo do tempo de vida em condições normais, aplicou-se novamente a 
equação, agora com os dados de operação normal. Obteve-se:
Aplicação dos modelos paramétricos
Os modelos paramétricos são aplicados em circunstâncias pressupostas de 
relação linear entre os tempos de falha com diferentes níveis de estresse; ou 
seja, o tempo até a falha decai linearmente à medida que se intensifi cam as 
solicitações.
Para estimar os tempos de vida médios em condições normais de uso, é 
preciso determinar os estimadores de verossimilhança, conforme os parâmetros 
de cada distribuição, como o estimador Λ para o parâmetro λ da distribuição 
exponencial e os estimadores para modelo da distribuição lognormal, dados por:
Testes de vida acelerados II12
A seguir, vejamos um exemplo de aplicação do modelo paramétrico da 
distribuição exponencial.
Se 10 unidades de um produto foram submetidas a um teste de umidade e tempera-
tura cujos tempos de vida foram acelerados em 50 vezes, e somente cinco amostras 
forneceram dados, as demais foram censuradas em 1.200 minutos. Com os dados de 
tempo disponíveis em minutos — 112, 135, 204, 244 e 339 —, pode-se estimar o tempo 
médio de vida em condições normais.
É necessário estimar a taxa de falha Λ aplicando o estimador de verossimilhança:
Sendo falhas por minuto.
Sendo o MTTF para distribuição exponencial , o MTTF em condiçõesnormais 
será de 70.340 minutos.
Modelos de garantia
Garantia é um termo que expressa um compromisso do fornecedor de um 
produto ou serviço para com seu consumidor ou usuário. Nessa abordagem 
mercadológica, garantia quer dizer “Responsabilidade assumida pelo vendedor 
de entregar a mercadoria isenta de defeitos e em condições de funcionamento”. 
Normalmente você encontra as defi nições de garantia relacionadas com essas 
condições de uso ou consumo em termos de tempo (anos, meses), mas é possível 
defi nir garantia também como condicionamento ao cumprimento da função 
em toda a vida útil, conforme lecionam Fogliatto e Ribeiro (2009).
De acordo com Santos (2008), a garantia de produtos é estudada sob várias 
perspectivas, das quais ressaltamos as seguintes:
  do ponto de vista do fornecedor, a garantia pode ser entendida como 
proteção e promoção, assegurando precaução contra uso indevido e 
estabelecendo uma relação de confiança para com o usuário — isso 
13Testes de vida acelerados II
implica em custos que precisam ser considerados na composição de 
custo do produto;
  do ponto de vista do usuário, a garantia compreende a presunção de 
proteção contra erros e falhas eventuais quando o produto é usado cor-
retamente e informações que implicam na percepção de confiabilidade.
Produtos industriais, especificamente, são oferecidos com condições de 
garantia diferentes, o que é tratado na literatura como políticas de garantia. 
Se você considerar que a confiabilidade do produto diminui ao longo do 
tempo, com o aumento da possibilidade de ocorrência de falhas, conforme 
o comportamento demonstrado na curva da banheira (Figura 1), o período 
assegurado pelas políticas de garantia deve considerar esse comportamento. 
Isso porque envolve a credibilidade da marca, bem como custos de reparos ou 
reposição e até riscos à integridade do usuário ou consumidor. Os elementos 
que determinam o modelo de garantia devem basear-se em dados confiáveis, 
suficientes e apropriados, podendo ser oriundos de coletas em campo ou 
testes acelerados.
Figura 1. Curva da banheira.
Fonte: Adaptada de Bazovski (1961).
De acordo com Santos et al. (2008), o emprego adequado de métodos 
estatísticos de análise de confiabilidade na determinação dos prazos de 
garantia possibilita descrever com melhor precisão o desempenho dos produtos 
Testes de vida acelerados II14
no período de garantia. Isso resulta em equilíbrio de custos e construção de 
uma relação mais robusta com o mercado.
As políticas de garantia podem ser determinadas com base em três tipos de 
garantia, segundo Fogliatto e Ribeiro (2009), conforme relaciona-se a seguir.
  Garantia integral limitada: o usuário é ressarcido integralmente ou tem 
o produto substituído ou restaurado sem custo para si, caso a situação 
enquadre-se nos termos prefixados. Segue, então, a validade desses 
termos até o prazo inicialmente firmado.
  Garantia integral ilimitada: assegura ao usuário a reposição do item nos 
termos predefinidos, passando a valer a partir daí até um novo período 
idêntico ao inicialmente firmado.
  Garantia pro rata: termos que asseguram o reparo, se ocorrerem avarias 
no período de garantia, mas com um custo ao usuário proporcional ao 
tempo de uso, reestabelecendo, então, a validade original de cobertura 
para o item substituído.
Pode-se considerar a prática de associar mais de um tipo de garantia, carac-
terizando tipos mistos, sempre que isso possibilite benefícios mútuos às partes.
Dependendo do custo envolvido na reparação do item, pode-se classificar 
os modelos de garantia para produtos reparáveis e produtos não reparáveis. 
Isso porque deve haver uma coerência que determine a política de garantia, de 
modo a se considerar inviável a reparação cujos custos se aproximem muito 
do valor do item.
Devido à competitividade, os fabricantes e fornecedores de bens de consumo 
costumam oferecer ainda um prazo de garantia maior do que o minimamente 
exigido por lei e ordinariamente estipulado, conforme leciona Santos (2008). 
Assumindo que o custo da garantia está associado com a confiabilidade, 
esse prazo, chamado de garantia estendida, pode ter ônus ao consumidor. 
Feita por contrato no instante da aquisição, caracteriza-se como um tipo de 
garantia mista.
Produtos não reparáveis
Nem sempre é viável realizar o conserto de um bem, implicando na reposição 
ao consumidor quando a avaria ocorre em período de garantia. Considere dois 
tipos de garantia; no primeiro caso, o tipo integral g0 descreve o valor em 
unidades de tempo em que o produto pode sofrer avaria, correspondente ao 
período de garantia, sendo reposto sem custo ao usuário. No segundo caso, 
15Testes de vida acelerados II
tem-se um tipo de garantia mista de integral e pro rata, em que a falha que 
venha a ocorrer antes de um período, descrito por g1 como período de garantia 
integral, determina a reposição do produto sem custo. Caso ocorra em um 
período entre g1 e g2, este representando o fi nal do período de garantia, implica 
em uma compensação do tipo pro rata.
Para o modelo de garantia integral, o custo para o fornecedor, de acordo 
com Fogliatto e Ribeiro (2009), é dado por:
onde Tj é o tempo transcorrido entre a j-ésima falha e a falha imediatamente 
anterior, c0 é o custo unitário da reposição, e g0 é o período de garantia que 
deverá ser otimizado para minimizar os custos da política de garantia adotada.
Para o modelo misto, descrito anteriormente, o custo da falha é dado por:
Tendo como objetivo minimizar os impactos financeiros da política adotada, 
g1 e g2 devem ser otimizados, sendo que g1 descreve o período de garantia 
integral e (g2 – g1) é o período em que incide o tipo pro rata.
As despesas totais acumuladas com garantia, independentemente da 
política adotada, são dadas em termos gerais por:
onde k é o número de falhas em período de garantia.
O Quadro 4 apresenta as equações que determinam os valores esperados 
de custo otimizado para cada política de garantia, de acordo com Fogliatto e 
Ribeiro (2009), mostrando as deduções dessas equações.
Testes de vida acelerados II16
Fonte: Adaptado de Fogliatto e Ribeiro (2009).
Tipo de garantia Equação
Política de garantia mista
Política de garantia integral
Política de garantia pro rata
Quadro 4. Custos para tipos de garantia de bens não reparáveis
As lâmpadas de LED domésticas têm uma elevada durabilidade, chegando a três anos, em 
contraste com o período dado como garantia, habitualmente de 90 dias para lâmpadas 
fluorescentes. Devido ao valor de mercado, maior do que o das lâmpadas fluorescentes, 
os fabricantes e fornecedores consideram conceder até um ano de garantia para que seu 
produto seja competitivo. Considerando que o custo unitário de reposição de uma lâmpada 
modelo X é de R$ 30,00, estime os custos para garantias de três meses e de doze meses, 
sendo que, nesses períodos, a taxa de falhas é constante, dadas as funções de confiabilidade:
 e .
Para garantia de 3 meses:
Para garantia de 12 meses: 
 
(aproximadamente três reais e trinta e seis centavos)
Note que o custo da garantia é significativamente maior para o prazo de um ano 
para o modelo X, recaindo sobre o seu valor de venda, o que pode ser interpretado 
como um efeito negativo na análise de competitividade.
17Testes de vida acelerados II
Produtos reparáveis
Para casos de produtos com valor fi nanceiro relativamente elevado, justifi ca-
-se o reparo desse produto quando da ocorrência de falha em condições de 
garantia, tendo o fornecedor o compromisso de arcar com os custos do conserto.
Normalmente o prazo concedido é estipulado em medidas de tempo de 
calendário e de forma fixa. Sendo definido g como o tempo de duração da 
garantia, pode-se estimar o custo médio da garantia por produto reparado 
que volte a operar, se o tempo para reparo for suficientemente pequeno para 
ser desconsiderado. Utiliza-se a equação:
Onde g é o período de garantia, N(g) é o número de falhas nesse período, P[N(g) 
= n é a probabilidadede que um número n de falhas ocorra durante o período 
da garantia, e Cn é o custo da garantia quando n falhas ocorrem no tempo (0,g).
Dado:
Sendo que F(k)(t) é a função de distribuição de Tk, uma variável aleatória 
relativa ao tempo da k-ésima falha. O custo total da garantia para o produto 
é dado por: PCg, quando P é o número de produtos vendidos.
Pode-se estimar o número de falhas para o período de garantia por meio 
da seguinte equação:
defi nida como função de renovação.
Dois modelos são sugeridos para garantia de produtos reparáveis, conforme 
lecionam Fogliatto e Ribeiro (2009): política de reparo mínimo e política de 
reparo integral. O custo de reparo é dado por:
São apresentados a seguir os dois modelos citados para produtos reparáveis.
Testes de vida acelerados II18
Modelo de garantia para tamanho de lote fixo 
com política de reparo mínimo
Em produtos complexos, com muitos componentes, o reparo pode ser feito de 
modo a manter sua condição operacional de acordo com sua idade ou tempo 
de uso. Assim, a taxa de falha após o reparo é igual à do instante em que a 
falha ocorreu, pois a condição geral do produto é mais afetada pelo estado 
de desgaste e envelhecimento dos demais itens, e não do item reparado. Esse 
modelo de garantia assume uma política de reparo mínimo. São aplicadas as 
equações:
e
Considere um produto com tempo de falha descrito pela função F(t) = 1 – eλt(1 + λt), 
com parâmetro λ = 0,5 falha por ano e custo de reparo Cn = 2n (para cada falha, 
o custo é de duas unidades). Com uma garantia de um ano e política de reparo 
mínimo, tem-se:
Λ1(g) = – lnF(g) = λg – ln(1 + λg) = 0,5 – 
ln(1,5) = 0,09453 falhas esperadas.
Com , obtém-se:
19Testes de vida acelerados II
Modelo de garantia para tamanho de lote fixo 
com política de reparo integral
Em condições em que a falha causa uma pane completa, requerendo ações 
de manutenção integral, de modo a reestabelecer condições similares à do 
produto novo, o modelo de garantia assume uma política de reparo integral. 
Esse modelo implica na obtenção de taxa de falha após o reparo menor do que 
a observada no instante da falha. Aplicam-se as seguintes equações:
e
Como os valores aproximam-se de zero, é desnecessário prosseguir, tendo-se, então, 
o custo da garantia por unidade:
 
(unidades monetárias)
Se o lote do produto em questão é de 1.000 unidades, o custo total da garantia para 
um ano será de aproximadamente R$ 1.979,24.
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Leituras recomendadas
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21Testes de vida acelerados II