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Revisão ENEM – Geometria Plana e Espacial SALVAGUARDA – MATEMÁTICA POR BEATRIZ ARAÚJO Apenas uma RE - da matéria Esta Foto de Autor Desconhecido está licenciado em CC BY-ND https://gartic.com.br/4folhas/desenho-livre/visao https://creativecommons.org/licenses/by-nd/3.0/ GEOMETRIA PLANA Esta Foto de Autor Desconhecido está licenciado em CC BY-SA-NC https://www.victormat.es/1ESO/Tema9-Geometria/polgonos.html https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ Assuntos que abordaremos Ponto, Reta e Plano Ângulos ◦ Perpendicularidade, Paralelismo Triângulos Quadriláteros notáveis Circunferência e Circulo Polígonos (Convexos) Áreas Semelhança de triângulos Coisas para memorizar Ponto, Reta e Plano O COMEÇO DO COMEÇO Ponto, Reta e Plano O que os diferencia? R: A dimensão Ponto: • Adimensional • Representado por letra MAIÚSCULA • Representa vértices (por ex) Reta • Menor distância entre dois pontos • É medida em comprimento • Representada em minúscula • Delimita os lados de uma figura (por ex) Área • Medida em área (algo²) • (Representações diversas) • Mede a superfície de uma figura plana (por ex) Área quadrado Formada por pelo menos dois pontos Ponto, Reta e Plano Reta Reta ou Linha É uma reta infinita, sem limitações. Representação r , 𝐴𝐵 Semirreta Tem uma de suas extremidades limitada, a outra não. Representação 𝐴𝐵 Segmento de reta Possui dois extremos/limites marcados por pontos; Representação 𝐴𝐵 OBS: Muitas vezes elas são representadas por apenas AB. O contexto vai deixar claro de qual caso se trata. Ângulos A MEDIDA DA ABERTURA ENTRE DUAS RETAS Ângulos A medida da abertura entre duas (semi)retas, que se intersectam. Pode ser medido em: • Graus (0° a 360°) • Radianos (0 rad a 2𝜋 rad) Lembrar que 𝜋 rad = 180° Classificações • Agudo (menor que 90°) • Reto ( = 90°) • Obtuso (maior que 90°) Ângulos Propriedades Soma 180° Soma 360 ° Alternos internos (Zorro) A reta laranja corta as pretas => é concorrente a elas Por mais que se prolongue as retas pretas, elas nunca vão se encontrar => são paralelas! Ângulos Definições a mais Ângulos SUPLEMENTARES Somam 180° Ângulos REPLEMENTARES Somam 360 ° Ângulos COMPLEMENTARES Somam 90° Ângulos Definições a mais MedianaMediana Triângulos DEFINIÇÃO, PROPRIEDADES BÁSICAS, CLASSIFICAÇÃO Triângulos Definição: Um polígono de 3 lados e ângulos Propriedades básicas: • Soma dos ângulos internos é SEMPRE 180° • A soma de dois lados deve ser maior que o lado restante Classificação quanto aos lados: • Escaleno – lados diferentes • Isósceles – dois lados iguais • Equilátero – todos os lados iguais • Todos os ângulos medem 60° • Altura h = 𝑙 3 2 Classificação quanto aos ângulos: • Agudo/Acutângulo • Todos os ângulos são agudos • Reto/Retângulo • Tem UM ângulo reto • Obtuso/Obtusângulo • Tem UM ângulo obtuso Triângulos Fórmula “Oi” em grego Teorema de Pitágoras 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 a – hipotenusa – NÃO TOCA o ângulo reto b e c – catetos – tocam o ângulo reto Quadriláteros Notáveis DEFINIÇÃO, PROPRIEDADES BÁSICAS, CLASSIFICAÇÃO Quadrilátero • Polígono de 4 lados • Soma dos ângulos internos é 360° Trapézio • É um quadrilátero com pelo menos UM PAR de lados paralelos. • Classificações: 𝐴 = B + 𝑏 ⋅ ℎ 2 Paralelogramo • Trapézio com DOIS PARES de lados paralelos. • Diagonais se cortam no meio (em seus pontos médios) 𝐴 = b ⋅ ℎ Losango • É um paralelogramo com todos os LADOS iguais. 𝐴 = D ⋅ d 2 Retângulo • É um paralelogramo com todos os ÂNGULOS iguais (a 90°). Quadrado • É um paralelogramo com todos os LADOS e ÂNGULOS iguais. 𝐴 = l² 𝐴 = b ⋅ ℎ d = 𝑙 Circulo e Circunferência EI, NÃO DÁ NA MESMA! Comprimento = 2𝜋𝑟 Área = 𝜋𝑟² r Circulo e Circunferência Polígonos Convexos DEFINIÇÃO, NOMENCLATURA, SOMA DOS ANG INTERNOS E DIAGONAIS Polígonos Convexos Definição de Polígono: • Figura limitada por RETAS que não se cruzam. Nomenclatura: ▪ 3 lados – triângulo ▪ 4 lados – quadrângulo ou quadrilátero ▪ 5 lados – pentágono ▪ 6 lados – hexágono ▪ 7 lados – heptágono ▪ 8 lados – octógono ▪ 9 lados – eneágono ▪ 10 lados – decágono - 11 lados – undecágono - 12 lados – dodecágono - 13 lados – tridecágono - 14 lados – tetradecágono - 15 lados – pentadecágono - 16 lados – hexadecágono - 17 lados – heptadecágono - 18 lados – octadecágono - 19 lados – eneadecágono - 20 lados – icoságono Definição Polígono Convexo: • Se para cada par de pontos contidos no polígono, a reta formada por esses pontos estiver contida nele. Este polígono é convexo. Polígono (não convexo) Polígono Convexo Polígonos Convexos Vértice - Ponto Lado – Segmento de reta que delimita a figura, Une dois vértices consecutivos Diagonal – Segmento de reta que passa pelo interior, Une dois vértices não consecutivos. Ângulo interno – O menor ângulo formado por dois lados unidos por vértice Ângulo externo- suplementa um ângulo interno Definições Polígonos Convexos Propriedades Soma dos Ângulos Externos de um polígono CONVEXO é sempre 360° Polígonos Convexos Propriedades Soma dos Ângulos Internos 𝑆𝑛 = 180° ∙ (𝑛 − 2) Polígonos Convexos Propriedades Quantidade de diagonais 𝑑𝑛 = 𝑛∙(𝑛 −3) 2 LEMBRE-SE: Quando o número de lados (n) for ímpar, nenhuma diagonal passa pelo centro. Caso contrário, a quantidade de diagonais que passa pelo centro é n/2 Polígonos Convexos Polígonos REGULARES Definição de Polígono Regular: • Um polígono cujo todos os lados e ângulos são iguais. • Obs: são todos convexos Propriedades legais: • Os ângulos externos também são todos iguais, e medem 360°/n • Para achar o ângulo interno: • α = 𝑆𝑛/𝑛 • Ou α = 180° − 360°/n • Unindo o centro aos vértices, temos triângulos isósceles idênticos • No caso do hexágono, são equiláteros (interessante para achar a área) Áreas MEDINDO SUPERFÍCIES Áreas Áreas conhecidas Triângulo 𝐴 = 𝑏 ∙ ℎ 2 Triângulo Equilátero A = 𝑙² 3 4 Lembrando que: h = 𝑙 3 2 , e que b=l Retângulo e Paralelogramo 𝐴 = 𝑏 ∙ ℎ Quadrado 𝐴 = 𝑙² Trapézio 𝐴 = B + 𝑏 ⋅ ℎ 2 Áreas Áreas de figuras mais entranhas... Divida-as em figuras conhecidas (retângulos, trapézios, etc), com base nas informações do exercício. Semelhança E COMO PODE TE AJUDAR COM ÁREAS Semelhança Conceitos iniciais Duas figuras são semelhantes se: • Uma for uma ampliação/redução da outra, sem que haja distorção nos ângulos internos ou nas proporções dos lados. • Ou se forem idênticas 𝑙1 𝑙2 2 = 𝐴1 𝐴2 𝑙1 e 𝑙2 são lados homólogos Semelhança Semelhança de Triângulos Como identificar dois triângulos semelhantes? • LLL: Os lados dos triângulos são proporcionais entre si • AAA: Os triângulos têm os mesmos ângulos. • ALA: Tem dois ângulos conhecidos iguais (consequentemente os 3 → AAA). • LAL: Apresenta dois lados conhecidos proporcionais entre si, e um ângulo igual. Coisas para memorizar E QUE NÃO APARECERAM ANTES Coisas para memorizar - 30° 45° 60° Seno ൗ1 2 ൗ2 2 ൗ3 2 Cosseno ൗ3 2 ൗ2 2 ൗ1 2 Tangente ൗ3 3 1 3 “Um dois três, três dois um Tudo sobre dois A tangente é diferente, olha que legal! (Uau) 3, 1, 3 Primeiro sobre 3 Agora põe raiz no numerador (dor)” VOCÊ ESTÁ SE SAINDO BEM! GEOMETRIA ESPACIAL Esta Foto de Autor Desconhecido está licenciado em CC BY-SA https://pt.wikipedia.org/wiki/Icosaedro https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/ Assuntos que abordaremos Diedros e Triedros Sólidos Espaciais Esferas Sólidos de Revolução Sólidos Semelhantes Inscrição e Circunscrição de Sólidos Relações de Euler e Poliedros de Platão Diedros e Triedros (SÓ PRA NÃO DIZER QUE NÃO VIMOS) Diedros e Triedros Sólidos Espaciais PRIMAS, CILINDROS, PIRÂMIDES, CONES E TRONCO Sólidos Espaciais Conceitos gerais Área lateral (𝑨𝑳): A área da superfície, sem a(s) base(s) Área total (𝑨𝑻): 𝐴𝐿 + Área da(s) base(s) Volume (V): (já falaremos dele) Base “onde a figura se apoia”. Se houver uma face paralela àquela que apoia, esta será considerada uma basetambém. A área de UMA base é chamada: Área da base (𝑨𝑩) Face Lateral Qualquer face que não seja uma base. Sólidos Espaciais Conceitos gerais Altura A distância da base a face/vértice oposta a ela É perpendicular ao plano da base. (Sólido) Reto Significa que o vértice ou o centro da base oposto(a) à base, está “alinhado” com o centro dela (Sólido) Oblíquo Não é reto Parece “tombado” Sólidos Espaciais Prismas e Cilindros – Coisas em comum Prisma e Cilindro: • Duas bases paralelas iguais. Para ambos: 𝐴𝑇 = 𝐴𝐿 + 2𝐴𝐵 𝑉 = Á𝑟𝑒𝑎𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 Ex: Prismas Ex: Cilindro Sólidos Espaciais Prismas e Cilindros – Diferenças Prisma: • Duas bases paralelas iguais, • Todas as faces são formadas por polígonos convexos. • Faces laterais • Paralelogramos (podem ser retangulares) • Iguais SE as bases forem polígonos relares e o prisma for reto Sólidos Espaciais Prismas e Cilindros – Diferenças • A planificação da face lateral é um retângulo • 𝑨𝑳 = 𝒉 ∙ 𝟐𝝅𝒓 • 𝑨𝑻 = 𝑨𝑳 + 𝟐𝑨𝑩 = 𝒉 ∙ 𝟐𝝅𝒓 + 𝟐(𝝅𝒓²) Cilindro: • Duas bases circulares paralelas iguais. Sólidos Espaciais Pirâmides e Cones – Coisas em comum Pirâmide e Cone: • Apresentam base e um vértice oposto a ela (que não a toca). Para ambos: 𝐴𝑇 = 𝐴𝐿 + 𝐴𝐵 𝑉 = Á𝑟𝑒𝑎𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 3 Ex: Pirâmides Ex: Cone Sólidos Espaciais Pirâmides e Cones – Diferenças Pirâmide • Apresentam base (polígono convexa) e um vértice oposto a ela (que não a toca). • Faces laterais são triangulares • São iguais caso a base seja regular e o sólido reto. • Apótema da pirâmide é a altura de uma face da pirâmide. • Apótema da base é a distância do centro da base até um de seus lados Ex: Pirâmides Sólidos Espaciais Pirâmides e Cones – Diferenças Cone • Apresentam base circular e um vértice oposto a ela (que não a toca). • PARA CONES RETOS: • A planificação a superfície lateral é um setor de circunferência • 𝑨𝑳 = 𝝅𝒓𝒈 • Geratriz (g) é encontrada por: 𝒈2 = 𝒓2 + 𝒉² OBS: não vão te pedir área lateral de cone oblíquo Sólidos Espaciais Troncos Tronco: É o que surge ao se fazer um corte num cone ou pirâmide, paralelo a sua base 𝑉 = ℎ 3 ∙ (𝐴𝐵 + 𝐴𝐵 ∙ 𝐴𝑏 + 𝐴𝑏) Base menor Base maior Sólidos Espaciais Troncos Em Tronco de Cilindro.... 𝑉 = ℎ 3 ∙ 𝐴𝐵 + 𝐴𝐵 ∙ 𝐴𝑏 + 𝐴𝑏 → 𝑉 = ℎ 3 ∙ 𝜋𝑅² + 𝜋𝑅² ∙ 𝜋𝑟² + 𝜋𝑟² → 𝑉 = ℎ 3 ∙ 𝜋𝑅² + 𝜋𝑅𝑟 + 𝜋𝑟² → 𝑉 = ℎ𝜋 3 ∙ 𝑅² + 𝑅𝑟 + 𝑟² 𝐴𝐿= πg (R + r) Esfera Esfera Elementos: Raio (r) e centro Definição: Todos os pontos da superfície da esfera estão a uma distância r do centro. Fórmula do Volume: 𝑉 = 4 3 𝜋𝑟³ Fórmula da Superfície: 𝑆 = 4𝜋𝑟² Sólidos de Revolução O QUE ACONTECE QUANDO GIRAMOS UMA FIGURA PLANA? Sólidos de Revolução Definição: Sólidos de Revolução são aqueles formados pela rotação de figuras planas. (O maior desafio aqui é identificar a figura formada... DICA: Tente visualizar mentalmente o movimento) Sólidos Semelhantes E SUAS PROPRIEDADES Sólidos Semelhantes Conceitos iniciais Duas sólidos são semelhantes se: • Um for uma ampliação/redução do outro, sem que haja distorção quanto a proporção das arestas e os ângulos formados entre as faces • Ou se forem idênticos 𝑎1 𝑎2 3 = 𝑉1 𝑉2 𝑎1 e 𝑎2 são arestas homologas Inscrição e Circunscrição de Sólidos HORA DE FAZER EXERCÍCIO https://www.soexercicios.com.br/plataforma/busca-de-exercicios- vestibular?init=true&vestibular=ENEM&topicos=210&assuntos=-inscricao-e-circunscricao-de-solidos- https://www.soexercicios.com.br/plataforma/busca-de-exercicios-vestibular?init=true&vestibular=ENEM&topicos=210&assuntos=-inscricao-e-circunscricao-de-solidos- 1) (ENEM 2010) Uma metalúrgica recebeu uma encomenda para fabricar, em grande quantidade, uma peça com o formato de um prisma reto com base triangular, cujas dimensões da base são 6 cm, 8 cm e 10 cm e cuja altura é 10 cm. Tal peça deve ser vazada de tal maneira que a perfuração na forma de um cilindro circular reto seja tangente às suas faces laterais, conforme mostra a figura. O raio da perfuração da peça é igual a a) 1cm b) 2cm c) 3cm d) 4cm e) 5cm 2) (ENEM 2009) Uma empresa que fabrica esferas de aço, de 6 cm de raio, utiliza caixas de madeira, na forma de um cubo, para transportá-las. Sabendo que a capacidade da caixa é de 13.824 cm², então o número máximo de esferas que podem ser transportadas em uma caixa é igual a a) 4 b) 8 c) 16 d) 24 e) 32 Relações de Euler e Poliedros de Platão Relações de Euler e Poliedros de Platão Relação de Euler V + F = A + 2 V = nº de vértices F = nº de faces A = nº de arestas Válida para TODO sólido convexo Poliedros de Platão • São aqueles cujas faces são todas polígonos regulares iguais. • Apenas 5 são conhecidos (figura ao lado) Obs: Hexaedro regular = cubo Hey, o dia foi longo... Não esqueça de descansar! AMIMIR Imagens https://www.redbubble.com/i/sticker/Komi-San-Please-Dont-Laugh-by-sad-square/39094122.EJUG5 http://www.matika.com.br/angulos-em-poligonos/soma-dos-angulos-externos- quadro "A Liberdade Guiando o Povo", de Eugène Delacroix https://www.dailydot.com/unclick/t-pose-meme/ https://www.infoescola.com/matematica/volume-da-esfera/ http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=27090&request_locale=es https://matematicacinco.blogspot.com/2010/10/faces-vertices-e-arestas.html https://matematicabasica.net/exercicios-sobre-a-area-do-cilindro/ https://www.educamaisbrasil.com.br/enem/matematica/cone https://geometriasolidosgeometricos.blogspot.com/2013/07/los-prismas.html KIMETSU NO YAIBA – Filme https://www.rogeriovaz-mat.com.br/ensino-medio/geometria-espacial/poliedros-convexos/ https://cursoenemgratuito.com.br/solidos-de-revolucao/ https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/tronco-de-cone.htm https://br.pinterest.com/pin/294000681927581092/ https://www.varsitytutors.com/intermediate_geometry-help/solid-geometry/cubes https://matematicabasica.net/area-do-cone/ https://calculo.cc/temas/temas_geometria/cuerpos_geometricos/teoria/seccion_pir.html https://gameranx.com/features/id/190317/article/dragon-ball-z-kakarot-how-to-summon-shenron-every- wish-listed/ https://definicion.de/diedro/ https://www.redbubble.com/i/sticker/Komi-San-Please-Dont-Laugh-by-sad-square/39094122.EJUG5 http://www.matika.com.br/angulos-em-poligonos/soma-dos-angulos-externos- https://www.dailydot.com/unclick/t-pose-meme/ https://www.infoescola.com/matematica/volume-da-esfera/ http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=27090&request_locale=es https://matematicacinco.blogspot.com/2010/10/faces-vertices-e-arestas.html https://matematicabasica.net/exercicios-sobre-a-area-do-cilindro/ https://www.educamaisbrasil.com.br/enem/matematica/cone https://geometriasolidosgeometricos.blogspot.com/2013/07/los-prismas.html https://www.rogeriovaz-mat.com.br/ensino-medio/geometria-espacial/poliedros-convexos/?utm_source=copy&utm_medium=paste&utm_campaign=copypaste&utm_content=https%3A%2F%2Fwww.rogeriovaz-mat.com.br%2Fensino-medio%2Fgeometria-espacial%2Fpoliedros-convexos%2F https://cursoenemgratuito.com.br/solidos-de-revolucao/ https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/tronco-de-cone.htm https://br.pinterest.com/pin/294000681927581092/ https://www.varsitytutors.com/intermediate_geometry-help/solid-geometry/cubes https://matematicabasica.net/area-do-cone/ https://calculo.cc/temas/temas_geometria/cuerpos_geometricos/teoria/seccion_pir.html https://gameranx.com/features/id/190317/article/dragon-ball-z-kakarot-how-to-summon-shenron-every-wish-listed/
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