Revisão de Análise Vetorial

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TEM 2010 – Lista de Problemas 1
Uma revis̃ao breve de ańalise vetorial
A C Tort∗
21 de Agosto de 2010
Problema 1 O operador nabla ou del e o laplaciano. Escreva a representação do operador linear∇ em:
(a) coordenadas cartesianas ortogonais bi e tridimensionais;
(b) coordenadas plano-polares;
(c) coordenadas cilı́ndricas;
(d) coordenadas esféricas.
(e) Qual o significado de∇2?
(f) Escreva a representação do operador de Laplace ou laplaciano∇2 em coordenadas cilı́ndricas e esféricas.
Problema 2 O gradiente I. Determine o gradiente das seguintes funções:
(a) f(x, y, z) = x2 + y2 + z2;
(b) f(x, y, z) = x2y2z2;
(c) ex sen(y) ln (z).
Problema 3 O gradiente II. A altura de uma colina é dada pela função:
H(x, y) = 10 (2xy − 3x2 − 4y2 − 18x + 28y + 12),
ondex ey são medidos em quilômetros eH em metros. Calcule:
(a) a localização do topo da colina;
(b) a altura da clina;
(c) a inclinação da colina no pontox = 1, y = 1. Em que direção e sentido a altura cresce masi? Em que ponto
isto acontece?
∗email: tort@if.ufrj.br
1
Problema 4 Divergente e rotacional. Calcule o divergente e o rotacional dos seguintes campos vetoriais
(a) F = (x + y) x̂ + (−x + y) ŷ − 2z ẑ;
(b) G = 2y x̂ + (2x + 3z) ŷ + 3y ẑ;
(c) H =
(
x2 − z2
)
x̂ + 2 ŷ + 2xz ẑ;
(d) I = x2 x̂ + 3z2 ŷ − 2xy ẑ;
(e) J = xy x̂ + 2yz ŷ + 3zx ẑ;
(f) K = y2 x̂ + (2xy + z2) ŷ + 2yz ẑ.
Problema 5 Considere uma partı́cula carregada fixa na origem de um sistema de coordenadas cartesiano. O
campo elétrico da partı́cula é dado pela lei de Coulomb:
E =
q
4πǫ0 r2
êr, r > 0,
Calcule o divergente e o rotacional deste campo usando coordendas cartesianas. Repita os cálculos usando coor-
denadas esféricas.
Problema 6 Considere um dipolo magnéticoµ colocado na origem de um sistema de coordenadas cartesiano.O
campo de um dipolo magnético é dado por:
B =
µ0
4πr3
[(3µ · êr) êr − µ] , r > 0.
Calcule o divergente e o rotacional desse campo usando coordenadas cartesianas. Repita os cálculos usando
coordenadas esféricas.
Problema 7 O laplaciano. Calcule o laplaciano∇2 das seguintes funções:
(a) f(x, y, z) = x2 + 2xyz + 3z + 4;
(b) g(x, y, z) = sen(x) sen(y) sen(z);
(c) h(x, y, z) = e−5x sen(4y) cos (3z).
Problema 8 Testando o teorema de Stokes I. Considere o campo vetorial:
A = −y x̂ + x ŷ.
(a) Faça um esboço gráfico desse campo.
(b) Calcule:
∮
C
A · ds,
sobre a curvax2 + y2 = 1; z = 0.
2
0
2
4
6
8
0 2 4 6
b
A
b
B
b
C
Figura 1:
(c) Agora calcule:
∫
S
(∇× A) · n̂ da,
ondeS é a região limitada pela curva dada acima e verifique explicitamente a validade do teorema de Stokes.
Problema 9 Testando o teorema de Stokes II. Verifique o teorema de Stokes usando a função vetorialv =
ay x̂ + bx ŷ, ondea e b são constantes, e caminho circular de raioR centrado na origem.
Problema 10 Testando o teorema de Gauss. Dado o campo vetorial
r = x x̂ + y ŷ + z ẑ,
(a) Calcule:
∫
R
∇ · r,
ondeR é o interior de uma esfera de raioR com centro na origem.
(b) Calcule agora
∮
S
r · n̂ da,
ondeS é a fronteira deR do item anterior, e verifique explicitamente o teorema de Gauss.
Problema 11 Calcule a integral de linha da função vetorialv = 6 x̂ + yz2 ŷ + (3y + z) ẑ, usando o caminho
fechadoB → A → C → B mostrado na Figura 1. Depois, verifique sua resposta usando oteorema de Stokes.
3
b
b b
b b
b
(0,0,0)
(1,0,0)(1,0,0)
(1,1,0)
(1,1,1)
(0,1,1)(0,0,1)
x
y
z
Figura 2: Três caminhos diversos para testar o teorema fundamental para o gradiente: caminho I:(0, 0, 0) →
(1, 0, 0) → (1, 1, 0) → (1, 1, 1); caminho II:(0, 0, 0) → (0, 0, 1) → (0, 1, 1) → (1, 1, 1); caminho III: ao longo
da parábolaz = x2, y = x. Você deve obter o mesmo resultado para os três caminhos!∆Φ = 7.
Problema 12 Teorema fundamental para o gradiente.Verifique o teorema fundamental para o gradiente:
Φ (P1) − Φ (P0) =
∫ P1
P0
∇Φ · dℓ,
para a função:
Φ (x, y, z) = x2 + 4xy + 2yz3,
e os pontosP0 = (0, 0, 0), P1 = (1, 1, 1), usando os caminhos mostrados na Figura 2
Problema 13 Dois resultados importantes. Faça uso de coordenadas cartesianas tridimensionais e mostre que
para um campo vetorialA definido em uma regiãoR e com derivadas contı́nuas:
∇ · (∇× A) = 0.
Mostre também que para uma função escalarΦ(x, y, z) definida em uma regiãoR e com derivadas de segunda
ordem contı́nuas nessa região:
∇×∇Φ = 0,
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