MAPA - CÁLCULO NUMÉRICO

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CÁLCULO NUMÉRICO 
 
𝑥 = ∫
100000 𝑉
−(5𝑉2 + 600000)
 𝑑𝑉
0
100
 
Com base nessas informações, resolva os itens abaixo: 
a) Resolva a integral acima, analiticamente e use ln(13/12) = 0,08. 
Solução: 
∫
100000 𝑉
−(5𝑉2 + 600000)
 𝑑𝑉
0
100
= − ∫
100000 𝑉
(5𝑉2 + 600000)
 𝑑𝑉
0
100
 
Invertendo o intervalo de integração, temos: 
− [− ∫
100000 𝑉
(5𝑉2 + 600000)
 𝑑𝑉
100
0
] = ∫
100000 𝑉
(5𝑉2 + 600000)
 𝑑𝑉
100
0
 
 Resolvendo a integral por substituição, vem que: 
𝑢 = 5𝑉2 + 600000 
 𝑑𝑢 = 10𝑉 𝑑𝑉 
 
𝑑𝑢
10
= 𝑉 𝑑𝑉 
 Fazendo a mudança de intervalos, segue que: 
 Para 𝑉 = 0, temos 𝑢 = 600000 
 Para 𝑉 = 100, temos 𝑢 = 5.1002 + 600000 = 650000 
 Assim, a integral ficará: 
 ∫
100000 𝑉
(5𝑉2 + 600000)
 𝑑𝑉
100
0
= 100000 ∫
1
10𝑢
𝑑𝑢
650000
600000
=
100000
10
∫
1
𝑢
𝑑𝑢
650000
600000
=
100000
10
[ln(𝑢)]600000
650000 = 
 
 = 10000[ln(𝑢)]600000
650000 = 10000[ln(650000) − ln (600000] = 10000 [𝑙𝑛 (
650000
600000
)] = 
= 10000 ∙ 𝑙𝑛 (
13
12
) = 10000 ∙ 0,08 = 800 𝑚 
 
 
 
b) Resolva a integral acima, pela regra 1/3 de Simpson com 10 subintervalos. Não use o software numérico 
para este item. 
 Solução: 
 Aplicando a Regra 1/3 de Simpson para 10 subintervalos, temos: 
∫ 𝑓(𝑉) 𝑑𝑉
𝑏
𝑎
≅
ℎ
3
[𝑓(𝑉0) + 𝑓(𝑉10) + 4(𝑓(𝑉1) + 𝑓(𝑉3) + 𝑓(𝑉5) + 𝑓(𝑉7) + 𝑓(𝑉9)) + 2(𝑓(𝑉2) + 𝑓(𝑉4)
+ 𝑓(𝑉6) + 𝑓(𝑉8))] 
onde, 
ℎ =
𝑏 − 𝑎
𝑛
 
𝑎 = 100 
𝑏 = 0 
𝑛 = 10 
Então: 
ℎ =
0 − 100
10
= −
100
10
= −10 
Assim, encontramos os valores para os 𝑉𝑖: 𝑉10 = 100, 𝑉9 = 90, 𝑉8 = 80, 𝑉7 = 70, 𝑉6 = 60, 𝑉5 = 50, 
𝑉4 = 40, 𝑉3 = 30, 𝑉2 = 20, 𝑉1 = 10, 𝑉0 = 0 . Substituindo esses valores na função do problema, temos: 
𝑓(100) =
100000 ∙ 100
−(5 ∙ 1002 + 600000)
=
10000000
−(50000 + 600000)
=
10000000
−650000
= −15,3846 
𝑓(90) =
100000 ∙ 90
−(5 ∙ 902 + 600000)
=
9000000
−(40500 + 600000)
=
9000000
−640500
= −14,0515 
𝑓(80) =
100000 ∙ 80
−(5 ∙ 802 + 600000)
=
8000000
−(32000 + 600000)
=
8000000
−632000
= −12,6582 
𝑓(70) =
100000 ∙ 70
−(5 ∙ 702 + 600000)
=
7000000
−(24500 + 600000)
=
7000000
−624500
= −11,2090 
𝑓(60) =
100000 ∙ 60
−(5 ∙ 602 + 600000)
=
6000000
−(18000 + 600000)
=
6000000
−618000
= −9,7087 
𝑓(50) =
100000 ∙ 50
−(5 ∙ 502 + 600000)
=
5000000
−(12500 + 600000)
=
5000000
−612500
= −8,1633 
𝑓(40) =
100000 ∙ 40
−(5 ∙ 402 + 600000)
=
4000000
−(8000 + 600000)
=
4000000
−608000
= −6,5789 
 
𝑓(30) =
100000 ∙ 30
−(5 ∙ 302 + 600000)
=
3000000
−(4500 + 600000)
=
3000000
−604500
= −4,9628 
𝑓(20) =
100000 ∙ 20
−(5 ∙ 202 + 600000)
=
2000000
−(2000 + 600000)
=
2000000
−602000
= −3,3223 
𝑓(10) =
100000 ∙ 10
−(5 ∙ 102 + 600000)
=
1000000
−(500 + 600000)
=
1000000
−600500
= −1,6653 
𝑓(0) =
100000 ∙ 0
−(5 ∙ 02 + 600000)
=
0
−600000
= 0 
Substituindo os valores de ℎ e 𝑓(𝑥𝑖) na fórmula a Regra 1/3 de Simpson, temos: 
∫
100000𝑉
−(5𝑉2 + 600000)
 𝑑𝑉
0
100
≅
ℎ
3
[𝑓(𝑉0) + 𝑓(𝑉10) + 4(𝑓(𝑉1) + 𝑓(𝑉3) + 𝑓(𝑉5) + 𝑓(𝑉7) + 𝑓(𝑉9)) + 
 +2(𝑓(𝑉2) + 𝑓(𝑉4) + 𝑓(𝑉6) + 𝑓(𝑉8))] 
 
∫
100000𝑉
(5𝑉2 + 600000)
 𝑑𝑉
0
100
≅
−10
3
[0 − 15,3846 + 4(−1,6653 − 4,9628 − 8,1633 − 11,2090 − 14,0515) 
 +2(−3,3223 − 6,5789 − 9,7087 − 12,6582)] 
 
∫
100000𝑉
(5𝑉2 + 600000)
 𝑑𝑉
0
100
≅
−10
3
[−15,3846 + 4(−40,0519) + 2(−32,2681)] 
∫
100000𝑉
(5𝑉2 + 600000)
 𝑑𝑉
0
100
≅
−10
3
[−15,3846 − 160,2076 − 64,5362] 
∫
100000𝑉
(5𝑉2 + 600000)
 𝑑𝑉
0
100
≅
−10
3
[−240,1284] = 800,428 
Portanto, a solução da integral pela regra 1/3 de Simpson é: 
∫
100000𝑉
(5𝑉2 + 600000)
 𝑑𝑉
0
100
≅ 800,428 
 
c) Resolva a integral acima, pela regra 1/3 de Simpson com 1.001 pontos. Use o software VCN para 
essa aproximação. 
 Solução 
Primeiramente inserimos o intervalo de integração inicial = 100 e final = 0, a função, que será dada em x, 
pois esta é a variável do software, o número de pontos 1001. Depois marcamos o método a ser utilizado, 
que é a primeira regra de Simpson e clicamos em aplicar, obtendo assim o seguinte resultado: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O software VCN nos fornece o valor do somatório, aproximadamente -24012,2123, e o valor da integral 
que é de aproximadamente 800,4271. Além disso, notamos que ao inserirmos os dados o passo fornecido foi 
de -0,1 para 1001 pontos. 
A tabela encontra-se em ordem decrescente, na coluna de x e consequentemente na coluna de f(x), pois o 
valor inicial é maior que o valor final. Também é possível notar os coeficientes 1, 2 e 4 da fórmula de 1/3 de 
Simpson. Ao final da tabela quando chegamos no ponto 1001 notamos que o valor final é zero, o que 
significa que o avião desacelera até parar. 
O valor fornecido da integral é a distância percorrida pelo avião na pista no momento do pouso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) Nas condições apresentadas no enunciado, esse avião tem condições de pousar em segurança no 
aeroporto Santos Dummont em segurança? Justifique sua resposta. 
Dado: a pista desse aeroporto tem comprimento de 1.323 metros. 
Sim ele pousará em segurança, pois a solução da integral é aproximadamente 800 metros, isso 
significa que o avião percorrerá aproximadamente 800 metros no instante em que tocar no 
solo, depois ele para por completo, restando ainda 523 metros de pista.