GEOMETRIAS ENEM - pdf

Prévia do material em texto

Revisão ENEM –
Geometria Plana e 
Espacial
SALVAGUARDA – MATEMÁTICA
POR BEATRIZ ARAÚJO
Apenas uma RE - da matéria
Esta Foto de Autor Desconhecido está licenciado em CC BY-ND
https://gartic.com.br/4folhas/desenho-livre/visao
https://creativecommons.org/licenses/by-nd/3.0/
GEOMETRIA 
PLANA
Esta Foto de Autor Desconhecido está licenciado em CC BY-SA-NC
https://www.victormat.es/1ESO/Tema9-Geometria/polgonos.html
https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/
Assuntos que abordaremos
Ponto, Reta e Plano
Ângulos
◦ Perpendicularidade, Paralelismo
Triângulos
Quadriláteros notáveis
Circunferência e Circulo
Polígonos (Convexos)
Áreas
Semelhança de triângulos
Coisas para memorizar
Ponto, Reta e Plano
O COMEÇO DO COMEÇO
Ponto, Reta e Plano
O que os diferencia? R: A dimensão
Ponto:
• Adimensional
• Representado por letra MAIÚSCULA
• Representa vértices (por ex)
Reta
• Menor distância entre dois pontos
• É medida em comprimento
• Representada em minúscula
• Delimita os lados de uma figura (por ex)
Área
• Medida em área (algo²)
• (Representações diversas)
• Mede a superfície de uma 
figura plana (por ex)
Área quadrado
Formada por pelo menos dois pontos
Ponto, Reta e Plano
Reta
Reta ou Linha
É uma reta infinita, sem limitações.
Representação r , 𝐴𝐵
Semirreta
Tem uma de suas extremidades limitada, a outra não.
Representação 𝐴𝐵
Segmento de reta
Possui dois extremos/limites marcados por pontos;
Representação 𝐴𝐵
OBS: Muitas vezes elas são representadas
por apenas AB. O contexto vai deixar claro 
de qual caso se trata.
Ângulos
A MEDIDA DA ABERTURA ENTRE DUAS RETAS
Ângulos
A medida da abertura entre duas (semi)retas, que se intersectam.
Pode ser medido em:
• Graus (0° a 360°)
• Radianos (0 rad a 2𝜋 rad) 
Lembrar que 𝜋 rad = 180°
Classificações
• Agudo (menor que 90°)
• Reto ( = 90°)
• Obtuso (maior que 90°)
Ângulos
Propriedades
Soma 180° Soma 360 ° Alternos internos
(Zorro)
A reta laranja corta as pretas 
=> é concorrente a elas
Por mais que se prolongue as retas 
pretas, elas nunca vão se encontrar => 
são paralelas!
Ângulos
Definições a mais
Ângulos SUPLEMENTARES
Somam 180°
Ângulos REPLEMENTARES
Somam 360 °
Ângulos COMPLEMENTARES
Somam 90°
Ângulos
Definições a mais
MedianaMediana
Triângulos
DEFINIÇÃO, PROPRIEDADES BÁSICAS, CLASSIFICAÇÃO
Triângulos
Definição: Um polígono de 3 lados e ângulos
Propriedades básicas:
• Soma dos ângulos internos é SEMPRE 180°
• A soma de dois lados deve ser maior que o lado restante
Classificação quanto aos lados:
• Escaleno – lados diferentes
• Isósceles – dois lados iguais
• Equilátero – todos os lados iguais
• Todos os ângulos medem 60°
• Altura h =
𝑙 3
2
Classificação quanto aos ângulos:
• Agudo/Acutângulo
• Todos os ângulos são agudos
• Reto/Retângulo
• Tem UM ângulo reto
• Obtuso/Obtusângulo 
• Tem UM ângulo obtuso
Triângulos
Fórmula
“Oi” em grego
Teorema de Pitágoras
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2
a – hipotenusa – NÃO TOCA o ângulo reto
b e c – catetos – tocam o ângulo reto 
Quadriláteros
Notáveis
DEFINIÇÃO, PROPRIEDADES
BÁSICAS, CLASSIFICAÇÃO
Quadrilátero
• Polígono de 4 lados
• Soma dos ângulos internos é 
360°
Trapézio
• É um quadrilátero com pelo menos UM PAR de lados 
paralelos.
• Classificações:
𝐴 =
B + 𝑏 ⋅ ℎ
2
Paralelogramo
• Trapézio com DOIS PARES de lados paralelos.
• Diagonais se cortam no meio (em seus pontos 
médios)
𝐴 = b ⋅ ℎ
Losango
• É um paralelogramo com todos os LADOS iguais.
𝐴 =
D ⋅ d
2
Retângulo
• É um paralelogramo com todos os ÂNGULOS 
iguais (a 90°).
Quadrado
• É um paralelogramo com todos os LADOS e ÂNGULOS iguais.
𝐴 = l²
𝐴 = b ⋅ ℎ
d = 𝑙
Circulo e Circunferência
EI, NÃO DÁ NA MESMA!
Comprimento = 2𝜋𝑟
Área = 𝜋𝑟²
r
Circulo e Circunferência
Polígonos Convexos
DEFINIÇÃO, NOMENCLATURA, SOMA DOS ANG INTERNOS E 
DIAGONAIS
Polígonos Convexos
Definição de Polígono: 
• Figura limitada por RETAS que não se cruzam.
Nomenclatura:
▪ 3 lados – triângulo
▪ 4 lados – quadrângulo ou quadrilátero
▪ 5 lados – pentágono
▪ 6 lados – hexágono
▪ 7 lados – heptágono
▪ 8 lados – octógono
▪ 9 lados – eneágono
▪ 10 lados – decágono
- 11 lados – undecágono
- 12 lados – dodecágono
- 13 lados – tridecágono
- 14 lados – tetradecágono
- 15 lados – pentadecágono
- 16 lados – hexadecágono
- 17 lados – heptadecágono
- 18 lados – octadecágono
- 19 lados – eneadecágono
- 20 lados – icoságono
Definição Polígono Convexo:
• Se para cada par de pontos contidos no polígono, a reta formada por esses pontos estiver
contida nele. Este polígono é convexo.
Polígono (não convexo) Polígono Convexo
Polígonos Convexos
Vértice - Ponto
Lado – Segmento de reta que delimita a figura,
Une dois vértices consecutivos
Diagonal – Segmento de reta que passa pelo interior,
Une dois vértices não consecutivos.
Ângulo interno – O menor ângulo formado por dois 
lados unidos por vértice 
Ângulo externo- suplementa um ângulo interno
Definições
Polígonos Convexos
Propriedades
Soma dos Ângulos Externos
de um polígono CONVEXO é 
sempre 360°
Polígonos Convexos
Propriedades
Soma dos Ângulos Internos
𝑆𝑛 = 180° ∙ (𝑛 − 2)
Polígonos Convexos
Propriedades
Quantidade de diagonais
𝑑𝑛 =
𝑛∙(𝑛 −3)
2
LEMBRE-SE:
Quando o número de lados (n) for ímpar, nenhuma diagonal passa pelo centro.
Caso contrário, a quantidade de diagonais que passa pelo centro é n/2
Polígonos Convexos
Polígonos REGULARES
Definição de Polígono Regular: 
• Um polígono cujo todos os lados e ângulos são iguais.
• Obs: são todos convexos
Propriedades legais: 
• Os ângulos externos também são todos iguais, e 
medem 360°/n
• Para achar o ângulo interno:
• α = 𝑆𝑛/𝑛
• Ou α = 180° − 360°/n
• Unindo o centro aos vértices, temos 
triângulos isósceles idênticos
• No caso do hexágono, são 
equiláteros (interessante para 
achar a área)
Áreas
MEDINDO SUPERFÍCIES
Áreas
Áreas conhecidas
Triângulo
𝐴 =
𝑏 ∙ ℎ
2
Triângulo Equilátero
A =
𝑙² 3
4
Lembrando que: 
h =
𝑙 3
2
, e que b=l
Retângulo e Paralelogramo
𝐴 = 𝑏 ∙ ℎ
Quadrado
𝐴 = 𝑙²
Trapézio
𝐴 =
B + 𝑏 ⋅ ℎ
2
Áreas
Áreas de figuras mais entranhas...
Divida-as em figuras conhecidas (retângulos, trapézios, etc), com base nas informações do exercício.
Semelhança
E COMO PODE TE AJUDAR COM ÁREAS
Semelhança
Conceitos iniciais
Duas figuras são semelhantes se: 
• Uma for uma ampliação/redução da outra, sem que 
haja distorção nos ângulos internos ou nas 
proporções dos lados.
• Ou se forem idênticas
𝑙1
𝑙2
2
=
𝐴1
𝐴2
𝑙1 e 𝑙2 são lados homólogos
Semelhança
Semelhança de Triângulos
Como identificar dois triângulos semelhantes?
• LLL: Os lados dos triângulos são proporcionais entre si
• AAA: Os triângulos têm os mesmos ângulos.
• ALA: Tem dois ângulos conhecidos iguais 
(consequentemente os 3 → AAA).
• LAL: Apresenta dois lados conhecidos proporcionais 
entre si, e um ângulo igual.
Coisas para memorizar
E QUE NÃO APARECERAM ANTES
Coisas para memorizar
- 30° 45° 60°
Seno ൗ1 2 ൗ2 2
ൗ3
2
Cosseno ൗ3
2
ൗ2
2
ൗ1 2
Tangente ൗ3
3
1 3
“Um dois três, três dois um
Tudo sobre dois
A tangente é diferente, olha que legal! (Uau)
3, 1, 3
Primeiro sobre 3
Agora põe raiz no numerador
(dor)”
VOCÊ ESTÁ SE 
SAINDO BEM!
GEOMETRIA 
ESPACIAL
Esta Foto de Autor Desconhecido está licenciado em CC BY-SA
https://pt.wikipedia.org/wiki/Icosaedro
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
Assuntos que abordaremos
Diedros e Triedros
Sólidos Espaciais
Esferas
Sólidos de Revolução
Sólidos Semelhantes
Inscrição e Circunscrição de Sólidos
Relações de Euler e Poliedros de Platão
Diedros e Triedros
(SÓ PRA NÃO DIZER QUE NÃO VIMOS)
Diedros e Triedros
Sólidos Espaciais
PRIMAS, CILINDROS, PIRÂMIDES, CONES E TRONCO
Sólidos Espaciais
Conceitos gerais
Área lateral (𝑨𝑳):
A área da superfície, sem a(s) base(s)
Área total (𝑨𝑻):
𝐴𝐿 + Área da(s) base(s)
Volume (V):
(já falaremos dele)
Base
“onde a figura se apoia”.
Se houver uma face paralela 
àquela que apoia, esta será 
considerada uma basetambém. 
A área de UMA base é 
chamada: Área da base (𝑨𝑩)
Face Lateral
Qualquer face que não seja uma 
base.
Sólidos Espaciais
Conceitos gerais
Altura
A distância da base a 
face/vértice oposta a ela
É perpendicular ao plano da 
base.
(Sólido) Reto
Significa que o vértice ou o centro da base 
oposto(a) à base, está “alinhado” com o centro 
dela
(Sólido) Oblíquo
Não é reto
Parece “tombado”
Sólidos Espaciais
Prismas e Cilindros – Coisas em comum
Prisma e Cilindro:
• Duas bases paralelas iguais.
Para ambos:
𝐴𝑇 = 𝐴𝐿 + 2𝐴𝐵
𝑉 = Á𝑟𝑒𝑎𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
Ex: Prismas Ex: Cilindro
Sólidos Espaciais
Prismas e Cilindros – Diferenças
Prisma:
• Duas bases paralelas iguais,
• Todas as faces são formadas por 
polígonos convexos.
• Faces laterais
• Paralelogramos (podem ser 
retangulares)
• Iguais SE as bases forem 
polígonos relares e o prisma 
for reto
Sólidos Espaciais
Prismas e Cilindros – Diferenças
• A planificação da face lateral 
é um retângulo
• 𝑨𝑳 = 𝒉 ∙ 𝟐𝝅𝒓
• 𝑨𝑻 = 𝑨𝑳 + 𝟐𝑨𝑩
= 𝒉 ∙ 𝟐𝝅𝒓 + 𝟐(𝝅𝒓²)
Cilindro:
• Duas bases circulares paralelas 
iguais.
Sólidos Espaciais
Pirâmides e Cones – Coisas em comum
Pirâmide e Cone:
• Apresentam base e um 
vértice oposto a ela (que não 
a toca).
Para ambos:
𝐴𝑇 = 𝐴𝐿 + 𝐴𝐵
𝑉 =
Á𝑟𝑒𝑎𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
3
Ex: Pirâmides Ex: Cone
Sólidos Espaciais
Pirâmides e Cones – Diferenças
Pirâmide
• Apresentam base (polígono 
convexa) e um vértice oposto 
a ela (que não a toca).
• Faces laterais são triangulares
• São iguais caso a base 
seja regular e o sólido 
reto.
• Apótema da pirâmide é a 
altura de uma face da 
pirâmide.
• Apótema da base é a 
distância do centro da base 
até um de seus lados
Ex: Pirâmides
Sólidos Espaciais
Pirâmides e Cones – Diferenças
Cone
• Apresentam base circular e 
um vértice oposto a ela (que 
não a toca).
• PARA CONES RETOS:
• A planificação a superfície 
lateral é um setor de 
circunferência
• 𝑨𝑳 = 𝝅𝒓𝒈
• Geratriz (g) é encontrada por:
𝒈2 = 𝒓2 + 𝒉²
OBS: não vão te pedir área lateral de cone oblíquo
Sólidos Espaciais
Troncos
Tronco:
É o que surge ao se fazer um corte num cone ou pirâmide, paralelo a sua base
𝑉 =
ℎ
3
∙ (𝐴𝐵 + 𝐴𝐵 ∙ 𝐴𝑏 + 𝐴𝑏)
Base menor
Base maior
Sólidos Espaciais
Troncos
Em Tronco de Cilindro....
𝑉 =
ℎ
3
∙ 𝐴𝐵 + 𝐴𝐵 ∙ 𝐴𝑏 + 𝐴𝑏 → 𝑉 =
ℎ
3
∙ 𝜋𝑅² + 𝜋𝑅² ∙ 𝜋𝑟² + 𝜋𝑟² → 𝑉
=
ℎ
3
∙ 𝜋𝑅² + 𝜋𝑅𝑟 + 𝜋𝑟² → 𝑉 =
ℎ𝜋
3
∙ 𝑅² + 𝑅𝑟 + 𝑟²
𝐴𝐿= πg (R + r)
Esfera
Esfera
Elementos:
Raio (r) e centro
Definição:
Todos os pontos da superfície da esfera estão a uma distância r do centro.
Fórmula do Volume:
𝑉 =
4
3
𝜋𝑟³
Fórmula da Superfície:
𝑆 = 4𝜋𝑟²
Sólidos de Revolução
O QUE ACONTECE QUANDO GIRAMOS UMA FIGURA PLANA?
Sólidos de Revolução
Definição:
Sólidos de Revolução são aqueles formados pela rotação de figuras planas.
(O maior desafio aqui é identificar a figura formada... 
DICA: Tente visualizar mentalmente o movimento)
Sólidos Semelhantes
E SUAS PROPRIEDADES
Sólidos Semelhantes
Conceitos iniciais
Duas sólidos são semelhantes se: 
• Um for uma ampliação/redução do outro, sem que 
haja distorção quanto a proporção das arestas e os 
ângulos formados entre as faces
• Ou se forem idênticos
𝑎1
𝑎2
3
=
𝑉1
𝑉2
𝑎1 e 𝑎2 são arestas homologas
Inscrição e Circunscrição 
de Sólidos
HORA DE FAZER EXERCÍCIO
https://www.soexercicios.com.br/plataforma/busca-de-exercicios-
vestibular?init=true&vestibular=ENEM&topicos=210&assuntos=-inscricao-e-circunscricao-de-solidos-
https://www.soexercicios.com.br/plataforma/busca-de-exercicios-vestibular?init=true&vestibular=ENEM&topicos=210&assuntos=-inscricao-e-circunscricao-de-solidos-
1) (ENEM 2010) Uma metalúrgica recebeu uma encomenda para fabricar, em grande quantidade, uma peça com o 
formato de um prisma reto com base triangular, cujas dimensões da base são 6 cm, 8 cm e 10 cm e cuja altura é 10 cm. 
Tal peça deve ser vazada de tal maneira que a perfuração na forma de um cilindro circular reto seja tangente às suas 
faces laterais, conforme mostra a figura.
O raio da perfuração da peça é igual a
a) 1cm
b) 2cm
c) 3cm
d) 4cm
e) 5cm
2) (ENEM 2009) Uma empresa que fabrica esferas de aço, de 6 cm de raio, utiliza caixas de madeira, na forma de 
um cubo, para transportá-las.
Sabendo que a capacidade da caixa é de 13.824 cm², então o número máximo de esferas que podem ser 
transportadas em uma caixa é igual a
a) 4
b) 8
c) 16
d) 24
e) 32
Relações de Euler e 
Poliedros de Platão
Relações de Euler e Poliedros de Platão
Relação de Euler
V + F = A + 2
V = nº de vértices
F = nº de faces
A = nº de arestas
Válida para TODO sólido convexo
Poliedros de Platão
• São aqueles cujas faces são todas polígonos 
regulares iguais.
• Apenas 5 são conhecidos (figura ao lado)
Obs: Hexaedro regular = cubo
Hey, o dia foi longo...
Não esqueça de descansar!
AMIMIR
Imagens
https://www.redbubble.com/i/sticker/Komi-San-Please-Dont-Laugh-by-sad-square/39094122.EJUG5
http://www.matika.com.br/angulos-em-poligonos/soma-dos-angulos-externos-
quadro "A Liberdade Guiando o Povo", de Eugène Delacroix
https://www.dailydot.com/unclick/t-pose-meme/
https://www.infoescola.com/matematica/volume-da-esfera/
http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=27090&request_locale=es
https://matematicacinco.blogspot.com/2010/10/faces-vertices-e-arestas.html
https://matematicabasica.net/exercicios-sobre-a-area-do-cilindro/
https://www.educamaisbrasil.com.br/enem/matematica/cone
https://geometriasolidosgeometricos.blogspot.com/2013/07/los-prismas.html
KIMETSU NO YAIBA – Filme
https://www.rogeriovaz-mat.com.br/ensino-medio/geometria-espacial/poliedros-convexos/
https://cursoenemgratuito.com.br/solidos-de-revolucao/
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/tronco-de-cone.htm
https://br.pinterest.com/pin/294000681927581092/
https://www.varsitytutors.com/intermediate_geometry-help/solid-geometry/cubes
https://matematicabasica.net/area-do-cone/
https://calculo.cc/temas/temas_geometria/cuerpos_geometricos/teoria/seccion_pir.html
https://gameranx.com/features/id/190317/article/dragon-ball-z-kakarot-how-to-summon-shenron-every-
wish-listed/
https://definicion.de/diedro/
https://www.redbubble.com/i/sticker/Komi-San-Please-Dont-Laugh-by-sad-square/39094122.EJUG5
http://www.matika.com.br/angulos-em-poligonos/soma-dos-angulos-externos-
https://www.dailydot.com/unclick/t-pose-meme/
https://www.infoescola.com/matematica/volume-da-esfera/
http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=27090&request_locale=es
https://matematicacinco.blogspot.com/2010/10/faces-vertices-e-arestas.html
https://matematicabasica.net/exercicios-sobre-a-area-do-cilindro/
https://www.educamaisbrasil.com.br/enem/matematica/cone
https://geometriasolidosgeometricos.blogspot.com/2013/07/los-prismas.html
https://www.rogeriovaz-mat.com.br/ensino-medio/geometria-espacial/poliedros-convexos/?utm_source=copy&utm_medium=paste&utm_campaign=copypaste&utm_content=https%3A%2F%2Fwww.rogeriovaz-mat.com.br%2Fensino-medio%2Fgeometria-espacial%2Fpoliedros-convexos%2F
https://cursoenemgratuito.com.br/solidos-de-revolucao/
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/tronco-de-cone.htm
https://br.pinterest.com/pin/294000681927581092/
https://www.varsitytutors.com/intermediate_geometry-help/solid-geometry/cubes
https://matematicabasica.net/area-do-cone/
https://calculo.cc/temas/temas_geometria/cuerpos_geometricos/teoria/seccion_pir.html
https://gameranx.com/features/id/190317/article/dragon-ball-z-kakarot-how-to-summon-shenron-every-wish-listed/